天大《理论力学》学习笔记五.doc

《天大《理论力学》学习笔记五.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天大《理论力学》学习笔记五.doc（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、主题：理论力学学习笔记内容：理论力学学习笔记五刚体的平面运动教学目的、要求：掌握:瞬心法求平面图形的速度理解:刚体转动的合成教学内容：；平面运动刚体上点的；用绕两平行轴转动基本内容:刚体作平面运动方程；研究平面运动的基本方法 速度分析的三种方法，瞬心法分析平面运动刚体上各点的加速度 分解平面运动。重点:刚体平面运动速度和加速度；难点:相对位置的判别及重影点可见性。基本要求1会对刚体的平面运动进行分解2. 掌握用瞬心法求平面图形内的各点速度3. 会用基点法求加速度4. 掌握刚体转动的合成问题7-1刚体平面运动方程式、定义定义:刚体在运动过程中，其上存在一个平面始终和固定平面保持平行且距离不 变，

2、则称此刚体作平面运动。或刚体作平面运动的充要条件是 ：刚体在运动过程中其 上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。L 0L 0L二、刚体的平面运动简化成平面图形的运动观察图，设刚体与平面之截面为，在刚体上作一直线并交于L S L A A丄21S A点，则由定义不难推出，在刚体运动过程中，作平动,故可用21A A A点代表的运动。由此推出以下结21A A结论:刚体的平面运动可以用平面图形来代表。S三、刚体平面运动方程式现在来描述平面图形在空间的位置。S(1在图形上作直线AB ,只需确定AB的位置就可以确定的位置。S (2运动方程式(7-1(? =t f t t f t y y t f t x

3、x A A A A 321 ?如果A点固定不动，则为定轴转 动;如果©不变，则为平移。所以，平面运动可以分解为平移和转动。7-2平面运动分解为平动和转动、基点法是研究刚体平面运动的基本方法选取图形上某点A为基点，并以基点为坐标原点，建立一平动动系，如图所示。y x A在图形上任作一直线AB ,用以代表图形的运动。设经过t ?之后AB运 动到BA '此过程可以分解为两个步骤：(1平动一即由AB到B A '此时，V1 一 | 亠/ AB B A '称跟随基点平动。(2定轴转动一即B A '绕基点转到B A转过一个?角这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对

4、于基点的转动。这种分解方法称为基点法。二、基点法的特点(1平动部分与基点选择有关。(2转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。(3相对于动系转动的角速度？3 &=r。由于是平动动系，所以？3 3 &=a r称为图形的角速度，与基点选择无 关。平面图形的角速度和角加速度是绝对角速度、角加速度。例半径为r的齿轮由曲柄0A带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。如曲柄 0A 以匀角加速度&绕0轴转动，且当运动开始时角速度3 o =0转角？=0,求动齿轮以中 心A为基点的平面运动方程解:0A作定轴转动,由条件得2222021si n (sin (21cos (ccs (2121

5、t r R r R y t r R r R x t t t A A+=+=+=+=+=eA&轮作平面运动，且相对于固定齿轮滚动,设其转角为B所以有22(t rr R r r R r r R+=+=+9则动齿轮A以中心A为基点的平面运动方程为2222(2s in (2cos (t r&+=+=+= 73平面运动刚体上各点的速度分析一、基点法点的速度合成定理：re a v v v +=。当我们分析刚体上各点的速度时，要用到第八章所学概念图所示，设已知图形上A点速度及图形角速度Av血现在分析任意点M的速度。连接AM ,设r AM =。取A为基点,建立平动动系(在以后的分析中动系 可以

