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1、第4讲 根本不等式A级根底演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1(·宁波模拟)假设a0，b0，且a2b20，那么ab的最大值为 ()A. B1 C2 D4解析a0，b0，a2b2，a2b22，即ab.当且仅当a1，b时等号成立答案A2函数y(x>1)的最小值是 ()A22 B22C2 D2解析x>1，x1>0，y(x1)222.当且仅当x1，即x1时取等号答案A3(·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，那么 ()Aa<v< BvC.<v< Dv解析设甲、乙两
2、地之间的距离为s.a<b，v<.又vaa>0，v>a.答案A4(·杭州模拟)设a>b>c>0，那么2a210ac25c2的最小值是()A2 B4 C2 D5解析2a210ac25c22a210ac25c22a210ac25c22a210ac25c2(bab时取“)2a210ac25c2(a5c)24，应选B.答案B二、填空题(每题5分，共10分)5(·浙江)设x，y为实数假设4x2y2xy1，那么2xy的最大值是_解析依题意有(2xy)213xy1×2x×y1·2，得(2xy)21，即|2xy|.当且仅
3、当2xy时，2xy取最大值.答案6(·北京朝阳期末)某公司购置一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(：万元)与机器运转时间x(：年)的关系为yx218x25(xN*)，那么当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析每台机器运转x年的年平均利润为18，而x>0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案58三、解答题(共25分)7(12分)x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解x0，y0,2x8yxy0，(1)xy2x8y2，8，xy64.故xy的最小值为64.(2)由2
4、x8yxy，得：1，xy(xy)·1(xy)1010818.故xy的最小值为18.8(13分)x>0，y>0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由根本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x>0，y>0，·，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.B级能力突破(时间：30分钟总分值：45分)一、选择题(每题5分，共
5、10分)1x>0，y>0，且1，假设x2y>m22m恒成立，那么实数m的取值范围是 ()A(，24，) B(，42，)C(2,4) D(4,2)解析x>0，y>0且1，x2y(x2y)442 8，当且仅当，即x4，y2时取等号，(x2y)min8，要使x2y>m22m恒成立，只需(x2y)min>m22m恒成立，即8>m22m，解得4<m<2.答案D2(·湖南)两条直线l1：ym和l2：y(m>0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段A
6、C和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 ()A16 B8 C8 D4解析如图，作出y|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，)内，而且xCxA与xBxD同号，所以，根据|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2m，由于m4，当且仅当，即2m14，即m时等号成立，故的最小值为28.答案B二、填空题(每题5分，共10分)3假设正数a，b满足abab3，那么ab的取值范围是_解析由a，bR，由根本不等式得ab2，那么abab323，即ab230(3)(1)0 3，ab9.答
7、案9，)4两正数x，y满足xy1，那么z的最小值为_。解析zxyxyxy2，令txy，那么0<txy2.由f(t)t在上单调递减，故当t时f(t)t有最小值，所以当xy时，z有最小值.答案三、解答题(共25分)5(12分)设f(x)(x>0)(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)<b23b.(1)解f(x)2，当且仅当x时，即x2时，等号成立所以f(x)的最大值为2.(2)证明b23b23，当b时，b23b有最小值3，由(1)知，f(a)有最大值2，对任意实数a，b，恒有f(a)<b23b.6(13分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究打算开发一个桑基鱼塘工程，该工程准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影局部所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值解(1)由图形知，3a6x，a.那么总面积S·a2aa1 832，即S1 832(x0)(2)由S1 832，得S1 8322 1 8322×2401 352.当且仅当，此时，x45.即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.特别提醒：