6.5,平面向量应用—正弦定理、余弦定理（解析版）.docx

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1、6.5,平面向量应用正弦定理、余弦定理（解析版） 6.5 平面向量的应用 正弦定理、余弦定理 1. 已知两角和一边解三角形；2. 已知两边和其中一边的对角解三角形；3. 运用正弦定理求三角形的面积；4. 已知两边及一角解三角形；5. 已知三边解三角形；6. 判断三角形的形状；7. 综合应用正弦、余弦定理求边和角 8.正弦、余弦定理的综合应用；9. 正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用；10. 求取值范围问题；11. 不易到达点测量距离问题；12. 正、余弦定理在航海距离测量中的应用；13.平面向量与正弦定理、余弦定理；14. 函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用. 一、单选题 1（2021

2、湖北荆门外语学校期中）在 ABC 中，内角 、 、 A B C 对应的边分别为 a b c 、 、 ，若120 , 2 A b = ° = ，1 c = ，则边长 a 为（ ） A 7 B 5 C 3 D2 【答案】A 【解析】 在 ABC 中， 120 , 2 A b = ° = ， 1 c = ， 所以2 2 212 cos 4 1 2 2 1 72a b c bc A = + - = + - ´ ´ ´ = ， 7 a = 故选：A. 2. （2021湖北黄冈期末）在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a ，b，c，已知3cos5A=

3、 - ， 8 a= ，5 b= ，则 B = （ ） A4p B 6p C3p D56p 【答案】B 【解析】 因为3cos5A= - ，所以 A 为钝角，4sin5A = ， B 为锐角 由sin sina bA B= 得45sin 15sin8 2b ABa´= = =，所以6Bp= 故选：B 3（2021上海市七宝中学期末）在 ABC 中，" tan tan A B > '是" sin sin A B > '的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 在 ABC 中，若6

4、Ap= ，23Bp= ，则3tan3A = ， tan 3 B = - ，满足 tan tan A B > ；三角形中大边对大角，此时 A B < ，所以 a b < ，根据正弦定理得到 sin sin A B < ， 所以由" tan tan A B > '不能推出" sin sin A B > '； 若 sin sin A B > ，根据正弦定理，得到 a b > ，根据三角形中大边对大角得 A B > ，若 A 为钝角，则 tan 0 A< ，不能推出 tan tan A B > ； 综

5、上，" tan tan A B > '是" sin sin A B > '的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4（2021邯郸市永年区第一中学期末）在 ABC D 中，若2 2 2sin sin sin A B C + ，则 ABC D 的形状是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能确定 【答案】A 【解析】 因为在 ABC D 中，满足2 2 2sin sin sin A B C + < ， 由正弦定理知 sin ,sin ,sin2 2 2a b cA B CR R R= = = ，代入上式得2 2 2a b c +

6、 < ， 又由余弦定理可得2 2 2cos 02a b cCab+ -= < ，因为 C是三角形的内角，所以 ( , )2Cpp Î ， 所以 ABC D 为钝角三角形，故选 A. 5.（2021黑龙江龙凤大庆四中月考（文）在ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C的对边，如果 2b=a+c， B=30，ABC的面积是 32 ，则 b=（ ） A1+ 3 B 132+ C223 + D2+ 3 【答案】A 【解析】 由已知1 1 1 3sin sin302 2 4 2S ac B ac ac = = °= = ， 6 ac= ， 所以2 2 2 2 22 co

7、s30 ( ) 2 3 4 6(2 3) b a c ac a c ac ac b = + - ° = + - - = - + ，解得 3 1 b = + 故选：A 6（2021全国高三其他（理）设 G 是 ABC 的重心，且满足等式7sin 3sin 3 7sin 0 A GA B GB C GC × + × + × = ，则 B Ð = （ ） A45 B60 C90 D120 【答案】B 【解析】 7sin 3sin 3 7sin 0 A GA B GB C GC × + × + × = ，又 G 是 ABC

8、 的重心 0 GA GB GC + + =，观察类比得： 7sin 3sin 3 7sin 1 A B C = = = 由正弦定理知： 7 3 3 7 a b c = = ，则 3 a c = ， 7 = b c 即得2 2 2 2 2 22 210 7 3 1cos2 2 3 6 2a c b c c cBac c c+ - -= = = =× ×， 60 B= ° 故选：B 7（2021全国高三月考（文）在 OAB D 中，已知 2 OB = ，1 AB = ， 45 AOB Ð = ° ，点 P 满足( ) , OP OA OB l m

