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1、考点25,直线和直线方程学生版 考点 25 直线和直线方程 玩前必备 1直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围为0，180) 2直线的斜率 (1)定义：当直线 l 的倾斜角 2 时，其倾斜角 的正切值 tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即 ktan . (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P 1 (x 1 ，y 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 ) (x
2、1 x 2 )的直线的斜率公式为 k y2 y 1x 2 x 1 . (3) 直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是 90的直线斜率不存在它们之间的关系如下： 0 090 90 90180 k 0 k0 不存在 k0 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy 0 k(xx 0 ) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy 1y 2 y 1 xx 1x 2 x 1 不含直线 xx 1 (x 1 x 2 )和直线 yy 1 (y 1 y 2 ) 截距式 xa yb 1 不含垂直于坐标轴
3、和过原点的直线 一般式 AxByC0 (A 2 B 2 0) 平面直角坐标系内的直线都适用 4两直线平行、垂直与斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l 1 ，l 2 ，斜率分别为k 1 ， k 2 平行 k 1 k 2 k 1 与 k 2 都不存在 垂直 k 1 k 2 1 k 1 与 k 2 一个为零、另一个不存在 说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 k 1 k 2 ，且 b 1 b 2 ，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合 5利用一般式方程系数判断平行与垂直 设直线 l 1 ：A 1 xB 1 yC 1 0，
4、l 2 ：A 2 xB 2 yC 2 0， l 1 l 2 1 B 2 A 2 B 1 0，且 B 1 C 2 B 2 C 1 0. l 1 l 2 A 1 A 2 B 1 B 2 0. 6三种距离公式 (1)两点间距离公式 点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )间的距离：|AB| (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 . (2)点到直线的距离公式 点 P(x 0 ，y 0 )到直线 l：AxByC0 的距离：d |Ax 0 By 0 C|A 2 B 2. 说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式 (3)两平行线间距离公式 两平行直线 l 1 ：AxByC
5、 1 0 与 l 2 ：AxByC 2 0 (C 1 C 2 )间的距离为 d|C 2 C 1 |A 2 B 2 . 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线 x，y 前系数要化为相同 玩转典例 题型一 一 直线的倾斜角和斜率 例 例 1 已知两点 A(3， 3)，B( 3，1)，则直线 AB 的倾斜角等于( ) A 3 B23 C 6 D56 例 例 2 （2021高三期末）直线 3 3 1 0 x y + - = 的倾斜角 a 为（ ） A 30 ° B 60 ° C 120 ° D 150 ° 玩转跟踪 1经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直
6、线的倾斜角为 34，则 y( ) A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 2.直线 y 3 2 x- 的倾斜角是（ ） A3p B4p C6p D56p 题型二 直线方程的求解 例 例 3 已知ABC 的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 玩转跟踪 1根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5. 题型
7、三 三 两直线平行与垂直的判定 例 例 4 （2021四川达州.高三其他）直线12 : 0 l ax y a + + = 与直线20 :2 l x ay a + - = 互相平行，则实数 a =（ ） A 4 - B4 C 2 - D2 例 例 5 已知直线1 2: ( 2) 1 0, : 2 0 l ax a y l x ay + + + = + + = ，若1 2l l ，则实数 a 的值为（ ） A-3 B-3 或 0 C2 或-1 D0 或-1 玩转跟踪 1若直线1 :32 0 l x my + - = ,2 :2 8 0 l x y + + = 互相平行,则实数 m 的值为（ ） A
8、 6 - B6 C32 D32- 2.（2021昆明市官渡区第一中学高三开学考试）" 3 k = '是"两直线 3 2 0 kx y - - = 和 2 6 7 0 kx y + - = 互相垂直'的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 题型 三 距离公式的应用 例 例 6 （1）（2021巴楚县第一中学高三期末）已知点 ( ) , 5 A a - ， (0,10) B 的距离是 17 ，则 a 的值是（ ） A8 B6 C8 D6 （2）（2021福建高三期末）原点到直线 2 5 0 x y + - = 的距离为（
9、 ） A 1 B 3 C 2 D 5 （3） （2021湖南张家界.高三期末）直线 3 4 3 0 x y + - = 与直线 6 9 0 x my + + = 平行，则它们的距离为（ ） A65 B32 C125 D 2 玩转跟踪 1到直线 2 1 0 x y + + = 的距离等于55的直线方程为( ) A 20 x y + = B 2 2 0 x y + - = C 20 x y + =或 2 2 0 x y + - = D 20 x y + =或 2 2 0 x y + + = 2（2021全国高三课时练习（理）过直线1 :2 3 0 l x y - + = 与直线2 :23 8 0
10、l x y + - = 的交点，且到点( ) 0,4 P 距离为 2 的直线方程为_. 玩转练习 1过两点(1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为( ) A 32 B.32 C3 D3 2已知直线 l 1 ：(a1)x2y10 与 l 2 ：xay30 平行，则 a 等于( ) A1 B2 C0 或2 D1 或 2 3已知 A(3,4)，B(1,0)，则过 AB 的中点且倾斜角为 120的直线方程是( ) A. 3xy2 30 B. 3xy12 30 C. 3xy2 30 D. 3x3y6 30 4直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 平行，则 l 的方程是( ) A3x2y
11、10 B3x2y70 C2x3y50 D2x3y80 5若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 6已知直线 PQ 的斜率为 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60所得的直线的斜率为( ) A. 3 B 3 C0 D1 3 7"3'是"直线 x2y30 与直线 3x(1)y7 平行'的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知直线 l 的倾斜角为 34，直线 l 1 经过点 A(3,2)、B(a，1)，且 l 1 与 l 垂直，直线 l
12、2 ：2xby10 与直线 l 1 平行，则 ab 等于( ) A4 B2 C0 D2 9若 l 1 ：x(1m)y(m2)0，l 2 ：mx2y60 平行，则实数 m 的值是( ) Am1 或 m2 Bm1 Cm2 Dm 的值不存在 10若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为( ) A12 B2 C0 D10 11点(1，1)到直线 xy10 的距离是( ) A 12 B32 C22 D 3 22 12已知过点 A(2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2xy10 平行，则两平行线间的距离是( ) A 13 1313 B 5 513 C 5 135 D 13 55 13已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是( ) A0 B2 C. 13 D4 14若 A(3，4)，B(6,3)两点到直线 l：axy10 的距离相等，则 a 等于( ) A 13 B. 79 C79 D 79 或13 15对任意实数 a，直线 yax3a2 所经过的定点是( ) A(2,3) B(3,2) C(2,3) D(3，2)