6、不画出来，基点法本身就意味着有此动 系,约定为默认。11y Ax (1刚体的运动分解为跟随基点的平 动和相对于基点的定轴转动(2动点M ,动系平动。动点的绝对运动是未知的平面曲线运动牵连运动一一平动。动点的相对运动是圆周运动。（因刚体的相对运动是定轴转动。即:X = wr3 r v r =于是，可以画出图上的速度平行四边形r A r e a M v v v v v v +=+=（7-1式中v r是动点M相对于动系的速度，因动系跟随基点A 平动，因此v r亦可认为是动点M相对于基点A的速度，表为v MA。因此式（7-1改写成：MA A M v v v += （7-2其中:v M为动点M的绝对速度

7、v A为基点的速度（相对于定系v MA为动点M相对于基点A的速度（相对速度若在平面运动刚体上另取一点 B ,则BA A B v v v += （7-3速度投影定理速度分析的第二种方法（亦称基点法的推论我们再来观察图。因刚体相对于基点 A作定轴转动，所以应垂直于其半径AB。此时如果我们将式（7-3投影到AB线上，将得出什么结论呢？ BA v AB BA ABA AB B v v v +=AB BA 丄v t O=AB BA v于是有 AB A AB B v v = （7-5速度投影定理：同一刚体上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等（包含大小和正负号。此定理的物理意义为：刚体上任意两点的距离恒

8、定不变。因此，速度投影定理不 仅适用于刚体作平面运动，也适用于刚体作任何运动。7-4求平面图形内各点速度的瞬心法仍从基点法出发，如果某瞬时，平面图形上存在一动点C,其相对于基点的速度满 足下式A CA v v -=则得到一个特殊的结论：O=+=CA A C v v v该瞬时C点的绝对速度为零，我们称之为瞬时速度中心，或速度瞬心（简称瞬心见图。在图上，取A v丄AN 3 A v AC =，则有A CA v AC v = ? = 3由图示可见A CA v v -=此时若选取瞬心C为基点，则平面图形上其他各点的绝对速度就是相对于瞬心 C的速度，就好象此瞬时平面图形绕 C点作 定轴转动时的速度分析一样

9、，如图所示。(1定理刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在且仅存在一个点，在此瞬时该点的 绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心，或称速度瞬心(简称瞬心，此瞬 时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体的角速度 3绕瞬心作 定轴转动时的速度分布一样。说明： 在寻找瞬心时，可以设想任意扩大平面图形，因为有些情形，瞬心不在刚体上，如 一直杆作平面运动时。 不同瞬时速度瞬心为刚体上的不同的点，且该点加速度不为零，因此瞬心法只 能用来分析该瞬时刚体上各点的速度，切不可用来分析刚体上各点的加速度(2确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法 纯滚动的情形与固定面之接触点即为该瞬时之瞬心

10、C。 已知图形上任意两点A、B的速度方位，且不平行。分别过A、B两点作vA、v B的垂线，其交点即为瞬心C 已知图形上存在两个点 A、B，有v A / v B ,且垂直于AB连线，此种情形还 须知道两速度之大小。 瞬时平动情形若某瞬时已知平面运动刚体上有两点的速度相互平行但与两点连线不垂直，则此瞬时必有刚体上各点速度大小、方向全相同，称为瞬时平动，此时不存在瞬心，或说 瞬心在无穷远处。例图所示曲柄连杆机构。已知r OA =,l AB =。求图示位置连杆 AB之瞬 心;求OA在铅垂位置时连杆AB之运动特点。解:分析各构件运动，0A绕0作定轴转动,v A丄OA ,方向如图示;AB杆作平 面运动；B

11、点作直线运动。V B沿OB方向，属于已知两点速度方位，过A、B两点分 别作v A和v B的垂线其交点C即为图示瞬时之瞬心C 。当OA位于铅垂位置时的情形。如图所示。此时 v A / v B ,但与AB不垂直, 所以，此时AB作瞬时平动。例图示一传动机构，当0A往复摇摆时可使圆轮绕 0 1轴转动。设0A=15cm,0 1B =10cm,在图示位置,3 =2rad/试求圆轮转动的角速度。B 30解:AB作平面运动，画出A、B两点的速度方向如图 根据速度投影定理,v B、vA在AB上的投影v B =v A cos30 °rad/s6.221015230cos 111= XX =333 o

