1.8隐零点问题（解析）.pdf

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1、1.8 隐零点问题例1. 已知函数 f(x)=ex-a-ln(x+a)(a0).(1)证明： 函数 f(x)在(0,+)上存在唯一的零点；(2)若函数 f(x)在区间(0,+)上的最小值为1， 求a的值.解析： (1)证明： 因为 f(x)=ex-a-ln(x+a)(a0)， 所以 f(x)=ex-a-1x+a.因为ex-a在区间(0,+)上单调递增，1x+a在区间(0,+)上单调递减，所以函数 f(x)在(0,+)上单调递增.又 f(0)=e-a-1a=a-eaaea， 令g(a)=a-ea(a0)， g(a)=1-ea0，则g(a)在(0,+)上单调递减， g(a)g(0)=-1， 故 f

2、(0)0所以函数 f(x)在(0,+)上存在唯一的零点.(2)由(1)可知存在唯一的x0(0,+)，使得 fx0=ex0-a-1x0+a=0， 即ex0-a=1x0+a(*).函数 f(x)=ex-a-1x+a在(0,+)上单调递增.所以当x 0,x0时， f(x)0， f(x)单调递增.所以 f(x)min= f x0=ex0-a-ln x0+a.由(*)式得 f(x)min= f x0=1x0+a-ln x0+a.所以1x0+a-ln x0+a=1， 显然x0+a=1是方程的解.又因为y=1x-lnx是单调递减函数，方程1x0+a-ln x0+a=1有且仅有唯一的解x0+a=1，把x0=1

3、-a代入(*)式， 得e1-2a=1， 所以a=12， 即所求实数a的值为12.例2.已知函数 f x=xex， g x=x+lnx(1)令h x= f x-eg x， 求h x的最小值；(2)若 f x-g x b-2x+1恒成立， 求b的取值范围解析： (1)有题意知， h x=xex-e x+lnx， x 0,+，所以hx= x+1ex-e 1+1x= x+1ex-ex，所以当x 0,1， hx0， 即h x在 1,+上单调递增，故h xh 1=0，所以h x的最小值为0；(2)原不等式等价于xex- x+lnx b-2x+1，即xex+x-lnx-1bx， 在x 0,+上恒成立，数学研

4、讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题1等价于xex+x-lnx-1xb， 在x 0,+上恒成立，令t x=xex+x-lnx-1x， x 0,+，所以tx=x2ex+lnxx2，令 x=x2ex+lnx， 则 x为 0,+上的增函数，又当x0时， x-， 1=e0，所以 x在 0,1存在唯一的零点x0， 即x20ex0+lnx0=0，由x20ex0+lnx0=0 x0ex0=-lnx0 x0= ln1x0eln1x0，又有y=xex在 0,+上单调递增，所以x0=ln1x0=-lnx0， ex0=1x0，所以 t xmin=t x0=x0ex0+x0-lnx0-1x0=2，所以b2，所以b

5、的取值范围是 -,2例3.函数 f x=lnx， g x=x2-x-m+2.(1)若m=e， 求函数F x= f x-g x的最大值；(2)若 f x+g xx2- x-2ex在x(0,2恒成立， 求实数m的取值范围.解析： (1)F x=lnx-x2+x+m-2， 故Fx=-(2x+1)(x-1)x.由Fx0得， 0 x1； 由Fx1.所以F x在 0,1递增， 在 1,+递减.所以F xmax=F 1=e-2.(2)因为 f x+g xx2- x-2ex在x(0,2恒成立所以m x-2ex+lnx-x+2在x(0,2恒成立.设h x= x-2ex+lnx-x+2， 则hx= x-1ex+1

