最新高中数学解题技巧复习教案（1）：集合的概念与运算名师优秀教案.doc

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1、高中数学解题技巧复习教案（1）：集合的概念与运算第一讲集合的概念与运算【考点透视】 1(理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2(了解空集和全集的意义. 3(了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合( 4(解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合x|x?P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. ,5(注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如,AB,则有A=或A?两种可能，此时应分类讨论. 【例

3、应选D( 2,yx,，1,x,1,x,0,或得,y,2.yx,，1.y,1,点评:?本题求M?N，经常发生解方程组从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么(事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集(?集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x2，1、y|y=x2，1,x?R、(x,y)|y=x2，1,x?R，这三个集合是不同的( 例2.若P=y|y=x2,x?R，Q=y|y=x2，1,x?R，则P?Q等于( ) A(P B(Q C( D(不知道思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x?R)

4、的值域集合，同样Q集合是y= x2，1(x?R)的值域集合，这样P?Q意义就明确了( 解:事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2，1的值域，由P=y|y?0,Q=y|y?1，知QP，即P?Q=Q(?应选B( 例3. 若P=y|y=x2,x?R，Q=(x，y)|y=x2,x?R，则必有( ) ,A(P?Q= B(P Q C(P=Q D(P Q 思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x?R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x?R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事

5、物( 解:正确解法应为: P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因,此P?Q=(?应选A( 22A,x|x,1，B,x|x,2x,3,0A,B例4若，则= ( ) 用心爱心专心 ,A(3 B(1 C( D(,1 AxxxBxxxAB,？,|1,1|1,3,1.，,思路启迪: 解:应选D( 点评:解此类题应先确定已知集合( 题型2(集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识( 1aaaaaaaaaa2例5. 若A=2，4,

6、 3,22,，7,B=1, ，1, 2,2，2, (2,3,8), 3，2aa，3，7，且A?B=2，5，则实数的值是_( aaaaa解答启迪:?A?B=2，5，?3,22,，7=5,由此求得=2或=?1( A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查( aaaa当=1时，2,2，2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1( aa当=,1时，B=1,0,5,2,4，与A?B=2，5相矛盾，故又舍去=,1( a当=2时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时A?B=2，5，满足题设( a故=2为所求( aaaaaa例6. 已知集合A=,，b, ，2b，B

7、=,c, c2(若A=B，则c的值是_( 思路启迪:要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式( 解:分两种情况进行讨论( aaaaaaa(1)若，b=c且，2b=c2，消去b得:，c2,2c=0， aa=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故?0( ?c2,2c，1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解( aaaaaaa)若(2，b=c2且，2b=c，消去b得:2c2,c,=0， 1a2?0，?2c2,c,1=0，即(c,1)(2c，1)=0，又c?1，故c=,( 点评:解

8、决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正( aaa例7.已知集合A=x|x2,3x，2=0,B=x|x2,x，,1=0，且A?B=A，则的值为_( ,BAa思路启迪:由A?B=A而推出B有四种可能，进而求出的值( ？,BA,解: ? A?B=A， , B=或B=1或B=2或B=1，2( ? A=1，2，?,a,若B=，则令?0得?R且?2，把x=1代入方程得?R，把x=2代入方程得=3( a综上的值为2或3( aa点评:本题不能直接写出B=1，,1，因为,1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况( 题型3(要

9、注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视(反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的(因用心爱心专心此，在证明(判断)两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去( aa例8.设集合A=|=3n，2,n?Z，集合B=b|b=3k,1,k?Z，则集合A、B的关系是_(aa解:任设?A，则=3n，2=3(n，1),1(n?Z)， AB,a? n?Z,?n，1?Z.? ?B,故( ? 又任设 b?B，则 b=3k,1=3(k,1)，2(k?Z), BA,? k?Z,?k,1?Z.? b

10、?A，故 ? 由?、?知A=B( a点评:这里说明?B或b?A的过程中，关键是先要变(或凑)出形式，然后再推理( A,B,B,C例9若A、B、C为三个集合，则一定有( ) A,CC,AA,CA,A . B . C . D . 考查目的本题主要考查集合间关系的运算. ABBABCABC,？,ABBC,解:由知，故选A. A,1,2AB,1,2,3例10(设集合,则满足的集合B的个数是( ) A . 1 B .3 C .4 D . 8 考查目的本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. A,1,2AB,1,2,3A,1,2解:，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合

11、的224,子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C. xa,0x,11?Qxx，1P例11( 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为( a,3P(I)若，求; QP,a(II)若，求正数的取值范围( QP思路启迪:先解不等式求得集合和( x,3,0Pxx,13,x，1解:(I)由，得( Qxxxx,1102?,(II)( Pxxa,1,QP,a,0a,0由，得，又，所以， (2)，,a即的取值范围是( 题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这

12、个集合(当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误( aa例12. 已知A=x|x2,3x，2=0,B=x|x,2=0且A?B=A，则实数组成的集合C是_( aa解:由x2,3x，2=0得x=1或2(当x=1时，=2，当x=2时，=1( ,这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A?B=A，用心爱心专心 a,当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C=0，1，2( 2Bxxx,，540?Axxa,|1?,AB,a例13(已知集合，(若，则实数的取值范围是 ( 思路启迪:先确定已知集合A和B( 2Bxxxxxx,，,54

