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1、线性规划,凸集和凸函数,凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。,例,(iv) 超球 是凸集。,(v) 欧式空间 是凸集，规定空集 是凸集,凸集的性质,有限个凸集的交集仍然是凸集。 设 是凸集，则 是凸集。,设 是凸集，则 是凸集。,凸集的和集仍然是凸集。 设 是凸集，则 是凸集。,推论：设 是凸集， ，则 也是凸集， 其中 。,定义3 极点（顶点）：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的极点。设D为凸集，XD,若X不能用X(1)D,X(2)D两点的 一个凸组合表示为X=X(1)+ (1-)X(2),其中01 ， 则
2、称X为D的一个极点。,定义2.凸组合：设X(1)，X(2)，X(k)是n维欧式空间中的k个点，若存在1, 2, k满足0i1,( i=1,2,k), 使X=1X(1)+2 X(2)+k X(k)， 则称X为X(1)，X(2)，X(k)的凸组合。,多边形的顶点是凸集的极点（顶点）。,圆周上的点都是凸集的极点（顶点）。,凹函数，严格凹函数,例：证明线性函数 是 上的凸函数。,同理可证线性函数 也是 上的凹函数。,凸函数的性质,性质4： f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x) 是D上的凸函数。,定理1：设f(x)定义在凸集D上， ，令则,凸函数的判断,多元函数Taylor展开：,定理3（二阶条件）： 设D是R 中非空开凸集, 是定义在D上的二次可微函数,则 是凸函数的充要条件为对 x D, 0,即Hesse矩阵 半正定。,n,例：证明函数 是 上的凸函数。,定义6:凸规划 设D 为凸集, 是定义在D上的凸函数，则称规划问题 为凸规划。,凸规划是非线性规划中的一种重要特殊情形，它具有很好的性质。,定理4：（1)凸规划的任意局部极小点就是整体极小点，且极小点集合是凸集。 (2)如果凸规划的目标函数是严格凸函数，又存在极小点，则它的极小点还是唯一的。,