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1、6.1,平面向量及其线性运算（解析版） 6.1 平面向量及其线性运算 1. 向量相等、向量共线的概念；2. 向量相等或共线；3. 向量的几何表示；4. 向量的加法及几何意义；5. 三角形法则下的向量加减法运算；6. 利用已知向量表示其他向量；7. 向量加减法的综合运用；8. 向量的线性运算；9. 共线向量定理及其应用；10. 用向量的线性运算表示未知向量；11. 单位向量的应用；12. 三点共线的判定与性质. 一、单选题 1（2021全国课时练习）下列说法正确的是（ ） A若 a b =r r，则 a b = 或 ab = -r r B若 a 、 b 为相反向量，则0 a b + = C零向量
2、是没有方向的向量 D若 a 、 b 是两个单位向量，则 a b = 【答案】B 【解析】 对选项 A，若 a b =r r，只能表示 a 和 b 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A错； 对选项 B，若 a 、 b 为相反向量，则它们的和为零向量，故 B 对； 对选项 C，零向量的方向是任意的，故 C 错； 对选项 D，两个单位向量只是模都为 1，但方向不一定相同，故 D错 故选：B 2（2021.庐江期末）已知向量 a 与 b 共线，下列说法正确的是（ ） A a b = 或 a b= -r r B a 与 b 平行 C a 与 b 方向相同或相反 D存在实数 l ，使得 a b =
3、【答案】B 【解析】 向量 a 与 b 共线，不能判定向量模之间的关系，故 A错； 向量 a 与 b 共线，则 a 与 b 平行，故 B 正确； a 为零向量，则满足 a 与 b 共线，方向不一定相同或相反；故 C 错； 当0 a ¹r r，0 b =时，满足 a 与 b 共线，但不存在实数 l ，使得 a b =，故 D错. 故选：B. 3（2021全国课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） 任一向量与它的相反向量都不相等； 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； 平行且模相等的两个向量是相等向量； 若 ab ¹，则 | | | | a b
4、5; ； 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 A0 B1 C2 D3 【答案】B 【解析】 零向量与它的相反向量相等，错； 由相等向量的定义知，正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形 ABCD 中，/ / AB CD ，且 = AB CD ，但 ABCD ¹，故错； a b ¹，可能两个向量模相等而方向不同，错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，错 故选：B 4（2021孝义市第二中学校期末）下列命题正确的是（ ） A若向量/ a br r，则 a 与 b 的方向相同或
5、相反 B若向量/ a br r，/ b c ，则 / a c C若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D若向量 a b = ， bc =，则 ac = 【答案】D 【解析】 对于 A选项，向量/ a br r，可能0 b =，此时不能得到 a 与 b 的方向相同或相反，故 A选项错误. 对于 B 选项，向量/ a br r，/ b c ，可能 0 b =，此时不能得到/ a c ，故 B 选项错误. 对于 C 选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故 C 选项错误. 对于 D选项，根据向量相等的知识可知 D选项正确. 故选：D 5（2021山西期末（理）下
6、列关于向量的概念叙述正确的是（ ） A方向相同或相反的向量是共线向量 B若/ / a b ， / / b c ，则 / / a c C若 a 和 b 都是单位向量，则 a b = D若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 【答案】A 【解析】 由向量共线的定义可知，A正确； 当0 b =时，可知 B 不正确； 单位向量，方向不确定，故 C 不正确； 向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故 D不正确. 故选：A 6（2021全国课时练习）已知向量 a b ，且 AB = a +2 b ， BC =-5 a +6 b ， CD =7 a -2 b ，则一定共线的三
7、点是（ ） AABD BABC CBCD DACD 【答案】A 【解析】 A.因为 ( )3 6 3 2 3 AD AB BC CD a b a b AB = + + = + = + = ，所以 ABD共线； B.因为 BCAB l ¹，所以 ABC 不共线； C.因为 BCCD l ¹，所以 BCD不共线； D.因为 ADCD l ¹，所以 ACD不共线； 故选：A 7（2021吉林扶余市第一中学期中）下列说法中正确的是（ ） A零向量没有方向 B平行向量不一定是共线向量 C若向量 a 与 b 同向且 ab = ，则 ab = D若向量 a ， b 满足 a b
8、 > 且 a 与 b 同向，则 a b > 【答案】C 【解析】 对于 A，零向量的方向是任意的，故 A错误； 对于 B，平行向量就是共线向量，故 B 错误； 对于 C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确； 对于 D，两个向量不能比较大小，故 D错误 故选：C 8（2021广西河池期末）已知 P 是 ABC 所在平面内一点，若 CB PB PA CP l l+ = +，其中 R l Î ，则点 P 一定在（ ） A AC 边所在直线上 B AB 边所在直线上 C BC 边所在直线上 D ABC 的内部 【答案】B 【解析】 因为 CBPB PA CP l l + = +， 所以 ( ) CB CP PA PB l - = - ， 所以 PBBA l =， 所以点 P 在 AB 边所在直线上 故选：B 9（2021朔州市朔城区第一中学校期末（文） ABC 中，点 D 在 AB 上， CD 平分 ACB Ð 若 CBa =，CA b =， 1 = a ， 2 b = ，则 CD = （ ） A1 23 3a b + B2 13 3a b + C3 45 5a b + D4 35 5a b + 【答案】B 【解析】 如图所示，由题设条件知12， BDDACBCA12， BD 13BA 13( CA CB )13