9、l m = + ÎR ，其中 l ， m 满足 23 l m + = ，则 OP 的最小值为（ ） A3 55 B2 55 C63 D62 【答案】A 【解析】 在 OAB D 中,已知 2 OB = , 1 AB =uuur, 45 AOB Ð = ° 由正弦定理可得sin sinAB OBAOB OAB=Ð Ð 代入1 2sin 22OAB=Ð,解得 sin 1 OAB Ð = 即2OABpÐ = 所以 OAB D 为等腰直角三角形 以 O 为原点, OB 所在直线为 x 轴,以 OB 的垂线为 y 轴建立平面

10、直角坐标系如下图所示: 则点 A 坐标为2 2,2 2æ öç ÷ç ÷è ø 所以2 2,2 2OAæ ö= ç÷ç ÷è ø, ( ) 2,0 OB = 因为 ( ) , OP OA OB l m l m = + ÎR 则 ( )2 2, 2,02 2OP l mæ öç ÷= +ç ÷è ø2 22 ,2 2l m læ ö

11、;ç ÷ç ÷è ø= + 则2 22 222 2OP l m læ ö= + +æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 2 22 2 l lm m = + + 因为 2 3 l m + = ,则 3 2 m l = - 代入上式可得 ( ) ( )223 2 2 2 3 2 l l l l + - + - 218 5 18 l l - = + 29 955 5l&#

12、230; ö= - +ç ÷è ø 所以当95l = 时, min9 3 55 5OP = = 故选:A 8（2021内蒙古扎鲁特旗扎鲁特一中期末（理）在锐角三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且2 2 222cos2a c bAc bc+ -=-， 4 c= ， ABC 面积的取值范围是（ ） A ( ) 2 3,8 3 B ( ) 2,8 C ( 2 3,8 ùû D)2 3,8éë 【答案】A 【解析】 2 2 222cos2a c bAc bc+ -=-

13、，由余弦定理得22 cos2cos2ac BAc bc=-， cos cos 2 cos a B b A c A + = ，由正弦定理得 sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A + = ， 即 sin( ) 2sin cos sin A B C A C + = = ，又 (0, ) C p Î ， sin 0 C ¹ ，1cos2A= ， (0, ) A p Î ，3Ap= ， 三角形为锐角三角形，23 2B Cp p= - < ，6Cp> ，即 ,6 2Cp p æ öÎ ç&

14、#247;è ø， 1sin 32ABCS bc A b = =， 由正弦定理sin sinb cB C= 得24sin4sin 2 3cos 2sin 2 3 32sin sin sin tanCB C CbC C C Cp æ ö-ç ÷+è ø= = = = +， ,6 2Cp p æ öÎ ç÷è ø，3tan3C > ， 2 8 b < < ， (2 3,8 3)ABCS Î 故选：A 9（2021内蒙古扎鲁

15、特旗扎鲁特一中期末（文）在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a ， b ，c 且3 sin sin( )tan a B b B C C = + ，则 cosC = （ ） A12 B12- C32 D32- 【答案】A 【解析】 在 ABC 中， sin( ) sin B C A + = 所以 sin( )tan sin tan b B C C b A C + = ， 所以 3 sin sin tan a B b A C = ， 由正弦定理可知， 3sin sin sin sin tan A B B A C = ， 又 ( ) , 0, A B p Î ， 所以

16、 tan 3 C = ， 又 ( ) 0, C p Î ，所以3Cp= ， 所以1cos2C = . 故选：A. 10（2021全国高一单元测试）在 ABC 中，角 A B C ， ， 的对边分别为 a b c ， ， ，已知 2 5 c = ，且2 sin cos sin sin a C B a A b B = - +5sin2b C ，点 O 满足 0 OA OB OC + + = ，3cos8CAO Ð = ，则ABC 的面积为（ ） A553 B 3 5 C 5 2 D55 【答案】D 【解析】 由52 sin cos sin sin sin2a C B a A b

17、 B b C = - + ， 可得2 2 22 2522 2a c bac a b bcac+ -´ = - + ，即52c b = .又 2 5 c = ，所以 4 b = 因为0 OA OB OC + + =，所以点 O 为 ABC 的重心， 所以3 AB AC AO + =，所以3 AB AO AC = -， 两边平方得2 2| 9 | 6 cos AB AO AO AC CAO = - Ð2| | AC + 因为3cos8CAO Ð = ，所以2 2 23| 9 | 6 | |8AB AO AO AC AC = - ´ +， 于是29| | AO

18、 - 9 4 0 AO - = ，所以43AO = ， AOC 的面积为1 1 4sin 42 2 3AO AC CAO ´ ´ ´ Ð = ´ ´ ´23 5518 3æ ö- =ç ÷è ø. 因为 ABC 的面积是 AOC 面积的 3 倍.故 ABC 的面积为 55 二、多选题 11（2021江苏盱眙马坝高中期中）（多选）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 1 a = ， 3 b = ， 30 A= °

