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1、专题1.2,立体几何初步（解析版） 1 专题 1.2 立体几何初步 一、选择题：（本大题共 16 题，每小题 4 分，共计 64 分） 1、如图，长方体1 1 1 1ABCD ABC D - 中，13, 2, 1 AB BC BB = = = ，则线段1BD 的长是（ ） A14 B 2 7 C28 D 3 2 【答案】A 【解析】2 2 21 19 4 1 14 BD AB AD AA = + + = + + = ，故选 A. 2 2、棱长分别为 2、 、 的长方体的外接球的表面积为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】设长方体的外接球半径为 ，由题意可知： ，则： ， 该长方体的外接
2、球的表面积为 . 本题选择 B 选项. 3、设 a 正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，异面直线 BD 1 与 AC 所成的角等于( ) A60 B45 C30 D90 【答案】D 【解析】画出图像如下图所示，连接1 1, BD B D ，由于几何体为正方体，故1, AC BD AC DD ，所以 AC 平面1 1BB D D ，所以1AC BD ,即所成的角为 90 . 2 4、在正方体1 1 1 1ABCD AB C D - 中，异面直线1A B 与 AC 所成角是（ ） A 30 B 45° C 60° D 90° 【答案】C 【解析】在正方
3、体1 1 1 1ABCD ABC D - 中，1 1/ / AC AC ， 所以1 1BAC Ð 即为所求（或其补角）. 连接1BC ，因为1 1 1 1BC AC AB = = ，所以1 1B 60 AC Ð = ° .故选 C. 5、已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 直线 l 满足 lm，ln，l，l，则（ ） A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 【答案】D 【解析】：由 m平面 ，直线 l 满足 lm，且 l，所以 l， 又 n平面 ，ln，l，所以 l 由直线 m，n 为异面直线，且 m平面 ，
4、n平面 ，则 与 相交，否则，若 则推出 mn， 与 m，n 异面矛盾 故 与 相交，且交线平行于 l 故选：D 6、对于直线 和平面 ，能得出 的一组条件是（） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 【答案】C 【解析】A选项中，根据 ， ， ，得到 或 ，所以 A 错误； B 选项中， ， ， ，不一定得到 ，所以 B 错误； C 选项中，因为 ， ，所以 . 又 ，从而得到 ，所以 C 正确； 3 D选项中，根据 ， ，所以 ，而 ，所以得到 ，所以 D 错误. 故选：C. 7、如图，在长方体 中，若 分别是棱 的中点，则必有（） A B C平面 平面 D平面平面 【答案】D
5、【解析】选项 A:由中位线定理可知： ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以 不可能互相平行，故 A选项是错误的； 选项 B:由中位线定理可知： ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故 B 选项是错误的； 选项 C:由中位线定理可知： ，而直线 与平面 相交，故直线 与平面 也相交，故平面 与平面 相交，故 C 选项是错误的； 选项 D:由三角形中位线定理可知： ，所以有 平面 ， 平面 而，因此平面 平面 ，故本题选 D. 8、三棱柱 中， ， 、 、 ，则该三棱柱的外接球的表面积为( ) A 4 B 6 C 8 D 10 【答案】C 【解析
6、】由题意得三棱柱为直三棱柱，且正好是长方体切出来的一半，所以外接球半径为， ，选 C. 4 9、如图所示， 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 为圆上异于 的任一点，则下列关系中不正确的是（） A B 平面 C D 【答案】C 【解析】因为 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 即 平面 ，得 ，A 正确； 又 为圆上异于 的任一点，所以 ， 平面 ， ，B，D 均正确. 故选 C. 10、已知 l ， m 是两条不同的直线， a 是平面，且 / m a ，则（ ） A若 / l m ，则 / / l a B若 / / l a ，则 / l m C若 l m ，则 l a D若 l a ，则 l
