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1、考点四十 圆的方程知识梳理1圆的定义在平面内， 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 确定一个圆最基本的要素是圆心和半 径2. 圆的标准方程(1) 以 (a，b)为圆心， r (r 0)为半径的圆的标准方程为 (xa)2(yb)2r2(2) 特殊的，以 (0，0)为圆心， r (r0) 为半径的圆的标准方程为 x2y2 r23. 圆的一般方程D 2 E 2 D2 E2 4F方程 x2y2DxEyF0 可变形为 xD2 yE2 D 4 .D ED2E2 4F(1) 当 D2E24F0 时，方程表示以 D2， E2 为圆心， D 2 为半径的圆；(2) 当 D2E24F0时，该方程表示一个点 D2
2、， E2 ；(3) 当 D2E2 4Fr2；(3) 点在圆内： (x0a)2(y0b)2r2.5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如 yb形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；xa(2) 形如 tax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3) 形如 (xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题典例剖析题型一 求圆的方程例 1 若圆 C 经过(1,0) ，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C的方程为答案 (x 2)2 (y 3)24解析 因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y轴相
3、切，所以半 径 r2，设圆心坐标为 (2，b)，则(12)2b24，b23，b 3变式训练 （1）圆心在 y 轴上且经过点 （3，1）的圆与 x 轴相切，则该圆的方程 是（2） 已知圆 C 经过 A（5,1），B（1,3）两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 答案 （1） x2y210y0（2） （x2）2y210解析 （1）设圆心为 （0， b） ，半径为 r，则 r |b|，圆的方程为 x2 （y b）2 b2.点 （3，1）在圆上， 9（1b）2b2，解得： b5. 圆的方程为 x2 y2 10y 0.（2） 设圆心坐标为 （ a,0） ，易知 a5 2 1 2 a1 2 3 2，
4、 解得 a 2，圆心为 （2,0），半径为 10，圆 C 的方程为 （x 2）2 y2 10.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解 题型二 点与圆的位置关系例 2 已知圆的方程是 （x2）2（y3）24，则点 P（3， 2）满足答案 在圆内解析 因为 （32）2（23）220，点 P 在圆 C 外部题型三 二次方程表示圆的条件例 3 方程 x2y2 4mx2y 5m 0 表示圆的充要条件的是1答案 m141解析 由（4m）24 45m0，得 m1.变式训练 方程 2x22y24x8y10 0表示的图形是答案 一个点解析 方程 2x22y2 4x8y10
5、0，可化为 x2y22x4y50， 即（x1）2（y2）2 0，方程 2x22y24x8y100表示点 （1， 2） 解题要点 1.方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件是 D2E24F0B0，2.二次方程 Ax2BxyCy2 DxEyF0 表示圆的充要条件： AC0，D2E2 4AF0.即方程中不含 xy 项， x2，y2 前系数相同，且 D2 E24AF0题型四 与圆有关的最值问题例 4 已知实数 x、y 满足方程 x2y24x1 0.求：(2)y x 的最小值；(3) x2y2 的最大值和最小值解析 (1)如图，方程 x2y24x10 表示以点 (2,0)为圆心，以 3为半径
6、的圆设y k，即 ykx，x则圆心 (2,0)到直线 ykx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由 |2k201| 3，解得 k2 3， k max 3， kmin 3.(也可由平面几何知识，得 OC2， CP 3， POC 60 ，直线 OP 的倾斜角为 60，直线 OP 的倾斜角为 120)(2)设 yxb，则 y x b，仅当直线 yxb 与圆切于第四象限时，截距 b 取最小值，由 点到直线的距离公式，得 |2 0 b| 3，即 b2 6，故 (y x)min 2 6.(3)x2 y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C，则(x2 y2
