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1、推理与证明 M1合情推理与演绎推理图1317M1·湖北卷 在平面直角坐标系中，假设点P(x，y)的坐标x，y均为整数，那么称点P为格点假设一个多边形的顶点全是格点，那么称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图13中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数，假设某格点多边形对应的N71，L18，那么S_(用数值作答)17(1)3，1，6(2)79解析 (1)把四边形面积分割，其中四个面积为的三角形，一个面积为1
2、的正方形，故其面积为S3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得14bc，3a6bc，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4a8bc，由上述三个方程组解得a1，b，c1，所以SNL1，将数据代入得S719179.16B7，M1·山东卷 定义“正对数：lnx假设a>0，b>0，那么ln(ab)blna；假设a>0，b>0，那么ln(ab)ln alnb；假设a>0，b>0，那么lnlnalnb；假设a>0，b>0，那么ln(ab)lnalnb
3、ln 2.其中16解析 中，当ab1时，b>0，a1，lnabln abbln ablna；当0<ab<1时，b>0，0<a<1，lnabblna0，正确中，当0<ab<1，且a>1时，左边ln(ab)0，右边lnalnbln a0ln a>0，不成立中，当1，即ab时，左边0，右边lnalnb0，左边右边，成立；当>1时，左边ln ln aln b>0，假设a>b>1时，右边ln aln b，左边右边成立；假设0<b<a<1时，右边0, 左边右边成立；假设a>1>b>0，左
4、边ln ln aln b>ln a，右边ln a，左边右边成立，正确中，假设0<ab<1，左边ln(ab)0，右边lnalnbln 2ln 2>0，左边右边；假设ab1，ln(ab)ln 2ln(ab)ln 2ln.又a或b，a，b至少有1个大于1，lnln a或lnln b，即有ln(ab)ln 2ln (ab)ln 2lnlnalnb，正确13M1·陕西卷 观察以下等式(11)2×1(21)(22)22×1×3(31)(32)(33)23×1×3×5照此规律，第n个等式可为_13(n1)(n2)(
5、nn)2n×1×3××(2n1)解析 结合所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n1)一直到(nn)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n1)，故所求表达式为：(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)M2直接证明与间接证明20M2，D2，D3，D5·北京卷 给定数列a1，a2，an，对i1，2，n1，该数列前i项的最大值记为Ai，后ni项ai1，ai2，an的最小值记为Bi，diAiBi.(1)设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，an
6、(n4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，dn1是等比数列；(3)设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，an1是等差数列20解：(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，an是递增数列因此，对i1，2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1，2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1，2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列(3)证明：设d为d1，d2，dn1的公差对1in2，因为BiBi1，d>0，所以Ai1Bi1di1Bidid&g
7、t;BidiAi.又因为Ai1maxAi，ai1，所以ai1Ai1>Aiai.从而a1，a2，an1是递增数列，因此Aiai(i1，2，n1)又因为B1A1d1a1d1<a1，所以B1<a1<a2<<an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1，2，n2都有ai1aidi1did，即a1，a2，an1是等差数列19M2，H5，H10·北京卷 直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点
8、时，证明：四边形OABC不可能为菱形19解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 所以可设A，代入椭圆方程得1，即t±.所以|AC|2 .(2)证明：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，那么，k·m.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为k·1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形10M2·浙江卷 设
9、a，bR，定义运算“和“如下：abab假设正数a，b，c，d满足ab4，cd4，那么()Aab2，cd2 Bab2，cd2Cab2，cd2 Dab2，cd210C解析 从定义知，abmin(a，b)，即求a，b中的最小值；abmax(a，b)，即求a，b中的最大值；假设0<a<2，0<b<2，那么ab<4，与ab4相矛盾，那么假设不成立，故max(a，b)2，即ab2；假设c>2，d>2，那么cd>4，与cd4相矛盾，那么假设不成立，故C.M3数学归纳法M4单元综合1·陕西安康模拟 f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)
10、f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，那么f(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x1D解析 由，有f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，可以归纳出：f4n(x)sin x，f4n1(x)cos x，f4n2(x)sin x，f4n3(x)cos x(nN*)所以f2 011(x)f3(x)cos x.2·诸城模拟 如图K411所示将假设干个点摆成三角形图案，每条边(色括两个端点)有n(n>l，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，那么()图K411A. B.
11、 C. D.2B解析 由图案的点数可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，所以，所以1，选B.3·绍兴模拟 12·33·324·33n·3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值分别为()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在这样的a，b，c3A解析 令n1，2，3，得所以a，bc.4·广东汕头模拟 2 ，3 ，4 ，假设6 (a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，那么at_429解析 类比等式可推测a6，t35，那么at29.5·江门联考 等差数列an中，有，那么在等比数
12、列bn中，会有类似的结论：_.5.解析 由等比数列的性质可知，b1b30b2b29b11b20，所以6·福州模拟 点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>a成立运用类比思想方法可知，假设点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图像上的不同两点，那么类似地有_成立6.<sin解析 在函数ysin x，x(0，)的图像上任意取不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以<sin.