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1、一九九九年全国高中数学联合竞赛第一试(10月10日上午8:00-9:40)一选择题:每题6分1给定公比为q(q1)的等比数列an,设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 , ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n , 那么数列bn ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列2平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式(|x|1)2+(|y|1)2<2的整点(x,y)的个数是( )A16 B17 C18 D253假设(log23)x(log53) x (log23)y(log53)y,
2、那么( ) Axy0 Bx+y0 Cxy0 Dx+y041:假设平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线,直线c是与的交线,那么c至多与a , b中的一条相交。2:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) (A12不正确 (B21不正确(C(D5在某次乒乓球单打比赛中,原方案每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场,那么在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A) 0 B1 C2 D36点A1,2,过点5,-2的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么ABC是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D答案不确
3、定一、 填空题:(每题9分)1、正整数n不超过,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么这样的n的个数是 2、=arctan ,那么复数z=的辐角主值是 3、在ABC中,记BC=a , CA=b , AB=c ,假设9a2+9b219c2=0 , 那么= 4、点P在双曲线=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么P的横坐标是 5、直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是 6、三棱锥SABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂
4、心,二面角HABC的平面角等于30°,SA=2,那么三棱锥SABC的体积为 三、此题总分值为20分当x 0,1时,不等式 x2cosx(1x)+(1x) 2sin>0恒成立,试求的取值范围。四、此题总分值20分给定A2,2,B是椭圆+=1上的动点,F是左焦点,当|AB|+|BF|取最小值时,求B的坐标。五、此题总分值20分给定正整数n和正数M,对于满足条件a21+a2n+1M的所有等差数列a1,a2,a3,试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。第二试一、(总分值50分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC
5、于G求证:GAC=EAC.二、(总分值50分)给定实数a,b,c,复数z1,z2,z3满足:求|az1+bz2+cz3|的值三、(总分值50分)给定正整数n,用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。1求k的最小值f(n);2当且仅当n取什么值时,上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。一九九九年全国高中数学联赛解答第一试一选择题:每题6分1给定公比为q(q1)的等比数列an,设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 , ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n , 那么数列bn ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列
6、 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列解:由题设,an=a1qn1 ,那么=q3因此,bn是公比为q3的等比数列应选C2平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式(|x|1)2+(|y|1)2<2的整点(x,y)的个数是( )A16 B17 C18 D25解:由|x|1)2+(|y|1)2<2,可得(|x|1,|y|1)为(0,0),(0,1),(0,1),(1,0)或(1,0).从而,不难得到(x,y)共有16个选A3假设(log23)x(log53) x (log23) y(log53) y,那么( ) Axy0 Bx+y0 Cxy
7、0 Dx+y0解:记f(t)=(log23)t(log53)t,那么f(t)在R上是严格增函数原不等式即f(x)f(y)故xy,即x+y0选B41:假设平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线,直线c是与的交线,那么c至多与a , b中的一条相交。2:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) (A12不正确 (B21不正确(C(D解:如图,c与a、b选D5在某次乒乓球单打比赛中,原方案每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场,那么在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A) 0 B1 C2 D3解:设这三名选手之间的比赛场
