《最新高中数学解题技巧复习教案（4）：数列与探索性新题型名师优秀教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高中数学解题技巧复习教案（4）：数列与探索性新题型名师优秀教案.doc（45页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高中数学解题技巧复习教案（4）：数列与探索性新题型第四讲 数列与探索性新题型【考点透视】1(理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2(理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3(理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4(数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试
2、题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1(在德国不来梅
3、举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球;第2，3，4，堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，fn()_,则;(答案用n表示)f3_,， 思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。解答过程:显然.f310,，nn1，第n堆最低层(第一层)的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数相aaaa,，,n12n2nn1，11222当于n堆乒乓球的低层数之和，即fnaaa(12n).,，
4、,，,，12n222nn1n2，所以:f(n),6例2(将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表(从上往下n次数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 (第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪:计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。2解:第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，21,21,3nn第3次全行的数都为1的是第=7行，?，第次全行的数都为1的是第行;21,
5、21,5第61行中1的个数是21,=32(n应填，3221,考点2 数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的aan,a1,类型进行解题。如“逐差法”若且;我们可把各个差列出来进行求和，nn1,1可得到数列的通项. a,nnn1，aaaaaaaa,，,，,，,，,，,nn121.，nnn1n1n2211,2an1，a1,再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。,，n11anaaann12,aann1n221n!，n1aaan1n21,另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3( caaa，数
6、列中，(是常数，)，且成公比不为的等1a,2n,123，aacn,，a,1231nn，1n比数列(c(I)求的值;(II)求的通项公式(a,ncaaa，思路启迪:(1)由成公比不为的等比数列列方程求;1123(2)可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解:(I)，a,2ac,，2ac,，231232aaa，因为成等比数列，所以，解得或(c,0c,2(2)2(23)，,，cc123当时，不符合题意舍去，故(c,2c,0aaa,123(II)当时，由于n?2， ， ，aac,aac
7、,2aanc,(1)2132nn,1nn(1),所以(aancc,，,12(1)n122又，故(c,2a,2annnnn,，,，,2(1)2(23)，1n当时，上式也成立，n,12所以(annn,，,2(12)，n小结:从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.x11例4(已知数列满足，(若， 则 ( B )n,3,4,x,lim2x,x,xxx,，nn2nnn,12,n223(,) (,) , (,) , (,) ,2思路启迪:对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两
8、边同时运用.解答过程:， .2xxx,，？,xxxxnn1n1,nn1n2n,xxxx,3213,xxxx,4324,相叠加.xxxxxx,，,n212nn1,xxxx,n1n2n3n1,xxxx,nn1n2n,x1， .？，,2xx2xx,nn11,22， ， ，.？,2x6x3,limx2,lim2xxlim2x，,，11nnn11,nn,n1解答过程2:由得:xxx,，nnn,122111，,，,，,x+xxxxxxnn1n1n2211,2221, ，因为.limx2,limxxx，,nnn11,nn,2,所以:.x3,11解答过程3:由得:xxx,，nnn,1222n2n1,1111,
9、，,xxx,xxxxxx，,211,nn1n1n2n2n32222,23n1,111,从而 ;.xxx,xxx,xxx,321,431,nn11,222,23n1,，111,叠加得:.xxx,，,，,n21,222,，n2,n2,，,，1111,， .xxx1,，,limxlimxx1,，,n21,n21,nn,6262,，,x11 ， 从而.x3,2x,，1126小结:数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关akadn2,k1,，,系式。对连续两项递推，可转化为，nn-1dd,akadan2,，,;对连续三项递推的关系，aka,n1nn-1，nn1,1k1k
10、,2如果方程有两个根，则上递推关系式可化为,、xkxd=0,或.aaaa,aaaa,，n1nnn1，,n1nnn1，,aS考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用nnS n=1,1aSSa与的关系:，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，nnnn,a,nSS n2,nn1,a在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适n2,aSS,1nnn1,a与S的式子问题时，通常转化为只含a或者转化为只S的式子.合。解决含nnnnn例5( 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于SSa,2aa，1,nn1nn( )n，1n(A) (B) (C) (D)22,31,3n2n
11、命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。n,1过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则aq,2aa，1,nnn22(1)(1)(1)22aaaaaaaaaaaa，,，,，,，,，,nnnnnnnnnnnn，121122212,，,aqqq(12)01n即，所以，故选择答案C.Sn,2a,2nn例6.已知在正项数列a 中，S 表示前n项和且，求a .2Sa1,，nnnnn思路启迪:转化为只含或者只含的递推关系式.aSnn解答过程1:由已知，得当n=1时，a=1;当n?2时，2Sa1,，1nna = S ,S ，代入已知有，.,2SSS1,，SS2S1,，nnn1
