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1,7.3.4 利用球面坐标计算三重积分,一、球面坐标,2,3,r =常数，即以原点为心的球面。, =常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。, =常数，即过z轴的半平面。,4,球面坐标下的体积元素,5,为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面r = 常数， =常数， =常数把积分区域分成许多小闭区域。,考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。,6,经线方向的长为 rd,这就是球面坐标系中的体积元素。,纬线方向的宽为 rsind,于是，小六面体的体积为,向径方向的高为 dr。,7,二、 三重积分的球面坐标形式,计算三重积分，一般是化为先r，再，最后的三次积分。,8,例如，半径为R的球体的体积,9,10,11,12,13,14,小结三重积分的计算方法：,基本方法：化三重积分为三次积分计算。,关键步骤：,(1)坐标系的选取,(2)积分顺序的选定（直角）,(3)定出积分限,15,柱形体域锥形体域抛物体域,柱面坐标,长方体四面体任意形体,球面坐标,球形体域或其中一部分,直角坐标,