7、 m 【答案】D 【解析】 A 选项 有可能线在面内的情形，错误； B 选项中 l 与 m 还可以相交或异面，错误； C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误， D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：D 11、如果用, m n 表示不同直线，, , a b g 表示不同平面，下列叙述正确的是（ ） A若 / m a ， / m n ，则 / / n a B若 / m n ， ma Ì， n b Ì ，则 / / a b C若 ag ， b g ，则 / / a b D若 m a ， n a ，则 / m n 【答案】D 5 【解析】选项 A 中还有直线 n 在平面
8、 a 内的情况，故 A 不正确， 选项 B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故 B 不正确， 选项 C 中还有 , a b 相交，故 C 不正确， 故选：D 12、张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥 A BCD - 的每个顶点都在球 O 的球面上， AB 底面 BCD ， BC CD ，且 3 AB CD = = ，2 BC = ，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B 10 10 C33 D 12 10 【答案】B 【解析】因为 BC CD ，所以7 BD =，又 AB 底面 BCD ， 所以球 O
9、 的球心为侧棱 AD 的中点，从而球 O 的直径为 10 . 利用张衡的结论可得2516 8p= ，则 10 p = ， 所以球 O 的表面积为2104 10 10 102p pæ ö= =ç ÷ç ÷è ø. 故选：B 13、若 P 是 ABC 所在平面外点, PA , PB , PC 两两垂直,且 PO 平面 ABC 于点 O ,则 O 是ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 【答案】D 【解析】 连结 OA 并延长交 BC 与 D ,连结 BO 并延长交 AC 于 E , 6 PA PB , PA
10、 PC , PB PC P Ç = PA 面 PBC 又 BC Ì 面 PBC PA BC , PO 面 ABC PO BC BC 面 , PAO 故 AOBC ,即 AD BC 同理: BEAC ;根据三角形垂心定义可知: O 是 ABC 的垂心.故选:D. 14、已知一个表面积为 44 的长方体,且它的长、宽、高的比为 3: 2:1,则此长方体的外接球的体积为 （ ） A B C D 【答案】D 15、已知平面 / / / / a b g ，两条直线 l，m 分别与平面, , a b g 相交于点 、 、A B C 和 D E F 、 、 ，若 6 AB = ，: 2:
11、5 DE DF = ，则 AC =（ ） A10 B15 C18 D21 【答案】B 【解析】如图，若 AC 与 DF 不平行，则过 A 作 / AN DF 交 b 于 M ，交平面 g 于 N ，连接, , , , AD EM FN MB NC ， / AN DF ，所以 , AN DF 共面， 平面 ANFD AD a = ，平面 ANFD EM b = ，平面 ANFD FN g = ， / / / / a b g ， 7 / / AD EM FN ，DE AMDF AN= ，同理相交直线 , AN AC 确定平面 ANC 与平面 b g ， 分别交于, BM CN ，因此/ BM CN
12、 ， AM ABAN AC= ， 所以AB DEAC DF= ，即6 25 AC= ， 15 AC = ， 若 / AC DF ，上面的 M 就是 B ， N 就是 C ，同理可得故选：B. 16、设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为 9 ，则三棱锥DABC 体积的最大值为（ ） A12 B18 C24 D54 【答案】B 【解析】ABC 为等边三角形且面积为 9 ，可得 ，解得 AB6， 球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O，显然 D 在 OO 的延长线与球的交点如图： OC ，OO 2，则三棱锥 DABC 高的最大值为：6， 则三棱锥
13、DABC 体积的最大值为： 18 故选：B 8 二、解答题（本大题共 4 小题，共计 36 分） 17、（本小题 8 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 O 为对角线 BD 的中点，点E，F 分别为棱 PC，PD 的中点已知 PAAB，PAAD. 求证： (1) 直线 PB平面 OEF； (2) 平面 OEF平面 ABCD. 【解析】证明：(1) 在PBD 中，O 为 BD 的中点，F 为 PD 的中点所以 OFPB，(3 分) 因为 PB平面 OEF，OF平面 OEF，(7 分) 所以直线 PB平面 OEF (2)解法 1 连结 AC，因为底面 ABCD 为