6、x-1.当x1时， x-10， 且exe，1xe-10， 所以hx0.当0 x1时， x-10.所以u x在 0,1递增， 又u12=e -20.所以x012,1， 使得u x0=0.所以当x 0,x0时， u x0.所以当x 0,x0时， hx0； 当x x0,1时， hx0.所以函数h x在 0,x0递增， 在 x0,1递减， 在 1,2递增.由u x0=ex0-1x0=0得ex0=1x0， 且lnx0=-x0.所以h x0= x0-2ex0+lnx0-x0+2= x0-21x0-2x0+2=3-2 x0+1x0因为x012,1， 所以h x00则当x(0,2时， h xmax=h 2=l

7、n2， 则m的取值范围是 ln2,+.数学研讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题2例4.已知函数 f x= a-1x+xlnx的图象在点A e2,f e2(e为自然对数的底数)处的切线斜率为4(1)求实数a的值；(2)若mZ， 且m x-11恒成立， 求m的最大值解析： (1)因为 f x= a-1x+xlnx， 所以 fx=lnx+a，因为函数 f x= a-1x+xlnx的图象在x=e2处的切线斜率为4， 所以 fe2=4，即a+lne2=4， 因此， a=2；(2)由(1)知 f x=x+xlnx因为m x-11恒成立，所以m1恒成立，令g x=x+xlnx+1x-1， 则gx=ln

8、x+2x-1- x+xlnx+1x-12=x-lnx-3x-12，令u x=x-lnx-3， 则ux=1-1x，因为x1， 所以ux0， 所以u x=x-lnx-3在 1,+为增函数，因为u 4=1-ln40，所以存在x0 4,5， 使u x0=x0-lnx0-3=0，当x 1,x0时， gx0， 函数y=g x单调递增.所以g xmin=g x0=x0+x0lnx0+1x0-1=x0+x0 x0-3+1x0-1=x0-1，故有m1恒成立因为x0 4,5， 所以x0-1 3,4， 因此， m的最大值为3例5.已知函数 f(x)=ex-ax2(e=2.718).(1)若 f(x)在(0， +)有

9、两个零点， 求a的取值范围；(2)g(x)=ex(f(x)+ax2-1-x)， 证明： g(x)存在唯一的极大值点x0， 且2e3g(x0)0， p(x)没有零点；(ii)当a0时， p(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时， p(x)0.所以p(x)在(0,2)单调递减， 在(2,+)单调递增.故p(2)=1-4ae2是p(x)在 0,+的最小值.若p(2)0， 即ae24， p(x)在(0,+)没有零点；若p(2)=0， 即a=e24， p(x)在(0,+)只有一个零点；若p(2)e24， 由于p(0)=1， 所以p(x)在(0,2)有一个零点，当x0时， 易证exx21， 所p(

10、4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)21-16a3(2a)4=1-1a0.故p(x)在(2,4a)也有一个零点， 因此p(x)在(0,+)有两个零点.数学研讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题3综上， f(x)在(0,+)有两个零点时， ae24.(2)证明： g(x)=ex(ex-x-1)，故g(x)=ex(2ex-x-2)， 令h(x)=2ex-x-2， h(x)=2ex-1，所以h(x)在 -,ln12上单调递减， 在 ln12， +上单调递增，h(0)=0， h ln12=2eln12-ln12-2=ln2-10，因为h(-2)h ln120由零点存在性定理及h(x)

11、的单调性知，方程h(x)=0在 -2,ln12有唯一根，设为x0且2ex0-x0-2=0， 从而h(x)有两个零点x0和0，所以g(x)在(-,x0)单调递增， 在(x0， 0)上单调递减， 在(0， +)单调递增，从而g(x)存在唯一的极大值点x0即证，由2ex0-x0-2=0得ex0=x0+22， x0-1，所以g(x0)=ex0(ex0-x0-1)=x0+22x0+22-x0-1=14(-x0)(2+x0)14(-x0+2+x0)24=14取等不成立， 所以g(x0)14得证，又因为-2x0g(-2)=e-2e-2-(-2)-1=e-4+e-22e3得证.从而2e3g(x0)14.例6.