12、OA B O II例图示机构中，套管的铰链C和CD杆连接并套在AB杆上。已知OA =20cm,AB =40cm,在图示瞬时a =30套管在AB的中点，曲柄OA的角速度 3 =4rad/s求此瞬时CD杆的速度大小和方向。COAv BBa3v ADv rv aC解:由题可知:v A = co? OA =4 >20=80(cm/sAB作平面运动，由A、B两点的速度方向，可知AB作瞬时平移，如图(2。套筒C与CD杆铰接,并套在AB上,相对于AB作相对运动，选套筒C为动点，将动坐标系 固结在AB上,C点的速度分析如图(3= =方向 cm/s (2.46cm/s (2.463/8030ctg /cm

13、/s (80a CD e a A e v v v v v v o 7-5平面运动刚体上各点的加速度分析基点法:如图所示,以A为基点建立平动动系。取 B为动点。设A点之加速度 为a a a +=A平面图形的角速度为3角加速度为£则相对加速度t BA nBA BA a a a +=由加速度合成定理：Tt BA A n A a a a a a a a +=+=n BA BA A B(7-6若已知s , £ ,r AB则可求:t A a nA a?= cwt r a r a BA n BA 2或? x= xx=ra r a cwwtBA n BA(r r a a a A n Ax

14、+xx +基点法y平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和例半径为R的圆轮在地面上沿直线轨道作纯滚动，已知轮心0的速度v 0和加 速度a 0。求(1轮子的角速度和图示瞬时轮缘上 A、B两点的速度。(2轮子的角加 速度及此时A、C两点的加速度。解:轮子作平面运动,C点与地面接触，为瞬时速度中心。1.用瞬心法求角速度和A、B两点的速度(1R v 0=方向如图(b示。(2v A ,v B方向如图示。022v R v A =3022v R v B =32.用基点法求速度(1以0为基点,C为动点,0=+=CO O C v v v , R v CO =33.求

15、轮(2分别以A ,B为动点求v A和v B。瞬心法求速度，角速度更简单些。子的角加速度 轮心O作直线运动,所以dt dv a 00=，又dtd 3& =因R v 0= 3所以Ra R v dt d 00=? =& 因 R为常数4.用基点法求A、C之加速度A点:以O为基点如(c示t AO nAO O A a a a a +=其中：Rv R anAO202=3,0a R a AO = &点C如图示tCOn CO O C a a a a +其中：Rv R anCO2020a R a CO = et即 Oa a -= tCO所以nCOC a a =可见,瞬时速度中心C的加速度不

16、为零。是轮上点绝对运动的切向加速 度,其轨迹为摆线，如图(c所示。这充分显示了 瞬时”的概念，切切牢记。C例图示曲柄连杆机构。已知r OA =,l AB =,图示瞬时之0 , g。，求v B , 。AB ,a B ,AB£解:用基点法求解1.分析各构件的运动(1曲柄OA绕O作定轴转动，G和£已知,v A可求。(2连杆AB作平面运动，(3滑块B平动,B点沿x轴作直线运动。2.选取A点为基点,B为动点3.分析B 点的运动(1绝对运动为直线运动,v B沿Ox轴。(2相对运动为圆周运动，圆心为A ,半径为I ,相对速度垂直于AB ,相对加速度。t BA a a a +=nBA BA

17、 (3牵连运动为平动；,A v v e =A e a a =。4.应用速度合成定理求v+=BA A B v v v +=如例图 9-1(b 所示，其中 3 r v A = AB BA AB A AB B v v v 0 cos sin(B A v v =+0 sin sin I rW求得 书(略 得 书cossin( cos sin(+=+=r v v A B方向如图示。由 y BA y A y B v v v += 可得 书03书0 cos cos cos cos r v v A BA方向如图示,所以 书0 3 3 cos cos vrBA AB =(顺时针5.讨论:用瞬心法可得同样结果。作

