无阻尼自由振动.docx

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1、9第二章单自由度系统的自由振动第一节导引单自由度系统( Single-Degree-Freedom system© 是最 简单的振动系统,乂是最基本的振动系统。这种系统在振动 分析中的重要性,一方面在于很多实际问题都可以简化为单 自由度系统来处理,从而可直接利用对这种系统的研究成果 来解决问题;另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统 的一些基本特性,实际上,它是对多自由度系统、连续系统 进行振动分析的基础。所研究的振动都是微幅振动问题(微振动)。所谓微振动是指系统受到外界干扰后,系统各个质点偏离静平衡位 置,仅作微小的往复振动。系统在振动过程中所受到的各种 力将认为只与位移、速度等

2、成线性关系,可以忽略可能出现 的高阶微小虽。例如单摆,其运动微分方程为ml 2甫 + mglsin" = 0'sin。= 0l把单摆作为线性系统研究,则令sin")故有第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解自由振动(free vibration )是指在外界干扰下依靠系统 本身的弹性恢复力所维持的振动。一、运动方程及其解/ _k! 4、r * + x)m 1 I o4,mg最简单的单自由度振动系统 有一个质m m和一根弹簧(弹簧的刚度系数为k,它是弹簧每伸长或缩短一个单位 长度所需施加的力,单位为 )组成的弹簧质虽系统。m弹簧原长为10。当系统在没有振动时,系统

3、处于平衡状 态,称为静平衡。此时,系统在重力的作用下产生拉伸变形 A ,称为系统的静变形。由静力平衡条件有mg = k当系统受到外界某种初始扰动(例如用力将质虽块偏离 静平衡位置后突然释放,或给质虽块以突然一击使之得到一 个初始速度),使系统的静平衡状态遭到破坏,则弹簧力不 再与重力平衡,从而产生不平衡的弹性恢复力,系统就依靠 这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动,称为自由振动。建立坐标系:取静平衡位置为坐标原点,用x表示质虽块由静平衡位置算起的垂直位移,且规定x方向向下为正。质虽块在振动过程中任一瞬时位置的受力: 不变的重力:W = mg 弹簧力 :+ x) 根据牛顿运动定律,有mX =

4、mg - k( x)则有mx + kx = 0(2-1)单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。 两点讨论:(1 )质量块的重力只对弹簧的静变形有影响,即W= mg的大小只改变质量块的静平衡位置,而不影 响质量块在静平衡位置附近作振动的规律。因此,当取静平衡位置为坐标原点建立运动微分方程时,在方程式(2-1)中就没有重力项,同时也没有由静变形引起的弹簧力 这一项。(2)方程式(2-1)中-kx称为弹性恢复力。它的大小 和位移的大小成正比,方向始终与位移方向相反。因此,弹 性恢复力的方向始终指向静平衡位置,这是弹性恢复力的一个特点。则方程(2-1)可写为(2-2)其通解为x = Acos nt B

5、sin nt 式中A,B为任意常数它由初始条件 X(0)= 40来确定。将初始条件代入方程中,得、X。.、x = x0 cos nt sin ntcon它是由两个相同频率的简谐运动组成,(2-3)t = 0 时 x(0) = X0 和(2-4)称为系统对于初始条件为x0和x0的响应。经变换方程(2-4)该写为x = Acos( nt - )tg(2-5)nx°A 自由振动的振幅(amplitude),它表示质虽块离开静 平衡位置的最大位移。平 初相位(initial phase)。由上式可见,振幅和相位都取决于初始条件。这是自由振动的共同特点系统的固有圆频率(natural circ

6、ular frequency)n系统的固有频率(natural frequency)Hz系统的固有周期(period)固有频率和周期决定与系统本身的物理性质:质量和弹簧刚度,而与自由振动的初始条件无关。因此,一旦确定了 系统的质虽和弹簧刚度,则系统的固有频率就有一个确定的值。固有频率是振动系统的一个重要参数,是进行振动分析 或动态结构设计必不可少的参数。注:方程(2-5)也可写成如下形式x = Asin( nt )例题1: 一卷扬机,通过钢索和滑轮吊挂重物(如图 a所示)。重物重虽 W=147000N ,以v=0.025m/s等速下降。如突然制动,钢索上端突然停止。这时钢索中的最大张力为多少?

7、钢索弹簧常数为 k=5782 x 103 N/m 。6Vkv >kkk(a)(b)(c)注意:解题时各物理虽的单位要统一。解:在正常工作时,重物以等速下降,系统处于静平衡状态,钢索的张力为Ti=k =W=147000 N由于钢索是一弹性体,系统可表示为图(b)的形式。突然停止,把这一时刻作为事件的起点 t=0,并以这一 时刻重物静平衡的位置作为坐标原点,则系统可简化为图(c)的模型。系统的振动微分方程为京"0系统的固有频率为5782 1031470009.819.6 rad Q s施加于系统的初始条件为x(0) = 0 , x(0) = v = 0.025 m s代入A=.x2

8、A=0.00128 (m)则由振动引起钢索中的动张力为T2=kA=7400.96 (N)钢索中的最大张力为T=T 1+T2=154400.96 (N)例题2:有一弹簧-质虽系统,如图所示。有一质H m从 高度h处自由落下,落在质虽 mi上。假设为弹性碰撞,且 没有反弹。试确定系统由此而发生的自由振动。1Ay-JIkA2r_IoLfmrnpvw江:图(c)是振动起始时刻;图(d)是振动系统的静平 衡位置,也即系统坐标原点位置。解:以m与m1碰撞这一时刻,作为时间的起点。取质H m和m1与弹簧k形成的新系统的静平衡位置为 坐标原点,如图(d)所示。质虽m自由落下距离h,其速度为v = , 2gh质