12、设函数 f x=alnx+x， g x=ex+x(1)讨论函数 f x的单调性；(2)令h x= f x-g x， 当a=2时， 证明h x0，所以 f(x)=ax+1=a+xx，当a0时， f(x)0， 函数 f(x)在(0,+)上单调递增，当a0时， 解得x-a，令所以 f(x)0可得， 0 x-a，所以函数 f(x)在(-a,+)上单调递增， 在(0,-a)上单调递减，(2)h(x)= f(x)-g(x)=alnx-ex，当a=2时h(x)=2lnx-ex， h(x)=2x-ex，令y=h(x)=2x-ex， 则y=-2x2-ex0， h(1)=2-e0， 当x(x0， +)， h(x)

13、2，所以h(x0)=2ln2-2 x0+1x02ln2-4，又因为h(x)h(x0) 即h(x)2ln2-4，所以当a=2时， h(x)2.解析： (1)fx=aex-2，当a0时 fx0时， 令 fx=0得x=ln2a， fx0得xln2a， fx0得x0时， f x的极小值为 f ln2a=2-2ln2a， 无极大值；(2)当a1时， f x-lnx+2xex-lnx，令g x=ex-lnx-2， 转化证明g x0因为gx=ex-1xx0， gx=ex+1x20， 所以gx在 0,+为增函数，因为g1=e-10， g12=e -20因此 f x-lnx+2x2.数学研讨双一流培优讲义 专题

14、1.8 隐零点问题5例8.已知函数 f x=xlnx+kx-2k.(1)当k=2时， 求曲线 f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)当x2时， 总有 f x1， 求整数k的最小值.解析： (1)当k=2时,f x=xlnx+2x-4,所以 fx=lnx+3,所以 f1=3,f 1=-2,所以 f x在点 1,f 1处的切线方程为y+2=3 x-1,即y=3x-5.(2)由题,f x1即xlnx+kx-2k1,即k x-21-xlnx,又x2,所以k1-xlnxx-2恒成立,令g(x)=1-xlnxx-2,所以g(x)=2lnx-x+1(x-2)2,令h(x)=2lnx-x+1,则h(x)=

15、2-xx0,h(3)=2ln3-20,h(4)=2ln4-30； 当x x0,+时,gxg xmax,且kZ,所以k-2,即整数k的最小值为-2.例9.设函数 f x=x+1+lnx(aR R为常数)(1)讨论函数 f x可能取得的最大值或最小值； (2)已知x0时， f xxex恒成立， 求a的取值范围解析： (1)由题意， 函数 f x=x+1+lnx的定义域为(0,+)， 且 f(x)=a+1x=ax+1x ()当a0， 由 f(x)0可得 f(x)是增函数， 这时函数 f(x)没有最大值也没有最小值()当a0时， f xxex恒成立， 可得aex-1+lnxx对x0时恒成立，令F(x)

16、=ex-1+lnxx， 则F(x)=ex+lnxx2=x2ex+lnxx2，令G(x)=x2ex+lnx， 则G(x)=(x2+2x)ex+1x0，所以G(x)是增函数， 因此， 方程x2ex+lnx=0有唯一解x0(0,1)，所以函数F(x)在x=x0时取得最小值，由于x02ex0+lnx0=0 x0ex0=1x0ln1x0ex0=1x0lnx0=-x0，所以F(x0)=1x0-1+lnx0 x0=-lnx0 x0=1， 因此a1数学研讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题6例10. 已知函数 f x=ex-a x-12-ex.(1)当a=0时， 求 f x的单调区间；(2)当x0时， f

17、 x0恒成立， 求a的取值范围.参考数据： e2.72， ln20.69.解析： (1)当a=0时， f x=ex-ex， 则 fx=ex-e.令 fx0， 得x0， 得x1.故函数y= f x的单调递减区间为 -,1， 调递增区间为 1,+；(2)因为当x0时， f x0恒成立， 且 f 1=0，由 f 0=1-a0， 可得a1.因为a1， 所以 f x=ex-a x-12-exex- x-12-ex，设g x=ex- x-12-ex， 则gx=ex-2 x-1-e.设h x=gx=ex-2 x-1-e， 则hx=ex-2.令hx0， 得xln2； 令hx0， 得0 x0， h ln2=gl

