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1、第二章 电像法,引 言,第一节 平面界面电像法,第二节 球面界面电像法,第三节 柱面界面电像法,第四节 场分布的电像定性分析,引言,静电场 电位微分方程泊松方程、拉普拉斯方程,定解条件,对某区域内只有一个或几个点电荷（或线电荷）、区域边界或交界面为导体或电介质的某些特殊情形，用假想的“像电荷”代替实际存在于界面处的感应电荷或极化电荷，利用“像电荷”得到问题解的方法。,什么是电像法？,本章讨论平面、球面、柱面界面电像法,返回,一、无限大接地平面导体外一点电荷的静电场,求 空间的电位、场强及平面导体上的电荷分布。,静电感应，场由q及 共同产生。,由唯一性定理，定解条件为,方程：,边界条件：,除(a
2、,0,0)点以外,点电荷的电位,设 空间的尝试解为,尝试解已满足(1)式和(3)式。为满足(2)式，将(4)式代入(2)式，得,代入式(4)，即得解为,(4),q像电荷，q原电荷。,感应电荷密度,总感应电荷Q,场强,二、两均匀电介质交界面为无限大平面、一介质内有一点电荷的场,如图。试求：空间电位分布函数、场强 及电位移 的分布及x0界面处的极化束缚面电荷密度 。,解：交界面处有束缚面电荷 。,空间的场即是由q与 产生。,区域的边界为无穷远，边界处电位为0。,令 空间的电位函数为U1， 空间的电位函数为U2，则有,方程,除(a,0,0)点以外,边界条件,交界条件,设尝试解为,由(4)式，有,由(
3、5)式，有,解得,令,称为介质 对介质 的反射系数,令,称为从介质 透射入介质 的透射系数,称为反射像电荷,透射像电荷,最后得到解为,还可利用原电荷、反射像电荷、透射像电荷直接得出场强及电位移,交界面x0处的极化束缚面电荷密度,总极化面电荷为,当 时，K120，则 均为正电荷；,当 时，K120，则 均为负电荷；,三、角域内一点电荷的电像法,求出求电介质 中的场所需的像电荷,解：为满足(I)处交界条件，可在对称处置像电荷 ， 为满足(II)处交界条件，可在对称处置像电荷,当 且n为整数时，像电荷共有2n1个。若n不是整数，像电荷有无穷多，且将出现在 内，不能用电像法精确求解。,四、两平行平面界
4、面内一点电荷的电像法,试求出求空间场所需的像电荷。,返回,一、接地导体球面外一点电荷的电场,如图，设接地导体球面半径为a，球外距球心d处有点电荷q，试求球外空间的电位分布及球表面的总感应电荷。,解：由静电感应，球面分布感应自由面电荷，球外电场由q和感应电荷 产生。,设想在Oq连线上距O为d放一像电荷q，用以代替 对球外空间的作用，并可将球面去掉。设球外空间电位为Up，则按定解条件，有,方程,边界条件,(Ra，q点除外),设尝试解为,(1),(2),(3),尝试解已满足(1)、(2)式。,为使之能满足(3)式，在球面上任取一点p，有,如果q的位置恰能,有,所以,则 ,现在求总感应电荷Q。,总感应
5、电荷在球心处电位为,q在球心处电位为,球心处总电位为零，即,因为ad，所以Qq。,导体球不接地时,在球心处再放点电荷q。,则球面外P点电位为,点电荷在接地导体球壳内时，如要讨论球腔内的电场，则像电荷应置于球壳外。依然存在下面关系：,二、无限大接地平面导体外一电位为U的导体球的电场,试求出求球外x0空间的电位分布的像电荷。（本问题类似于地下一充电良导体球，当考虑地面影响时，求地下电位分布）,返回,一、无限长介质柱外一无限长线电荷的电场,在无限大均匀电介质 中有一介电系数为 的无限长电介质圆柱，柱半径为a。距柱轴d处(da)有一与柱轴平行的无限长线电荷，线电荷密度为 ，试求空间的电场分布函数。,解：选柱坐标，使z轴与圆柱轴重合，场分布与z无关，故只讨论与柱轴垂直的某一横截面上的二维分布。,应用“二电介质一点电荷”及“球外一点电荷”的思想,求场强。尝试解为,其中,利用场强交界条件定解,对A点，有,对B点，有,代入试解即得场强,利用下列公式求电位,如令柱轴为参考点，则,由电位连续即可求得U1。,二、两带等量异号电荷的无限长导体柱的电场,两无限长带等量而异号电荷的导体圆柱面，求空间电位分布,等位面方程,如果,返回,一、两均匀电介质一点电荷场分布的定性分析,二、接地导体球外一点电荷场分布的定性分析,本章作业：22、23、25、28、212,返回,