19、 ，则 B = （ ） A 30 B 150° C 60° D 120° 【答案】CD 【解析】 由正弦定理sin sina bA B= ， 得13sin 32sin1 2b ABa´= = =. 又 b a > ， 0 180 B °< < ° ， 所以 60 B= ° 或 120 B= ° ， 故选：CD. 12 （2021河北月考） a ， b ， c 分别为ABC 内角 A ， B ， C 的对边.已知 ( )sin 3 sin b A b c B = -，且1cos3A= ，则（ ） A

20、 3 a c b + = B tan2 2 A= C ABC 的周长为 4c D ABC 的面积为22 29c 【答案】ABD 【解析】 ( )sin 3 sin b A b c B = -， ( )3 ab b c b = -， 3 a b c = - . 由余弦定理得 ( )22 23 2 cos b c b c bc A - = + - ， 整理得23b c = ，又1cos3A= ， 2 2sin3A= ， tan 2 2 A= . 周长为 4 a b c b + + = . 故 ABC 的面积为21 2 2sin2 9bc A c =. 故选：ABD 13. （2021江苏镇江期末）

21、在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边，已知coscos 2B bC a c=-，3 34ABCS =，且 3 b = ，则（ ） A1cos2B = B3cos2B = C3 a c + = D ac 3 2 + = 【答案】AD 【解析】 cos sincos 2 2sin sinB b BC a c A C= =- -， 整理可得： sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B = - ， 可得 ( ) sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B + = + = = ， A为三角形内角，

22、 sin 0 A¹ ， 1cos2B = ，故 A 正确，B错误， ( ) 0, B p Î ， 3Bp= ， 3 34ABCS =，且 3 b= ， 3 3 1 1 3 3sin4 2 2 2 4ac B a c ac = = ´ ´ ´ =， 解得 3 ac= ， 由余弦定理得 ( ) ( )2 22 29 3 9 a c ac a c ac a c = + - = + - = + - ， 解得 ac 3 2 + =，故 C错误，D 正确. 故选：AD. 14（2021山东潍坊高一期末）在 ABC 中， a ， b ， c 分别是内角 A

23、， B ， C 所对的边， 3 2 sin a c A = ，且 02C < <p， 4 b = ，则以下说法正确的是（ ） A3Cp= B若72c = ，则1cos7B = C若 sin 2cos sin A B C =，则 ABC 是等边三角形 D若 ABC 的面积是 2 3 ，则该三角形外接圆半径为 4 【答案】AC 【解析】 由正弦定理可将条件 3 2 sin a c A = 转化为 3sin 2sin sin A C A = ， 因为 sin 0 A¹ ，故3sin2C = ， 因为 (0, )2CpÎ ，则3Cp= ，故 A 正确； 若72c = ，

24、则由正弦定理可知sin sinc bC B= ，则4 3 4 3sin sin72 72bB Cc= = ´ =， 因为 (0, ) B p Î ，则248 1cos 1 149 7B sin B = ± - = ± - = ± ，故 B 错误； 若 sin 2cos sin A B C = ，根据正弦定理可得 2 cos a c B = ， 又因为 3 2 sin a c A = ，即2 3sin3a c A = ，即有2 3sin 2 cos3c A c B = ，所以 sin 3cos A B = ， 因为23A B Cpp + = -

25、= ，则23A Bp= - ，故2sin( ) 3cos3B Bp- = ， 整理得3 1cos sin 3cos2 2B B B + = ，即1 3sin cos2 2B B = ， 解得 tan 3 B = ，故3Bp= ，则3Ap= ， 即3A B Cp= = = ，所以 ABC 是等边三角形，故 C 正确； 若 ABC 的面积是 2 3 ，即1sin 2 32ab C = ，解得 2 a = ， 由余弦定理可得2 2 212 cos 4 16 2 2 4 122c a b ab C = + - = + - ´ ´ ´ = ，即2 3 c = 设三角形的外接

26、圆半径是 R ， 由正弦定理可得2 32 4sin 32cRC= = =，则该三角形外接圆半径为 2，故 D错误， 故选：AC 三、填空题 15（2021江苏南通高三其他）在平面四边形 ABCD中，已知点 E，F 分別在边 AD，BC 上，3 AD AE =，3 BC BF =， 3 AB = ， 2 EF = ， 3 DC = ，则向量 AB 与 DC 的夹角的余弦值为_ 【答案】5 312 【解析】 如图，连结 AC，取点 G，使得 AC=3AG，连结 EG,FG， 则 EGF Ð 为 AB 与 DC 所成交的补角， 在 EGF 中，2 31, , 23= = = EG FG E

