《2018年秋八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小专题六因式分解的几种常见方法试题新版新人教版20180823143.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018年秋八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小专题六因式分解的几种常见方法试题新版新人教版20180823143.doc(5页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、小专题(六)因式分解的几种常见方法因式分解的方法多种多样,现总结如下:1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提取公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n).4.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq型的多项式的因式分解.这类二次三项式的特
2、点是:二次项的系数是1,常数项是两个数的积,一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).mx2+px+q型的多项式的因式分解,如果ab=m,cd=q,且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c).5.拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法,运用公式法或分组分解法进行分解.注意必须在与原多项式相等的原则上进行变形.类型1提公因式法1.因式分解:(1)2x(a-b)+3y(b-a);解:原式=2x(a-b)-3y(a-b)=(a-b)
3、(2x-3y).(2)x(x2-xy)-(4x2-4xy).解:原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).2.简便计算:(1)1.992+1.990.01;解:原式=1.99(1.99+0.01)=3.98.(2)20162+2016-20172.解:原式=2016(2016+1)-20172=20162017-20172=2017(2016-2017)=-2017.类型2运用公式法3.因式分解:(1)x2+2xy2+2y4;解:原式=(x2+4xy2+y4)=(x+2y2)2.(2)4b2c2-(b2+c2)2;解:原式=(2bc+b2+c2)(2bc-b2-c2)=-(
4、b+c)2(b-c)2.(3)a(a2-1)-a2+1;解:原式=a(a2-1)-(a2-1)=a(a+1)(a-1)-(a+1)(a-1)=(a+1)(a-1)2.(4)(a+1)(a-1)-8.解:原式=a2-1-8=a2-9=(a+3)(a-3).4.先分解因式,再求值:(m2+n2)2-4m2n2,其中m=-3,n=2.解:原式=(m2+n2)2-(2mn)2=(m2+2mn+n2)(m2-2mn+n2)=(m+n)2(m-n)2.当m=-3,n=2时,原式=(-3+2)2(-3-2)2=(-1)2(-5)2=125=25.5.已知x=156,y=144,求代数式x2+xy+y2的值.
5、解:x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2,当x=156,y=144时,原式=(156+144)2=45000.类型3分组分解法6.将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法,一般的分组分解法有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如“2+2”分法:ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:(1)分解因式:x2-y2-x-y;(2)分解因式:9m2-4x2+4xy-y2;(3)分解因式:4a2+4a-4
6、a2b2-b2-4ab2+1.解:(1)原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1).(2)原式=9m2-(4x2-4xy+y2)=(3m)2-(2x-y)2=(3m+2x-y)(3m-2x+y).(3)原式=(2a+1)2-b2(2a+1)2=(2a+1)2(1+b)(1-b).类型4十字相乘法(教材延伸)7.用十字相乘法分解因式:(1)x2+3x+2;解:x2+3x+2=(x+1)(x+2).(2)x2-3x+2;解:x2-3x+2=(x-1)(x-2).(3)x2+2x-3;解:x2+2x-3=(x+3)(x-1).(4)x2-2x-3.解
7、:x2-2x-3=(x-3)(x+1).8.用十字相乘法分解因式:(1)2x2-3x+1;解:2x2-3x+1=(2x-1)(x-1).(2)6x2+5x-6.解:6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2).类型5拆项、补项法9.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法,它通常是把多项式中的某一项拆成几项,再分组分解,因而有时需要多次实验才能成功,例如把x3-3x2+4分解因式,这是一个三项式,最高次项是三次项,一次项系数是0,本题没有公因式可提取,又不能直接应用公式,因而考虑制造分组分解的条件,把常数项拆成1和3,原式就变成(x3+1)-(3x2-3),再利用立方和与平方差先分解,解法如下:原
8、式=x3+1-(3x2-3)=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)=(x+1)(x2-x+1-3x+3)=(x+1)(x-2)2.公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).根据上述论法和解法,思考并解决下列问题:(1)分解因式:x3+x2-2;(2)分解因式:x3-7x+6;(3)分解因式:x4+x2+1.解:(1)原式=(x3-1)+(x2-1)=(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+2x+2).(2)原式=x3-1-7x+7=(x-1)(x2+x+1)-7(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3).(3)原式=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x).5