行程问题专项训练知识点分析.ppt

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1、,行程问题专项训练知识点分析,行程问题中的常见问题,追及问题 多次相遇于追及问题 多人相遇于追及问题 流水行船问题 猎狗追兔问题 环形跑道问题 走停问题 发车间隔 接送问题 综合行程问题,1： 追及问题,追及问题主要包括相遇与追及： 1、相遇：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么 相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间 （甲的速度+乙的速度）相遇时间 速度和相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即 S和=V和*T,2追及：有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，

2、当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程甲走的路程-乙走的路程 甲的速度追及时间-乙的速度追及时间 （甲的速度-乙的速度）追及时间 速度差追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差追及时间，即 S差=V差*T,追及相遇隐含的两种条件,(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。,模块一 ：直线上相遇与追及问题,例子1：

3、(第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以 千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以 千米/小时的速度行驶后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)在它鸣笛示警后 秒钟撞上了前面的汽车在这辆车鸣笛时两车相距多少米？,例子2：(北京市 年迎春杯试题)小张和小王早晨 点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时 千米小王步行，速度为每小时 千米如果小张到达乙地后停留 小时立即沿原路返回，恰好在 点整遇到正在前往乙地的小王那么甲、乙两地之间的距离是 千米,模块二：终（中）点问题,例子1：(明心奥数挑战赛)甲、乙二人从 ， 两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行

4、70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇甲晚出发了多少分钟？,模块三： 行程间的倍比关系,例子2：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距 里，甲每小时走 里，乙每小时走 里如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住这只狗共跑了多少里路？,例子1：甲、乙两辆汽车同时分别从 、 两地相对开出，甲车每小时行 千米，乙车每小时行 千米甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达 、 两地后， 立即按原路原速返回两车从开始到第二次相遇共用

5、小时求 、 两地的距离？,二：多次相遇与追及问题,模块一：由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“路程=速度*时间 ”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解,例子1、甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?,模块二：运用倍比关系解多次相遇问题,如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B

6、点6O米.求这个圆的周长.,模块三：多次相遇与全程的关系,1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。,2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； ， ； 第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差,例子1：A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出

7、发，在 A、 B 两地间往返锻炼乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米在 30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？例子2、A、 B两地相距 ，甲、乙两人同时从 地出发，往返 、 两地跑步 分钟甲跑步的速度是每分钟 ；乙跑步的速度是每分钟 在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离 点的距离最近？,例子3、从花城到太阳城的公路长12公里在该路的 2千米处有个铁道路口，是每关闭 3分钟又开放 3分钟的还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，

8、而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？,三：多人相遇与追及问题,二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“ ”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式：路程和=速度和*相遇nn 路程差=速度差*追及nn多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解,模块一：多人从两端出发-相遇追及,例子1、(2009

9、年四中入学测试题)在公路上，汽车 A、B 、C 分别以80km/h，70km/h，50km/h 的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车 B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后的两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少km ？例子2、(2008年三帆中学考题)甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙已知甲、乙的速度比是 3：2，湖的周长是600米，求丙的速度例子3、（2007 年“希望杯”第一试）A 、B 两地相距 203米，甲、乙、丙的速度分别是4 米/分/6

10、 米/分、5 米/分。如果甲、乙从 A，丙从 B地同时出发相向而行，那么，在_分钟或_分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2 倍。,模块二：多人从同一段出发追及问题,例子1、张、李、赵3人都从甲地到乙地上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米赵上午8时从甲地出发傍晚6时，赵、张同时达到乙地那么赵追上李的时间是几时?例子2、甲从A地出发前往B地，1小时后，乙也从A地出发前往B地，又过1小时，丙从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，乙和丙相遇在D地已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的2倍,C、D两地之间的距离是50千米求乙出发1小时后距B地多少千米。,四：流水行船

11、问题,一、参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。二参考系速度“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)2；水速=(顺水速度-逆水速度)2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂

12、浮物速度=流水速度。,三、流水行船问题中的相遇与追及两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系,模块一：基本的流水行船问题,例子1、(2009年五中分入学测