27、F 由余弦定理可得 2 2 22 31 ( ) 25 33cos12 2 32 13+ -Ð = = -´ ´EGF，所以 AB 与 DC 所成交角的余弦值为5 312 故答案为：5 312 16（2021湖北蔡甸汉阳一中高一期中）已知 , , a b c 分别为 ABC 的三个内角, , A B C 的对边，8 b= ，且2 23cos5ac B a b bc = - + ， O 为 ABC 内一点，且满足0 OA OB OC + + =， 30 BAO Ð = ° ，则 OA =_ 【答案】6415 【解析】 ABC D 中，2 23cos

28、5ac B a b bc = - + ， 由余弦定理可得2 2 22 232 5a c bac a b bcac+ -= - + ， 2 2 265b c a bc + - = ， 2 2 2635cos2 2 5bcb c aAbc bc+ - = = =， 4sin5A = ； 6 b = ， 30 BAO Ð = ° ，且0 OA OB OC + + =， O 为 ABC D 的重心，且13ABO ABCS SD D= ，如图所示； 则1 1 1| | sin30 sin2 3 2c OA cb BAC °= ´ Ð ， 求得1 4 64

29、| | 8 23 5 15OA = ´ ´ ´ = 故答案为：6415 17.（2021四川省武胜烈面中学校高一期中）在 ABC 中，已知 ( ) 2 3 cos cos b b C c B = + ，点 M，N在边AC ， BC 上，满足13AM AC = ，12BN BC = ， BM 与 AN 交于点 P，则CPAB的取值范围是_. 【答案】1,25æ öç ÷è ø 【解析】 由 ( ) 2 3 cos cos b b C c B = + ，得 2sin 3(sin cos sin cos ) 3

30、sin( ) 3sin B B C C B B C A = + = + = ，所以 23 b a = ， 设 CBa =， CA b = ， 点 M，N 在边 AC ， BC 上，满足13AM AC = ，12BN BC = ， BM 与 AN 交于点 P， ( ) ( )1 1 112 2 2CP CN NP CB NA CB CA CN a b l l l l = + = + = + - = - + ， 又( ) ( )2 2 213 3 3CP CM MP b MB b CB CM a b m m m m = + = + = + - = + - ， 由得1(1 )22(1 )3l ml

31、mì- =ïïíï= -ï î，解得12l = ，14m = ， 1 14 2CP a b = + ，又 ABa b = -，由 2 3 b a = ，可设 3 , 2 b k a k = = ， 22 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 9 3cos cos5 3cos16 4 4 4 4 22 cos 4 9 12 cos 26 24cosa b ab C k k k CCPCa b ab C k k k C CAB+ + + += = =+ - + - -1 78 8(13 12cos ) C= - +

32、-， 根据 1 cos 1 C - < < 可得221425CPAB< <， CPAB的取值范围是1,25æ öç ÷è ø. 故答案为：1,25æ öç ÷è ø. 四、双空题 18（2021浙江高三月考）在锐角 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，3Ap= ，7 a = ，3 c= ，则 b= _， sin sin B C + = _. 【答案】2 5 2114 【解析】 由2 2 22 cos a b c b

33、c A = + - 得： 2 b = 或 1 b= ，因为锐角 ABC ，所以 2 b = ；由sin sin sina b cA B C= = 可得：21sin7B = ，3 21sin14C = ，5 21sin sin14B C + =. 故答案为：2，5 2114. 19.（2021夏津第一中学高一月考）在ABC 中，角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，已知 b1，c2且 2cosA（bcosC+ccosB）a，则 A_；若 M为边 BC 的中点，则|AM|_ 【答案】3p 72 【解析】 2cosA（bcosC+ccosB）a，由正弦定理可得 2cosA（sinBcosC+s

34、inCcosB）sinA， 2cosAsin（B+C）2cosAsinAsinA，A（0，），sinA0，cosA12，可得 A3p. M为边 BC 的中点，b1，c2， 则 2 AM ABAC +，两边平方可得 4| AM | 2 | AB | 2 +| AC | 2 +2 AB AC 1+4+212127， 解得| AM|72 故答案为：73 2p， 20（2021浙江省东阳中学高一期中）在 ABC 中， A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ，点 D 为边 AC 上 的中点，已知 5 a = ， 7 b = ， 8 c= ，则 B = _； BD= _ 【答案】3p 129

35、2 【解析】 由题意2 2 225 64 49 1cos =2 2 5 8 2a c bBac+ - + -= =´ ´， 又因为 (0, ) B p Î ，所以3Bp= ； 又( )1=2BD BA BC + ， 两边平方可得( )22 12 cos4BD BA BC BA BC B = + + × 1 1 12964 25 2 8 54 2 2æ ö= + + × × × =ç ÷è ø 故答案为:12，1292. 故答案为： 3p，1292. 21（2021湖南岳阳期末）已知锐角 ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：3Ap= ； 13 a= ；15 c = ；1sin3C = .则这三个条件是_（只填写序号）， ABC 的面积是_ 【答案】 30 3 【解.