9、虽m与mi发生无反弹的弹性碰撞 (动虽守恒)后,质量v0 =vm m1mmz则初始速度为黑=v°= m V2gh m m初始位移为X0 = -( 2 一 1)(m mi)g m 一 mgk k k系统的固有频率为由初始条件所确定的系统的自由振动为X = X0 cos nt 力 sin ntn-四 cos nt 尸顽 sin ntk n (m mi) n n、静变形法-计算固有频率的一种方法k = 四 (A是弹簧在质虽块处的静变形)CO =n(2-6)m故只要知道弹簧在质虽块处的静变形,就可以直接计算系统的固有频率。这在一些实际问题中,不能直接给出系统的弹簧刚度时,利用它计算固有频率是

10、比较方便的。例由材料力学挠曲线方程,得Pl3 勿 4x3 48EI l l3静变形为=mgl!48EIn三、等效弹簧刚度对于实际的机械系统,尽管其外形各不相同,但都可把它们简化成弹簧质H系统,其运动微分方程为典X kex = 0me - 等效质虽ke -等效刚度1.等效刚度的定义刚度k的定义:使系统的某点沿指定的方向产生单位位移(或角位移)时,在该点沿同一方向所要施加的力(或力矩),就称之为系统在该点沿指定方向的刚度。设某点沿指定方向的位移为 x,在该点同一方向所施加的力为F,则刚度为k=旦。x(1)杆的拉伸刚度(压缩刚度)为求杆的拉伸刚度,可设在 A点处作用一拉力 P。此时EA杆作拉伸变形。

11、由材力知 A点的拉伸变形为PlXa =EA则A点沿X方向 的拉伸刚度为Xa lii(2) 梁的弯曲刚度13由材力知,A点的静挠度为Pl3 yA = 3EI则A点沿x方向的弯曲刚度为. P 3EIk了Va l(3) 轴的扭转刚度确定等直轴绕x轴的转动方向的刚度,在 A点处绕x轴的转动方向施加一扭矩 M,这时轴作扭转变形,产生扭转角 9。根据材力扭转角公式MlGInd4式中In32则A点绕x方向的扭转刚度为.M G、ktA l由上可见,即使是机械中的同一个元件,根据所要研究 的不同方向的振动,是会有不同刚度的。2.弹簧的串并联的等效刚度(教材1.5)振动系统中常常会遇到把若干个弹簧串联或并联在一

12、起使用。这种用组合弹簧组成的系统可用单一的具有等效刚度ke的弹簧表示。 e(i)串联弹簧的等效刚度 keki"2A IIF|x两根刚度分别为 k1和k2的弹簧串联在一起的系统, 它可用等效刚度为ke的一根弹簧来代替。在串联弹簧的 A点加一 e垂直力F,显然两根弹簧所受到的力均相同,但伸长不同,分别为和旦,则A点的位移为两根弹簧的总伸长: k1k2kik21ki1 I k?则弹簧的串联的等效刚度为kik2i5或写成k< k2k1k2可见,串联弹簧的作用可使系统中的弹簧刚度降低。n根弹簧串联,其等效刚度为keqk1k2(2)并联弹簧的等效刚度两根刚度分别为 k1和k2的并联弹簧可用

13、一根等效刚度 为ke弹簧来代替。在并联弹簧的 A点加一垂直力F,必须使 两根弹簧k1和k2具有相同的位移,但两根弹簧的受力不 同,分别为k1 xA和k2xA,根据静力平衡条件,有F = 5a k2XA = (ki k2)XA则弹簧的并联的等效刚度为keq =峪 k2可见,并联弹簧的刚度是原来弹簧刚度之和,比原来各个弹 簧刚度都要大。n根弹簧并联,其等效刚度为keq = ki k2 III kn例题:计算系统固有频率。ki弹簧串联,其等效刚度为k2ik2kikik2m(k1 k2)ki思考题:图示系统固有频率?注:一个系统,由于所处的位置不同,则系统的等效刚度也不同。例如对于图(a),根据牛顿第

14、二运动定律,系统的运动方程ml2二-mglsin-(kasin ) (acos )因系统作微幅振动,故 sin ”), cos 1ml2(mgl ka2)。= 0对于图(b),系统的运动方程ml2ka2,= 0则其等效刚度为 k ka2eql mg图(b)对于图(c),系统的运动方程mF=mglsin71 - (kasin71 ) (acos )即 mF(ka m§l = 0一 mgl四、扭转振动一根扭转刚度为kt的垂直轴,下端固定着一个转动惯虽为 J的圆盘。根据 牛顿运动定律,系统的扭振方程为JI 2 - 0 n则由此可见,除了选择的坐标系不同之外,扭转振动与直线振 动的数学描述是完全相同的。 故弹簧质虽系统的有关结论完 全适用于扭转振动例题3:确定图示扭转系统 的固有频率。轴 1:di,Li解:因轴1和轴2有相同的扭 转角,故属于弹簧并联轴 2:d2,L221根据.GIkt、32,zzzzktiGd143211kt2Gd43212ktGd4d2kt = i Gch4 d;J 32J £ I2

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