13、试题)一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他跑100米要用 秒例子2、小明计划上午 7时 50分到 8时10分之间从码头出发划船顺流而下已知河水流速为1.4 千米小时，船在静水中的划行速度为 3千米小时规定除第一次划行可不超过 30分钟外，其余每次划行均为 30分钟，任意两次划行之间都要休息15分钟，中途不能改变方向，只能在某次休息后往回划如果要求小明必须在11时15分准时返回码头，为了使他划行到下游尽可能远处，他应该在_ 时_ 分开始划，划到的最远处距码头_ 千米,模块二：相遇与追及问题,例子1、甲、乙两船分别在一条河的A 、B 两地

14、同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B 地，乙到达A 地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1 千米如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1 小时 20分，则河水的流速为多少？,模块三：用比例解行程问题,（对比分析）例子1、一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了8 小时已知顺水每小时比逆水多行20 千米，又知前4小时比后4小时多行60千米那么，甲、乙两港相距 千米（比例在流水行船中的运用)(2008年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用

15、的时间比是2:1 一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距 千米,五：猎狗追兔问题,一、猎狗追兔的出题背景猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！,二、猎狗追兔问题问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗

16、步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差速度差=追及时间”求解。单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比，相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步)进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步)关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。,例子1、猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间

17、狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?例子2、狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568步如果狼跑9 步的时间狗跑 7步，狼跑 5步的距离等于狗跑4 步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？例子3、已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？,六：环形跑道问题,本讲中的行程

18、问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间速度和路程差=追及时间速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。,例子1、一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米经过几分钟才能相遇?例子2、(第4届希望杯培

19、训题)在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？例子3、甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。,例子4、(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛)上海小学有一长300 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑 6米，小胖每秒钟跑4 米，（1） 小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？（2） 小

20、亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？例子5、在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？,七：走停问题,本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理。解题办法比较驳杂掌握知识点：1、学会化线段图解决行程中的走停问题2、能够运用等式或比例解决较难的行程题3、学会如何用枚举法解行程题,例子1、龟兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400 米，龟每分钟跑 80米，兔每跑 5分钟歇25 分钟，谁先到

21、达终点？例子2、在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 例子3、一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5 小时若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？,例子4、甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休

22、息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多少千米？例子5、甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在距中点的 D 处相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？,八：发车问题,发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进。还要理解参照物的概念有助于解题。接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和解题的关键。一、常见发车问题解题方法间隔发车问题，只靠空

23、间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。（一）、在班车里即柳卡问题不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易,（二）、在班车外联立3个基本公式好使 （1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）相遇事件时间间隔 （2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）追及事件时间间隔 （3）汽车间距=汽车速度汽车发车时间间隔（三）、三个公式并理解 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方

24、法是：画图尽可能多的列3个好使公式结合s全程vt-结合植树问题数数。 （3）、当出现多次相遇和追及问题柳卡,例子1、,九：接送问题,一、校车问题行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明二、常见接送问题类型根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （ 1 ）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2 ）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个 （ 4 ）车速变-班速不变-班数2个,三、标准解法：画图列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的

25、时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。接送问题可分4个板块： （1）：接一人 （2）：接2人或者多人 （3）：借车赶路 （4）：策略问题,模块一：汽车接送问题接一人,例子一、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？,模块二：汽车接送问题接2人或者多人,（1、车速不变、人速不变）例子：甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让

26、甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.（2、车速不变、人速变）例子：甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多

27、少千米？,（车速变、人速不变）例子：甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为 5千米小时，汽车载人速度是 45千米小时，空车速度是 75千米/小时如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？（车速变、人速变）,模块三：汽车接送问题借车赶路,例子：三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时。现先让其中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，

28、这样三人同时到达甲地。问，三人花的时间各为多少？,模块4：汽车接送问题策略问题,例子：两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带20桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？,十：行程问题综合题,行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示

29、法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；,比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或

30、比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解,模块一：时间相同速度比等于路程比,例子：甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？例子2：早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？,模块二：路程相同速度比等于时间的反比,例子1、甲、乙两人同时从A 地出发到 B地，经过3小时，甲先到B 地，乙还需要1小时到达A 地，此时甲、乙共行了35千米求 A，B 两地间的距离例子2、一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达但汽车行驶到路程的3/5 时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？,