18、v A和v B的垂线交于C ,C点即杆之瞬心。ACv AAB =3 , AB B BC v ?6.用基点法求加速度2® r a n A =,大小未知（因大小未知，所以其指向可任设£ t r a A =2® l a n BA=AB BA 丄 t a t BADaTt BA n BA A n A B a a a a a +=(向 AB 轴投影nBA A n A B a a a a +=sin(cos(cos 0解得sin(cos(cos 122AB B l r r a(2向y轴投影0cos sin cos sin =+-00tt BA nBA A n A a a a

19、a 得 sin cos sin (cos 1 书 0 0 书it inBA A n A BA a a a a -=a BA AB t& =逆时针要点及讨论：（1如有9 ,及才和I的具体数据，即可求得的具体数值，假如所得结果为正值，则 说明图示所设方向正确,t BA a衣向亦正确，若所得数值为负值,则说明与所设方向 相反，则£应为顺时针。（2列出加速度公式之后，应分析哪些量为已知，哪些量为未知，一个矢量式，可 解出两个未知量，如果多于两个未知量，则该式不能全解。为解式，应适当选取投影 轴，以使计算简单。在本题中，和的大小未知，其他物理量均已知，故可解B a t BA a本题未杆

20、系类型，此类问题欲求平面图形（如AB之角加速度时，须 先求出相对切向加速度。t BA 3思考:二例比较，两者求平面运动刚体之角加速度的过程（思路有何区别？理论力学一学习笔记五7-6刚体绕两个平行轴转动的合成在机械传动系统 中，常用到行星轮系统，其运动特点如图所示。I轴固定不动，称为太阳轮。000为曲柄，或称系杆，两端用铰链分别与I 和U轮相连。U轮在I轮上作纯滚 动，即作平面运动。 在000上建立一动系xOy随000 起绕00轴转动，即牵连 运动为转动。U轮相对于动系的运动（即相对运动）为绕 A轴的定轴转动。 这样 U轮的绝对运动（平面运动）就分解为跟随动系绕 00轴的转动和相对于 动系统0

21、轴的转动，00轴和0轴均垂直于00xy平面，即为绕两平行轴的转动。一、同向转动的情形。取此时轮缘上B点为动点。如图设t1瞬时，0A处于水平位置（与 x轴重合）所示。此时AB、0x'和0x重合。t2瞬时0A转过9角到达0A。若 U轮无相对转动，则B点到达B0点。今设U轮相对于0A转过9角，则B点到 达B '点。即半径AB由水平位置运动到A B其绝对转角9为两个转动的叠加：0 a = 0 e将上式两边求导即得同向转动的角速度合成定理。w a = 3 e +二® r反向转动的情形理论力学一学习笔记五 设t1瞬时，0A处于水平位置（与x轴重合）。取此 时轮缘上B点为动点。如图

22、 所示。此时AB、Ox'和Ox重合。t2瞬时OA反时针 转过一 0角到达OA 轮相对于Ox '顺时针转过0角，AB到达A B处。 0 a = 0 e两边求导，得反向转动的角速度合成定理：w a = 3 e -综合同向和反向两个公式，用矢量式表示为：角速度合成定理：3 a = 3 e +思考题1.刚体平面运动通常分解为哪两个运动，它们与基点的选取有无关系？求刚体上各点的加速度时要不要考虑科氏加速度？ 2.平面图形上两点A和B的速度v A和v B间 有什么关系？若v A的方位垂直于AB，问v B的方位如何？ 3.车轮沿曲面滚动。 已知轮心O在某一瞬时的速度vO和加速度aO。问车轮的角加速度是否等于aO cos a / R速度瞬心C的家度的大小和方向如何确定？