14、平行四边形，O 为 BD 的中点，所以 O 为 AC 的中点 在PAC 中，O 为 AC 的中点，E 为 PC 的中点， 所以 OEPA，(9 分) 因为 PAAB，PAAD， 所以 OEAB，OEAD，(11 分) 又因为 ABADA，AB，AD 在平面 ABCD 内， 所以 OE平面 ABCD. 因为 OE平面 OEF，所以平面 OEF平面 ABCD.(14 分) 解法 2 连结 AC，因为 ABCD 为平行四边形，所以 AC 与 BD 交于点 O，O 为 AC 中点，又 E 为 PC中点，所以 PAOE，因为 PAAB，PAAD，ABADA，所以 PA平面 ABCD，所以 OE平面 AB
15、CD.又 OE平面 OEF，所以 OEF平面 ABCD. 18、（本小题 8 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，已知 ABBC，E，F 分别是 A 1 C 1 ，BC 的中点 (1) 求证：平面 ABE平面 B 1 BCC 1 ； (2) 求证：C 1 F平面 ABE. 9 【解析】(1) 证明：在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，BB 1 底面 ABC， 因为 AB平面 ABC，所以 BB 1 AB. 又因为 ABBC，BB 1 BCB，BB 1 ，BC平面 B 1 BCC 1 ， 所以 AB平面 B 1 BCC 1 . 又 AB平面 ABE，所以平面 ABE
16、平面 B 1 BCC 1 . (2)证明：取 AB 中点 G，连结 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A 1 C 1 ，BC 的中点， 所以 FGAC，且 FG 12 AC. 因为 ACA 1 C 1 ，且 ACA 1 C 1 ， 所以 FGEC 1 ，且 FGEC 1 . 所以四边形 FGEC 1 为平面四边形， 所以 C 1 FEG. 又因为 EG平面 ABE，C 1 F平面 ABE， 所以 C 1 F平面 ABE. 19、（本小题 10 分）在四棱锥 PABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，ABAD，ABBC. (1) 求证：BC平面 PAD； (2) 平面 P
17、AD 平面 ABCD. 【解析】 (1) 因为 ABAD，ABBC，且 A，B，C，D 共面，所以 ADBC. 因为 BC平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BC平面 PAD. 10 (2)过点 D 作 DHPA 于点 H，因为是锐角PAD，所以 H 与 A 不重合 因为平面 PAD平面 PAB，平面 PAD平面 PABPA，DH平面 PAD. 所以 DH平面 PAB， 因为 AB平面 PAB，所以 DHAB. 因为 ABAD，ADDHDAD，DH平面 PAD， 所以 AB平面 PAD. 因为 AB平面 ABCD.所以平面 PAD平面 ABCD. 20、（本小题 10 分）如图，正三棱柱 A
18、BCA 1 B 1 C 1 中，点 M，N 分别是棱 AB，CC 1 的中点求证： (1) CM/平面 AB 1 N； (2) 平面 A 1 BN平面 AA 1 B 1 B. 【解析】(1) 设 AB 1 交 A 1 B 于点 O，连结 OM，ON.在正三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中 BB 1 CC 1 ，BB 1 CC 1 ，且四边形 AA 1 B 1 B 是平行四边形，所以 O 为 AB 1 的中点 又因为 M 为 AB 的中点，所以 OMBB 1 ，且 OM 12 BB 1 .N 为 CC 1 的中点， CN 12 CC 1 ，所以 OMCN，且 OMCN， 所以四边形 CMON 是平行四边形，所以 CMON.(5 分) 又 ON平面 AB 1 N，CM平面 AB 1 N，所以 CM平面 AB 1 N. (2) 在正三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，BB 1 平面 ABC，CM平面 ABC，所以 BB 1 CM. 又 CACB，M 为 AB 的中点，所以 CMAB.又由(1)知 CMON，所以 ONAB，ONBB 1 . 又因为 ABBB 1 B，AB，BB 1 平面 AA 1 B 1 B，所以 ON平面 AA 1 B 1 B. 又 ON平面 A 1 BN，所以平面 A 1 BN平面 AA 1 B 1 B.