7、)max |OC2|(2 3)2 7 4 3，(x2y2)min |OB|2 (2 3)2 74 3.解题要点 (1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观 求解否则可转化为函数求最值（2）形如 u yb形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t axby 形xa式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如（xa）2 （yb）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题当堂练习1圆心在直线 2x3y10 上的圆与 x 轴交于 A（1，0），B（3， 0）两点，则圆的方程 为答案 （x 2）2 （y 1）2 2解析 所求圆与 x轴交于 A
8、（1，0），B（3，0）两点，故线段 AB的垂直平分线 x2 过所求圆的 圆心，又所求圆的圆心在直线 2x3y10 上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心 坐标，解之得圆心坐标为 （2， 1），进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为 （x2）2 （y1）22程为答案解析2已知圆 C1：（x1）2（y1）21，圆 C2与圆 C1关于直线 xy10 对称，则圆 C2的方 （x2）2（y2）21圆C1：（x1）2（y1）21的圆心为 （1，1）圆 C2的圆心设为 （a，b），C1与 C2关于直线xy1 0 对称，解得圆 C2 的半径为 1，圆 C2的方程为 （x2）2（y2）2 1.3. 圆 的圆
9、心和半径分别 答案解析 将圆 配方得： ，故知圆心为 （2， 1），半径 为.4若坐标原点在圆 （xm）2+（y+m）2=4 的内部，则实数 m 的取值范围 是答案 解析 原点 O 在圆 （xm）2+（y+m）2=4 的内部， （0 m）2+（0+ m） 2 4，得 2m24， 解得 m ,即实数 m 的取值范围为：m 5方程 x2+y2x+y+m=0 表示一个圆，则 m 的取值范围是答案 m 0，解得 m0，且 b1.又圆和直线 4x3y0 相切，1，即 |4a 3| 5， a0， a2.所以圆的方程为 （x 2）2（y1）21.4点 （2a， a 1）在圆 x2+y22y4=0 的内部，则
10、 a 的取值范围是 答案 a1解析 由题意， 4a2+（a 1）22（a1）4 0，即 5a24a10,5圆的圆心坐标是答案 （2， 3）解析 将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是 （2， 3）.6圆 x2+y2=16 上的点到直线 x y=3 的距离的最大值为解析答案圆心即 原点 到直线 的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线 的最大距离为7若方程 x2+y2x2y+c=0（cR）是一个圆的一般方程，则 c 的范围是答案 c0且 b0） ，由已知有：，答案 （x 2）2 （y 1）2 1解析 由已知设所求圆的圆心坐标为： 所以所求圆的方程为： （x 2）2（y1）219圆的方程过点和原点
11、，则圆的方程为答案解析 设圆的一般方程为 ，将三点代入得：，解得所以圆的方程为 .10方程 x2 y2 6x 0 表示的圆的圆心坐标是 ；半径是 答案 （3， 0），3 解析 （x 3）2 y2 9，圆心坐标为 （3， 0），半径为 3.11从直线 xy30 上的点向圆 x2y24x4y70 引切线，则切线长的最小值为解析 把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A 与直线 xy30 垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形 ABC 为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 x y30 的距离即为 |AC|的
12、长，然后根据半径和 |AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长由于圆心 （2，2） ，半径为 1，那么可知圆心到直线的距离为，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为、解答题 12求下列各圆的标准方程：（1）圆心在 y= x上且过两点 （2，0），（0， 4）（2）圆心在直线 2x+y=0 上，且与直线 x+ y 1=0 切于点 （2， 1）解析 （1）设圆心坐标为 （ ），则所求圆的方程为圆心在 上， ， 又圆过 （2，0），（0， 4） ， ，由联立方程组，可得 所求圆的方程为 .（2）圆与直线相切，并切于点 M（2， 1），则圆心必在过点 M（2，1）且垂直于的直线 ： 上，即圆心为 C（1， 2），r = ，所求圆的方程为：13求经过三点 A（1， 1），B（8，0），C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标 .解析 设所求圆的方程为点 A（1， 1），B（8，0），C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 解得： D=8，E=6，F=0 .于是得所求圆的方程为： 圆的半径 r= 圆心坐标是 .