8、数是r,共n名选手参赛由题意,可得50=C+r+(62r),即 (n3)(n4) =44+r由于0r3,经检验可知,仅当r=1时,n=13为正整数选B6点A1,2,过点5,2的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么ABC是( )A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D答案不确定解:设B(t2,2t),C(s2,2s),st,s1,t1,那么直线BC的方程为=,化得2x(s+t)y+2st=0由于直线BC过点(5,2),故 2×5(s+t)(2)+2st=0,即 (s+1)(t+1)=4因此,kAB·kAC=·=1.所以,BAC=90°,从而AB
9、C是直角三角形二填空题:(每题9分)1、正整数n不超过,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么这样的n的个数是 解:首项为a为的连续k个正整数之和为Sk=ka+k(k+1)由Sk,可得60k62当k=60时,Sk=60a+30×59,由Sk,可得a3,故Sk=1830,1890,1950;当k=61时,Sk=61a+30×61,由Sk,可得a2,故Sk=1891,1952;当k=62时,Sk=62a+31×61,由Sk,可得a1,故Sk=1953于是,题中的n有6个2、=arctan ,那么复数z=的辐角主值是 解:z的辐角主值argz=arg(12+5i)
10、2(239i)=arg(119+120i)(239i)=arg(28561+28561i)=3、在ABC中,记BC=a , CA=b , AB=c ,假设9a2+9b219c2=0 , 那么= 解:=·=4、点P在双曲线=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么P的横坐标是 解:记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c,离心率为e,点P到右准线l的距离为d,那么a=4, b=3, c=5, e=, 右准线l为x= 如果P在双曲线右支,那么|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a从而,|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2e
11、d+2a>2d,这不可能;故P在双曲线的左支,那么|PF2|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d两式相加得2|PF2|=2a+2d又|PF2|=ed,从而ed=a+d故d=16因此,P的横坐标为16=5、直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是 解:设倾斜角为,那么tan=>0不妨设a>0,那么b<0(1)c=0,a有三种取法,b有三种取法,排除2个重复(3x3y=0,2x2y=0与xy=0为同一直线),故这样的直线有3×32=7条;(2)c0,那么a有
12、三种取法,b有三种取法,c有四种取法,且其中任两条直线均不相同,故这样的直线有3×3×4=36条从而,符合要求的直线有7+36=43条6、三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,二面角HABC的平面角等于30°,SA=2,那么三棱锥SABC的体积为 解:由题设,AH面SBC作BHSC于E由三垂线定理可知SCAE,SCAB故SC面ABE设S在面ABC内射影为O,那么SO面ABC由三垂线定理之逆定理,可知COAB于F同理,BOAC故O为ABC的垂心又因为ABC是等边三角形,故O为ABC的中心,从而SA=SB=SC=2因为CFAB,C
13、F是EF在面ABC上的射影,由三垂线定理,EFAB 所以,EFC是二面角H-AB-C的平面角故EFC=30°,OC=SCcos60°=2´=,SO=tan60°=3又 OC=AB,故AB=OC=×=3所以,VS-ABC=´´32´3= 三、此题总分值为20分当x 0,1时,不等式 x2cosx(1x)+(1x) 2sin>0恒成立,试求的取值范围。解:假设对一切x0,1,恒有 f(x)=x2cosx(1x)+(1x)2sin>0,那么cos=f(1)>0,sin=f(0)>0. (1)取 x
14、0=(0,1),那么x0-(1-x0)=0由于f(x)=x-(1-x)2+2(+)x(1x)所以,0<f(x0)=2(+)x0(1x0) 故+>0 (2)反之,当(1),(2)成立时,f(0)=sin>0,f(1)=cos>0,且x(0,1)时,f(x)2(+)x(1x)>0先在0,2中解(1)与(2):由cos>0,sin>0,可得0<<又+>0,>, sin2>, sin2>,注意到 0<2<,故有 <2< ,所以,<<因此,原题中的取值范围是 2k+<<2k+,
15、kZ四、此题总分值20分给定A2,2,B是椭圆+=1上的动点,F是左焦点,当|AB|+|BF|取最小值时,求B的坐标OB'BNlyAFMx1解:记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,离心率为e那么a=5,b=4,c=3,e=,左准线为x=过点B作左准线x=的垂线,垂足为N,过A作此准线的垂线,垂足为M由椭圆定义,|BN|=|BF|于是, |AB|+|BF|=|AB|+|BN|AN|AM|(2)()= (定值),等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时,此时B(,2)所以,当|AB|+|BF|取最小值时,B的坐标为(,2) 五、此题总分值20分给定正整数n和正数M,对于满足条件a
