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1、容斥原理当两个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部 分。【知识要点】原理1设有n件事物，其中n件具有性质1，n2件具有性质2； n 1.2件同时具有 n和n2的性质，则n件事物中具有性质1和性质2的事物共有：n + n2 + n1.2既不具有性质1又不具有性质2的事物共有：n m n2+ n1.2原理2设有n件事物，其中m件具有性质1，n2件具有性质2，n3件具有性质 3; n1.2件具有性质1和1，n1.3件具有性质1和3，n2.3件具有性质2和3，n1.2.3 件具有性质1、2、3。那么n件事物中，至少含有性质1、2、3中任意一个性质 的事物有：n+ n2+ n3
2、n 1,2 n 2,3 n 1,3+ n 1,2,3既不具有性质1、性质2,也不具有性质3的事物共有：n n1 n2 n3+ n 1,2+ n 2,3+ n1,3 n 1,2,3【例题选讲】例1 .六（一）班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既 会骑车又会游泳的4人，两样都不会的有多少人？例2 .求在1100的自然数中不是3的倍数，也不是4的倍数的数有多少个?例3.以108为分母的最简真分数共有多少个？和是多少?例4 .一次数学测验只有两道题，结果全班有 10人全对，第一题有25人做对, 第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？例5.次数学练习，甲答错题目总数的 1
3、,乙答对7道题，两人都答对的题目9是题目总数的1。问甲至少答对多少道题？6【课内练习】1. 某校有学生960人，其中510人订阅中国少年报,330人订阅少年文艺, 120人订阅中小学数学教学报，其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅 三种报刊。问这个学校中没有订阅任何报刊的学生多少人？2. 求在1100的自然数中不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个?3. 求在1300的自然数中不是3的倍数，不是5的倍数，也不是6的倍数的数 有多少个？4. 分母是1001的最简真分数有多少个？和是多少?15. 在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的 -,乙答错了 3道，甲、乙都错的4题占题目总数的丄。求甲、
4、乙都答对的题目数。66. 100个学生只有一人没学过外语，学过英语有的39人，学过法语的有49人, 学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的 有13人，学过法语也学会俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？7. 48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，这48人中独生子女有几人？8. 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既 爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好， 也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？9图书室有100本书，
5、借阅图书者需在图书上签名。已知这 100本书中有甲、 乙、丙签名的图书分别为33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图 书为29本，同时有甲、丙签名的图书为 25本，同时有乙、丙签名的图书为 36本。问：这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙任何一人借阅过？【例题选讲】例1.六（一）班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既 会骑车又会游泳的4人，两样都不会的有多少人？解：46-（17+14-4）=19（人）例2.有三个面积各为30平方厘米的圆，两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三个圆共同重叠的面积为3平方厘米（如图），三个圆 共盖住多大面积？解:
6、30 × 3-5-6-8+3=74-、例3.五环图中每一个环内半径为4厘米，外半径为5厘米。其中两两相交的小 曲四边形（图中阴影部分）的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米，求每个小曲四边形的面积。解：3.14×（ 52-42）× 5-122.5 ÷8=2.35例4 .一次数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？解： 18- （25-10） =3 （人）解:100 100100100-3=6756302.某校有学生960人，其中510人订阅中国少年报，330人订阅少年文
7、艺， 120人订阅中小学数学教学报，其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅 三种报刊。问这个学校中没有订阅任何报刊的学生多少人？解: 960-( 510+330+120 -270+58)=212 (人)3图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这100本书中有甲、乙、丙签名的图书分别为33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图 书为29本，同时有甲、丙签名的图书为 25本，同时有乙、丙签名的图书为 36本。问：这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙任何一人借阅过？解：100-( 33+44+55-29-25-36) +25=33 (本)4.分母是1001的最简真分数有多少个?
8、解：1001 10J 1001 1001 1001 1001 10017111377911435.在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的100110017261-,乙答错了 3道，甲、乙都错的4题占题目总数的6。求甲、乙都答对的题目数1解：总题数应是12的倍数。如果共12道题，甲错12× 134乙错 3 共 12- (3+3-2) =86 .以105为分母的最简真分数共有多少个？48解: 105亜遁迺亜迺匹匹3571521351057. 100个学生只有一人没学过外语，学过英语有的39人，学过法语的有49人, 学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的 有1
9、3人，学过法语也学会俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？解：100-1- (39-49+41-14-13-9) =6 (人)8. 48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是 有弟弟有妹妹人数的2倍，这48人中独生子女有几人？解:有妹妹2人48 :有弟弟10人I无妹妹8人I无弟弟38人,有妹妹4人，无妹妹34人9. 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球, 那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？解：48- (48-27) + (48-33) + (48-40) =4 (人)10某班有 42人，其中 26人爱打篮球， 17人爱打排球， 19人爱踢足球， 9人 既爱打篮球又爱踢足球， 4 人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱 好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 解： 26+17+19-9-4-42=7 人1例5.一次数学练习，甲答错题目总数的 1 * * * * 6 * 8 9 ,乙答对7道题，两人都答对的题目91是题目总数的1。问甲至少答对多少道题？6解：总题数应是18的倍数，（1）如果共18道题，两人共对8（2）如果是36题，则甲对36×32题 经验证符合题意9【课内练习】1.求在1100的自然数中不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？