概率论期末考试题型、知识点和公式复习.docx

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1、概率论期末复习知识点第一章 （A 卷 20 分， B 卷 22 分）2.二维连续型随机向量的联合概率密度、 性质1.事件的表式及其应用2.事件的关系与运算3.二维连续型随机向量的分布函数3.概率性质及其应用4.均匀分布4.古典概型5.二维正态分布5.条件概率6.边缘概率密度6.全概率公式7.随机变量的独立性7.贝叶斯公式8.二维随机向量的相关概率计算8.事件的独立性重点：O联合概率密度重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式O边缘概率密度第二章 （A 卷 22 分， B 卷 20 分）O随机变量的独立性1.离散型随机变量的概率分布第四章 （A 卷 21 分， B 卷 26 分）2.两点分布1.离

2、散型随机变量的期望3.二项分布2.连续型随机变量的期望4.泊松分布3.随机变量函数的期望5.概率密度函数及其性质4.方差6.连续型随机变量的分布函数5.方差的性质7.均匀分布6.协方差、协方差的性质8.指数分布7.相关系数9.标准正态分布、正态分布重点:O数学期望（随机变量及函数的数学期望）10.随机变量相关的概率计算O方差（离散型随机变量的方差）11.离散型随机变量函数的概率分布O协方差和相关系数重点：O正态分布，二项分布O离散型随机变量及函数的概率分布第五章 （A 卷 14 分， B 卷 12 分）第三章（A卷23分，B卷20分）1.雪比切夫不等式的应用1.离散型随机向量联合概率分布及分布

3、函数2.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律：厂B AB， AB A B ；概率的性质1. P(? )=0;2. A,A,An 两两互斥时：RAU AUU A)= P(A)+P(A),3. P(A) 1P(A)( A 是 A不发生)(D)4. 若 AB 则有：P(A) wP(B),P(AB =P(A),RBA)=RB-RA>,RAUE)=RE).5. P(A B) P(A) P(B) P(AB)(D), P( BA)=P( B)- P(AB)。古典概率模型中，事件A的概率A中包含基本事件数P(A)基本事件总数从n件商品中取出k商品，共有

4、C；一n!一 即 n 种取法n! n (n 1) k!(n k)! k2 1。D- R B)>0，称下式为事件 B发生条件下，事件A的条件概率P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式：若RB>0,贝U P(AB=P(BRA|B;若 P(A)>0,则 P(AB=P(A)P(B| A。设A, A,，人是两两互斥的事件，AU AUU A = Q,且P(A)>0,i = 1,2,n;另有 事件B它总是与A,甌,A之一同时发生，则n全概率公式： P(B)P(Ai )P(B | Ai)i 1贝叶斯公式：P(Ai | B) nP(Ai)P(B| Ai), i 1,2, n.(D)P(A

5、j)P(B | Aj)j 1定义：称 A B独立，如果P(AB= P(A)RB(D)。定理.若事件A B独立相互独立，则 A与B、A与B、A与B也相互独立。随机变量 X的分布函数：F(x)= P(X< x), - g < x <s。性质：P(a1<X< b1)=F(b1)-F(a”.D2-定义：设离散型随机变量X所有可能取的值为x1,x2,且有P(X Xk) Pk, k 1,2,。贝U称P1 , P2,为离散型随机变量X的概率分布或分布律。其中P1 , P2,满足 Pk 0, k 1,2,;：(1)Pk1.离散型随机变量的分布函数(累计频率):离散型随机变量XXX

6、1X2Xn( g)PP1P2Pn0x Xip1X1Xx2F(x)P(Xx)pkxk Xp1p2 X2XX31Xn()XpkF(Xk)F(Xk1), k1,2,E(X)n() k 1Xkpk, E(X2)n( k ')2IXk Pk ,D(X) E(X2)E(X)2(D)。Dr XB(n,p)-参数为(n.p)的二项分布：用X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数,则:P(Xk) C'pk(1、n kp)k 0,1, ,n(D3).数,E(X)np，D(X)np(1P).XP(入)-参数为入的泊松分布：p(k; ) P(X k)k!k 0,1, 2,.其中入>0是常E(X)

