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1、第四章 高阶微分方程,4.1 线性微分方程的一般理论,一、解的存在唯一性定理,1 n阶线性微分方程,定义1,2 解的存在唯一性定理,定理1,二、齐线性方程的解的性质和结构,定理2,1 叠加原理,证明:,故有,解:,2.线性相关与线性无关,定义2,3 朗斯基(Wronsky)行列式,4 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系,(1)定理3,证明:,使得,由线性代数理论知,要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,注,定理3的逆不成立.,如函数,事实上,若有恒等式,则,推论,(2)定理4,证明:,“反证”,现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为,由解的唯一性定理知,由定理4易得下面结
2、论,推论2,由定理1知,方程(4.2)满足初始条件,又因为,由此得定理5,5 齐线性方程线性无关解的存在性,定理5,6 通解的结构,(1)定理6,证明:,首先,由叠加原理(4.11)是(4.2)的解,它包含有n个任意常数,又因为,故(4.11)为(4.2)的通解.,考虑方程组,以这组常数构造,由解的唯一性定理得:,即,(2)推论,(3)基本解组:,注:,基本解组不是唯一的.,三、非齐线性方程与常数变易法,非齐线性微分方程,对应齐线性微分方程,1 非齐线性微分方程解的性质,性质1,证明:,因为,所以,由微分性质两式相加得,性质2,证明:,则,故,2 非齐线性方程通解的结构,定理7,证明:,这些任
3、常数是相互独立的,(4.14)为方程(4.1)的解,由定理6的证明过程易知,由性质1知,故(4.14)为方程(4.1)的通解.,则由性质2知,由定理6知,故,即方程(4.1)的任一解都可由(4.14)表出,(4.14)包括了(4.1)的所有解.,一阶线性非齐微分方程的解法-常数变易法,3 常数变易法,则,为方程(4.2)的通解.,此时(4.15)变为,将它代入(4.1),在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令,得,和表达式,继续上面做法,直到获得第n-1个条件,和表达式,因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得,积分得,注:,例1,解:,利用常数变易法,令,解得,因此,故通解为,例2,解:,对应的齐线性方程为:,将该齐次方程改写成:,积分得:,所以,故方程有基本解组:,将原方程改写成:,解得,因此,故原方程的通解为,