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1、部分分式展开法若F(s)为的s有理分式，则可表示为F=%="“.产+如+瓦 月(s)/+口口伍* + /s+曲式中，a(i=0,1,2,n-1)、bi(i=0,1,2,m)均为实数。若nri>n,则B(s)/A(s)为假分式。若 m<n则B(s)/A(s)为真分式。若F(s)为假分式，可用多项式除法将 F(s)分解为有理多项式与有理真分式 之和，即。Ms) +峋产式中，c(i=0,1,2,，n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函 数及其一阶到阶m-n导数之和。D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，2s3 + 7sa + 10s
2、+ 6-s2 +3s + 2-=(1 + 2sA3s +4g+dg+2)(l + 2s)f(t)=Rs)；二'若F(s)=B(s)/A(s)为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。要 把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式, 所以A(s)=0有n个根si(i=1,2,n)。Si可能为单根，也可能为重根；可能为实 根，也可能为复根。Si又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体情况取 决于的上述性质。本书附录A中介绍了关于有理真分式的部分是展开法，下面将应用部分分 式展开法求拉普拉斯逆变换的几种情况归纳如下：F(s)仅有单极点是实
3、根还是复若A(s)=0仅有n个单根，则根据附录A中式(A-2),无论Si 根，都可将F(s)展开为尸=幽=工 (此)白一啊)%)二法式中，各部分分式项的系数 K为由于（i） <_> -s- Si故F(s)单边拉普拉斯逆变换可表示为f(t)=.F(s)=二一，单极点的情况【例11已知，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f。解 F(s) 的分母多项式A(s)=0的两个根分别为si=-2,s 2=-3 部分分式展开为因此，F(s)的F= = A.G+2）（£+3） s + 2由式(4.3-2)求Ki和K2,得:s + 5& 二（/2），1（/2）（尹可所以,s+ 5M
4、 =（$ + 3）3F （s）=s - 2于是得f(t)=£"F(s)=(3e -2t-2e-3t) £ (t),重极点的情况尸=【例2】已知3s + 5(s + l)% + 3),求的单边拉氏逆变换。解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3 o因此，F(s)可展开为F(s) = J(s + l)a s + 1+ 3由式(4.3-5)和式(4.3-2)得:3/5(s +1)'(6 + 3)为】=；(s + l)as3s+ 5G + D"s + 3)jii3s+ 55-=三于是得3占+匕+根据式(4.3-4)和式(4.3-6)可得再看一般情况
5、f(t尸£ -iF(s)=(te-t +e-t -e -3t) £ (t)A(s)kkii(s - Pi)(s - Pi)ki2ki(k)kik十十R 十十k i2(s 一 Pi)(s - p 1 ) s - P i求kii,方法同第一种情况:k11= Fi(s)s» =(s-PJs Zp 1F (s)求其它系数,用下式k1i(iF1(s)-1)! ds 一i =1,2,3,s=P1注意：k次重根,要设i =2, 当K12dF1(s) dss -Pli = 3, 当K131 d2 2F1(s)2 dss 二PlF(s)【例3】已知-3(s+2)(s+1),求其逆变
6、换。K113(s 2)( s 1)3(s 1)K12(S 1)1(s 1)K2K11二1K12-1K132dsds二2K23(s 1)=一112 J,f (t) =-t e u(t) -te u(t) 2- 2e%(t),复数极点的情况尸=2s + 8-2(s 2)_2t ,、-e u(t)例4已知("2r + 4 ,求F(s)的单边拉斯逆变换f(t)解 F(s)可以表小为_. . 2s+ 82f + 8尸=5=依+2户 +4 (s + 2-j2)(/2 + j2)F（s）有一对共腕单极点Si,2=-2±j2 ,可展开为尸(s + 2 12) (s + 2 + j2)=2, B =2。于是得根据式(4.3-7)和式(4.3-8),根据式（4.3-2）求Ki、K2 ,彳3:4 = （"2-为阐I心.1 一六心/舄=（"2+必生）-=内声斤IT于是得s + 2 -J2 f + 2 +j2运行结果：F =2*exp(-2*t)*cos(2*t)+2*exp(-2*t)*sin(2*t)