7、, D(X)X为连续型随机变量：有密度函数f (x) 0使:PG Xbi)b1f (x)dx,a1设 f (x)h(x)0a x b其它密度函数的性质:f(x) dxbh (x) dx 1 (D)a分布函数F (x)P(Xx)0xh(t)dta1(常用到的不定积分公式:k 1kxxx dx, e dxk 1,sin xdxcosx,dx2 2x1八arctg , udv uvvdu 等)在f (X)的连续点，有:bE(X) xha(x) dx, E(X2)F (x) f(x).b 2> xh(x) dx, D(X)E(X2)E(X)2D4- X N(2):参数为常数(1和(T >0

8、的正态分布:密度函数为f(x)沪(x )22 2,E(X)，D(X)标准正态分布，记作X N(0,1),1 x2/2/ e ,2E(X) 0 , D(X)分布函数：(x)1 e t /2d t (可查表得出).<2密度函数:(x)x ,f若 X N( , 2,N(0,1),XU(a, b)-均匀分布，密度函数:1 .(a b)/2, D(X)(b a)2/12.f(x) b a，a x b，E(X)0, 其他.X E(入)-参数为入的指数分布,密度函数:xf(x) e0,0,0.0), E(X) 1/,2D(X) 1/X, X2独立，XjN( i, i2),i1,2. aX1+bX2+c

9、a 口 1+b口 2+c, aS 12+b2 22)E(aXb) = aE(X)+b，QaX+b)= a2D(X)，E(aX+bY+c) = aE(X)+ bE(X)+c，X, Y独立，D( aX+bY+c) = a2D(X)+ b2D(X).二维离散型随机变量(X,Y ):PjP(X x,Y yj > 0,n(1)m()pj 1 ,n()m()Pj 1 Pij， Pji 1 Pij，分布函数F (x, y)PjXY yj独立：pj pi pj ,i1,2, .j 1,2,。Z g(X,Y), E(Z)njT im1)g(Xi,yj)Pj22Z X,Y,XY,X，丫 时，可计算：E(X)

10、, E(Y),y1y2yn( %)边缘X1p1P12P1nP1 X28P2nP2Xm %)Pmpmnpm %) E(XY) EB2)，E(Y2),P"2P n( %)二维离散型随机变量(X Y )Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)等。独立t不相关：Cov(X,Y) 0，或 E(XY) E(X)E(Y)。二维连续型随机变量(X, Y )密度函数f(x,y)h(x,y) (x,y) D 均匀分布时，h(X y)丄，d为D的面积,0其它dD是矩形(含正方形)、全部区域、三角形(含大三角形)、圆盘、直线与抛物线所围区域等。D5- 1f (x, y)dxdyh(x, y)dxdy

11、b dx 閥 h(x, y)dy(或c dy ：(?)h(x, y)dx)D11(a是区域D左边界的最小值，b是区域D右边界的最大值， A(x)是区域D的下边界函数，2 2(x) 是区域D的上边界函数；c是区域D下边界的最小值，d是区域D上边界的最大值， (X)是区域D的左边界函数，0 2(x)是区域D的右边界函数)。P(X,Y)Sf (x, y)dxdyh(x, y)dxdy( D 门 S疋矩形、一角形等)SD Sfx(x)f(x,y)dy总 h(x,y)dy a x b ,0x a 或 x bfy(y) f(x, y)dx(X,Y )独立：f(x,y) fx(x)fy(y) (D)D6Z

12、g(X,Y), E(Z)g(x,y)f(x,y)dxdy D g(x, y)h(x,y)dxdy；dxg(x,y)h(x, y)dy(或C dy g(x, y)h(x, y)dx)Z X'YXYxIy2时，可计算：E(X), E(Y), E(XY), E(X2), E(Y2).Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) , Xy Cov(X,Y)/ D(X)D(Y)(D0.2 2 2 2D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y). D(X) E(X ) E(X) , D(Y) E(Y ) E(Y). 独立t不相关：Cov(X,Y) 0，或 E(XY) E(X)E(Y)。E(X),D(X)存在，&任意，切比雪夫不等式：P( X E(X) )卫丄丝(&工0).D7- X,Xn独立，Xi服从0-1分布，p=P(X=1) , n充分大时，则P® I, b1)( b1 np )( a1 np )(D)p(1 p) 曲卩(1 p)