18、n2=4-e-2ln20， h 1=g1=0，所以存在x0 0,ln2， 使gx0=0.当0 x1时， gx0； 当x0 x1时， gx0.则函数y=g x在 0,x0上单调递增， 在 x0,1上单调递减， 在 1,+上单调递增.因为g 0=g 1=0， 所以g x0对一切的x0恒成立.故a的取值范围为 -,1.例11. 已知函数 f x=12x2-axlnx-14x2+ax.(1)若 f x在 0,+单调递增， 求a的值；(2)当14a1时， lnx0， 则需x-a0， 故axmin， 即a1；(ii)当x=1时， lnx=0， 则aR；(iii)当0 x1时， lnx0， 则需x-a0，

19、故axmax， 即a1；综上所述： a=1；(2)g x=f xx=12x-alnx-14x+a， gx=12lnx-ax+14， gx=12x+ax2，因为14a0，所以gx在 0,+上单调递增， 又g1=-a+140，所以x0 1,e， 使得gx0=0， 当x 0,x0时， gx0， 函数g x单调递增，故g x的最小值为g x0=12x0-alnx0-14x0+a=h a，由gx0=0得a=12x0lnx0+14x0， 因此h a=34x0-12x0lnx0lnx0，令t x=12xlnx+14x， x 1,e， 则tx=12lnx+340，数学研讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题

20、7所以t x在 1,e上单调递增， 又14a34e， t 1=14， t e=34e，所以x0取值范围为 1,e，令 x=34x-12xlnxlnx(1x0，所以函数 x在 1,e上单调递增， 又 1=0， e=e4，所以0 xe4， 即函数h a的值域为 0,e4.例12. 已知函数 f x=xlnx， g x=ax2+2ax.(1)求 f x的单调区间；(2)若 fx是函数 f x的导函数， 且2fxg x-2x在定义域内恒成立， 求整数a的最小值.解析： (1)由已知 f(x)=lnx+1， 当0 x1e时， f(x)1e时， f(x)0，所以 f(x)的减区间是 0,1e， 增区间1e

21、,+；(2)函数 f(x)的定义域是(0,+)， g(x)定义域是R，不等式2fxg x-2x为2(lnx+1)ax2+2ax-2x，所以不等式2(lnx+1)ax2+2ax-2x在(0,+)上恒成立，所以a2lnx+2+2xx2+2x在(0,+)上恒成立，设h(x)=2lnx+2+2xx2+2x，则h(x)=-(x+1)(x+2lnx)(x2+2x)2， x0时， x+10， (x2+2x)20，又(x)=x+2lnx在(0,+)上是增函数， g12=12-2ln20，所以存在x012,1， 使得(x0)=0，0 xx0时(x)0，xx0时， (x)0， h(x)0恒成立， 所以g x在 0

22、,+上单调递增；数学研讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题8若a0， 令gx=0， 则x=12a， 当0 x0， g x单调递增；当x12a时， gx0时， g x在 0,12a上单调递增， 在12a,+上单调递减.(2)证明： 因为a 0,12，所以当0 x1时， xlnx0， -ax2-120，所以 f x1的情形.当x1时， 由 f x=0， 可知a=lnxx-12x2，设F x=lnxx-12x2， 则Fx=1-lnxx2+1x3=x-xlnx+1x3，令h x=x-xlnx+1 x1， 则h x=-lnx0， h 4=5-4ln40， F x单调递增； 当x x0,+时，F x0， F x单调递减.所以F xmax=F x0=lnx0 x0-12x20=1x0+12x20， 其在x0 3,4上单调递减，所以F xmax=F x0932,718 0,12，所以存在a 0,12， 使得a=F x0， 即 f x0=0，故存在a 0,12， 使 f x有且仅有一个零点数学研讨双一流培优讲义 专题1.8 隐零点问题9