13、04,1.?Axxaxaxa,|111,?+,解: (23)，？，,？,aax14,11.23.a故实数的取值范围是( ,R例14. 已知集合A=x|x2，(m，2)x，1=0,x?R，若A?=，则实数m的取值范围是_( 思路启迪:从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2，(m，2)x，1=0的解,R集，而x=0不是方程的解，所以由A?=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围( ,R解:由A?=又方程x2，(m，2)x，1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 2,，,m240,，,，,m20,，,或?=(m，2)2,40(解

14、得m?0或,4m,4( ,R点评:此题容易发生的错误是由A?=只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积,为1，因为方程无零根)，而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言( 例15.已知集合A=x|x2,3x,10?0，集合B=x|p，1?x?2p,1(若BA，则实数p的取值范围是_( 解:由x2,3x,10?0得,2?x?5( ,，21p,33.p,215p,欲使BA，只须? p的取值范围是,3?p?3( ,上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设( ,应有:?当B?时，即p，1?2p,1p?2( 由BA得:,2?p，1且2p,1?5(由,3?p?3(? 2?p?

15、3. ,?当B=时，即p，12p,1p,2( 由?、?得:p?3( ,点评:从以上解答应看到:解决有关A?B=、A?B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题( 题型5(要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解( 例16.设全集U=x|0x0，求A?B和A?B( 解:? A=x|x2,5x,6?0=x|,6?x?1， B=x|x2，3x0=x|x0( 如图所示， ? A?B=x|,6?x?1?x|x0=R(

17、数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果( 【专题训练】一.选择题: aa1(设M=x|x2+x+2=0，=lg(lg10)，则与M的关系是( ) ,aaaa,A、=M B、M C、M D、M Ua,a2(已知全集=R，A=x|x-|2，B=x|x-1|?3，且A?B=，则的取值范围是( ) 0，2 B、(-2，2) C、(0，2 D、(0，2) aaa3(已知集合M=x|x=2-3+2，?R，N=x|x=b2-b，b?R，则M，N的关系是( ) ,MN B、MN C、M=N D、不确定 4(设集合A=x|x?Z且-10?x?-1，B=x|x?Z，且|x|

18、?5，则A?B中的元素个数是( ) A、11 B、10 C、16 D、15 5(集合M=1，2，3，4，5的子集是( ) A、15 B、16 C、31 D、32 k,kx,，42246. 集合M=x|x=,k?Z,N=x|x=,k?Z,则( ) ,A. M=N B. MN C. MN D. M?N= ,7. 已知集合A=x|x2,4mx，2m，6=0,x?R，若A?R,?，求实数m的取值范围( 用心爱心专心 8( 命题甲:方程x2，mx，1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x2，4(m,2)x，1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围( ,9. 已知集合A=x|,2?x?7

19、,B=x|m+1x2m,1且B?,若A?B=A，则( ) A. ,3?m?4 B. ,3m4 C. 2m4 D. 22( 使命题乙成立的条件是:?2=16(m,2)2,160，?1,m,3(? 集合B=m|1m2?m|m?1或m?3=m|m?3; 若为(1若为(2)，则有:B?CRA=m|1m3?m|m?2=m|1m?2; 综合(1)、(2)可知所求m的取值范围是m|1m?2，或m?3( ,9.D 解析: ?A?B=A，?BA,又B?, m，1,2,2m,1,7,m，1,2m,1,?，即2,m?4. 10.C 11.D 12.B 13.D 14.B 填空题: 二.,1,2,1,2,15. ;

20、16. 7 ; 17. ; 18.-1. 三.解答题: aa19. ?1或?-1，提示:画图. 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有p,8,p,14,p,20,q,40.q,16,q,10,20(或或三三角函数的计算21(解:在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征(M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化(M=y|y=x2+1，x?R=y|y?1，N=y|y=x+1，x?R=y|y?R(? M?N=M=y|y?1( 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。用心爱心专心在ABC中，C为直角，A、B、C所

21、对的边分别为a、b、c，则有,22(解:化简条件得A=1，2，A?B=BBA( ,根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B=1或2，B=1，2( ,22,m,22当B=时，?=m2-80(? ( ,0,1,m，2,0或4,2m，2,0,当B=1或2时，m无解( 12,，,m,点在圆外 dr.,122.，,当B=1，2时，? m=3( (6)直角三角形的外接圆半径,22,m,22综上所述，m=3或( （1）一般式：23.解或:34,1,AxxBxx,5,？,？,CAxxxCBxxCACBxx34,15,()()45.或,UUUU 1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。xx,13Axxx,13或，,ABR,24. 解: ?. ?中元素必是B的元素. 6、因材施教，重视基础知识的掌握。xx34,ABxx,34, 又?, ?中的元素属于B, Bxxxxx,133414或, 故. 22Bxxaxb,，,0,xaxb，,0 而. ?-1,4是方程的两根， ?a=-3,b=-4. 用心爱心专心 8.直线与圆的位置关系用心爱心专心

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