16、21+a2n+1M的所有等差数列a1,a2,a3,试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。解 设此数列的公差为d,那么S= an+1+an+2+a2n+1=(n+1)(a1+nd).故=a1+nd由n给定,故应求a1+nd =t的最大值Ma12+(a1+nd)2=2a12+2a1nd+n2d2=(a1+nd)2+(2)a12+(23)a1nd+(1)n2d2(假设(2)a12+(23)a1nd+(1)n2d2能配成完全平方式,那么可求出t的最大值)取(23)24(2)(1)=0,即412+928+2292=0,= M(a1+nd)2+(4a1+nd)2()2. S(n+1)等号当且仅当
17、4a1+nd=0及M=(a1+nd)2时成立即a1=nd,a1=,d=·时成立易算得此时a12+an+12=M,S=(n+1) S的最大值为(n+1)第二试一、(总分值50分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。求证:GAC=EAC.证明 连结BD交AC于H,对BCD用Ceva定理,可得··=1因为AH是ÐBAD的角平分线,由角平分线定理,可得=,故··=1过点C作AB的平行线交AG延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J,那么 =,=,所以, ·
18、;·=1从而,CI=CJ又因CIAB,CJAD,故ÐACI=-ÐBAC=-ÐDAC=ÐACJ,因此,ACIACJ,从而ÐIAC=ÐJAC,即ÐGAC=ÐEAC二、(总分值50分)给定实数a,b,c,复数z1,z2,z3满足:求|az1+bz2+cz3|的值。解:记 ei=cos+isin可设=ei,=ei,那么=ei(+)由题设,有ei+ei+ei(+)=1两边取虚部,有0=sin+sinsin(+)=2sincos2sincos=2sin(coscos)=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k,
19、kZ因而,z1=z2或z2=z3或z3=z1如果z1=z2,代入原式即1+=1故()2+1=0,故=±i这时,|az1+bz2+cz3|=|z1|a+b±ci|=类似地,如果z2=z3,那么|az1+bz2+cz3|=,如果z3=z1,那么|az1+bz2+cz3|=所以,|az1+bz2+cz3|的值为或 或 三、(总分值50分)给定正整数n,用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。1求k的最小值f(n);2当且仅当n取什么值时,上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。(1)解:设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,
20、ak,且1a1a2ak,aiZ,1ik因为天平两端都可以放砝码,故可称质量为xiai,xi1,0,1假设利用这k块砝码可以称出质量为1,2,3,,n的物品,那么上述表示式中含有1,2,n,由对称性易知也含有0,1,2,n,即xiai|xi1,0,10,±1,±n所以,2n+1=|0,±1,±n| |xiai|xi1,0,1|3k,即 n设 <n(m1,mZ),那么km且k=m时,可取a1=1,a2=3,am=3m1由数的三进制表示可知,对任意0p3m1,都有p=yi·3i1,其中yi0,1,2那么 p=yi·3i13i1=(yi
21、1)·3i1令xi=yi1,那么xi1,0,1故对一切l 的整数l,都有l=xi·3i1,其中xi1,0,1由于n,因此,对一切nln的整数l,也有上述表示综上,可知k的最小值f(n)=m(<n) (2)证明:.当<n< 时,由(1)可知1,3,3m1,3m就是一种砝码的组成方式下面我们证明1,3,3m1,3m1也是一种方式假设1l ,由(1)可知l=xi·3i1,xi1,0,1那么 l=xi·3i1+0·(3m1);假设 <ln< ,那么 <l+1由(1)可知l+1=xi·3i1,其中xi1,0,
22、1易知xm+1=1(否那么l3i11=1,矛盾)那么l=xi·3i1+1·(3m1)所以,当n时,f(n)块砝码的组成方式不惟一.下面我们证明:当n=时,f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的,即ai=3i1(1im)假设对每个l,都有l=xiai,xi1,0,1即 xiai|xi1,0,10,±1,±注意左边集合中至多有3m个元素故必有xiai|xi1,0,1=0,±1,±从而,对每个l,l ,都可以惟一地表示为l=xiai,其中xi1,0,1因而,ai=那么(xi+1)ai=xiai+ai=xiai+令yi=xi+1,那么yi0,1,2由上可知,对每个0l3m1,都可以惟一地表示为 l=yiai,其中yi0,1,2特别地,易知1a1<a2<<am下面用归纳法证明ai=3i1(1im)当i=1时,易知yiai中最小的正整数是a1,故a1=1假设当1ip时,ai=3i1 由于yiai =yi·3i1, yi0,1,2就是数的三进制表示,易知它们正好是0,1,2,,3p1,故ap+1应是除上述表示外yiai |yi0,1,2中最小的数,因此,ap+1=3p由归纳法可知,ai=3i1(1im)综合,可知,当且仅当n=时,上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的