12、nnn1,n1nn,2，又，故.a0,SS,SS1,SS1,，nnn1,n1n,n1n，是以1为首项，1为公差的等差数列，SS1,S,nn1,n故.a2n1,Sn,nn解答过程2:由已知，得当n=1时，a=1;当n?2时2Sa1,，1nn222a1，a1a1，,nn1n因为，所以.a,S,n,n222,2222，4aa2aa2a,，,a2aa2a0,nnn1n1nnnn1n1，因为，a0,aaaa20，,，nnn1nn1,所以，所以.a2n1,aa2,nnn1,考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取n1,自然数中的具
13、体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.,a1,a2a1,，例7(已知数列满足 (n?N)a,1n1n，n(?)求数列的通项公式;a,nbb1,b1b1b1,n312n(?)若数列满足 (n?N*),证明: 是等差数列;4444a1，,，bb,nnn思路启迪:本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化*aanN,，,21(),nn，1解答过程: (I)解:？，,，aa12(1),nn，1 a12，, 是以为首项，2为公比的等比数列。a1，,1nn2*？，,a12.anN,21().nn 即 bb1b1b1,b1,n312n (II)证法一: ，
14、4444a1，,，n(bb.b)b，,nn12nn？,42. ？，,2(.),bbbnnb12nn ? 2(.)(1)(1).bbbbnnb，,，,，1211nnn， ? 2(1)(1),bnbnb,，,nnn，11 ?,?，得 (1)20,nbnb,，,nn，1 即 ? nbnb,，,(1)20.nn，21 ? nbnbnb,，,20,nnn，21 ?,?，得 *？,bbbbnN(),bbb,，,20,nnnn，211nnn，21 即 故是等差数列. b,n考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中，已知五个元素a,a,n,d或，S中的任意三个，运用方程的思想，q1n
15、n便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a和公差(或1公比)。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 qaaaa，,，(1)等差数列中，若，则;等比数列中，若mnpq，,，a,a,mnpqnnaaaa,，则 . mnpq，,，mnpqS中，成等差数列。其中是等差数列的(2)等差数列aS,SS,SS,SS,nnn2nn3n2nknkn1,，前n项和;等比数列中()，成等比数列。其中q1,aS,SS,SS,SS,nn2nn3n2nknkn1,，S是等比数列的前n项和; na(3)在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. a,nn(4)在等差数列中，; . S2
16、n1a,Snaa,，a，,2n1n,2nnn1，n在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 例8(已知等差数列的前n项和为S，若，且A、B、C三点共线(该OaB,OAaOC，an,1200n直线不过原点O)，则S,( ) 200A(100 B. 101 C.200 D.201 命题目的:考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。 过程指引:依题意，a，a,1，故选A 1200例9(某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a，以后1每年交纳的数目均比上一年增加 d(d0), 因此，历
17、年所交纳的储备金数目a, a, 是12一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r(r0),那么, 在第n年末，第一年所交纳的,n1n2储备金就变为 a(1+r)，第二年所交纳的储备金就变成 a(1+r)，. 以T表12n示到第n年末所累计的储备金总额. (?)写出T与T(n?2)的递推关系式; ,nn1(?)求证T=A+ B，其中A是一个等比数列，B是一个等差数列. nnnnn命题目的:本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解
18、决实际问题的能力. 解:(I)我们有 T,T(1，r)，a(n,2).nn,1n(II)反复使用上述关系式，得 T,a,对n,2112 T,T(1，r)，a,T(1，r)，a(1，r)，a,？nn,1nn,2n,1nn,1n,2 ? a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a,12n,1n在?式两端同乘1+r，得 nn,12 ? (1，r)T,a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a(1，r).nn,n121?,?，得 ,nnn12rT,a(1，r)，d(1，r)，(1，r)，(1，r),a？n1ndnn,(1，r),1,r，a(1，r),a,1nrar，dar，ddn11即T,
19、(1，r),n,.n22rrr ar，dar，ddn11如果记A,(1，r),B,n,nn22rrr则T,A，B,nnnar，d1其中|A|是以(1，r)为首项,以1，r(r,0)为公比的等比数列;n2rar，ddd1|B|是以,首项,为公差的等差数列.n2rrr2(解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用( 考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用 等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函na1q,，aa1n11数.等比数列的前n项和公式()，因此可以改写为q1,Sq,n1q1q1q,nSaqb (
20、ab0),，,是关于n的指数函数，当时，Sna,. q1,nn12例10(已知数列的前n项和S=n,9n,第k项满足5a8,则k= anknA(9 B(8 C(7 D(6 思路启迪:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力( 解:此数列为等差数列，aSSn,210，由52k-10a; ana,n(n=1,2,)，求数列b的前n项和S( (3)记lnb,nnnaa,n思路启迪:(1)注意应用根与系数关系求的值;(2)注意先求;(3)注意利用,fx(),的关系( 2fxxx()1,，,解:(1)?，是方程f(x)=0的两个根， (),，,1515?(
21、,22115aaa(21)(21)，,2nnnaa，,1nn244aaa, (2)， fxx()21,，nnn1，2121aa，nn51151,51,4(21)a，,=，?，?由基本不等式可知(当且仅当a,1a,0a,n1214212a，22n51,51,51,时取等号)，?同，样，(n=1,2,)( a,a,a,0,23n222()()aaa,nnn (3)，而，即， ,，,1,，,1aaa,，(1),，1nnn2121aa，nn22()a,()a,13535,，,nn，同理，bb,2，又 a,a,b,lnln2ln,，nn，11nn1121a，21a，12,35,nn，35n( S,2(2
22、1)lnn2【专题训练】 一.选择题 1.已知a是等比数列，且a0，aa+2 aa+aa=25，那么a+ a的值等于nn24354635( ) A.5 B.10 C.15. D.20 2.在等差数列a中，已知a+a+a+a+a= 20，那么a等于( ) n123453A.4 B.5 C.6 D7. S3110,若，则S等于( ) 3.等比数列a的首项a=,1,前n项和为Sn1nnlim,n,S32522 C.2 D.,2 A. B.,3324.已知二次函数y=a(a+1)x,(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d,d，,d,则 (d+d+d)的值是( )
23、 n12n12limn,A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题 5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0log(ab)0,S0知q0， nnn因aa+2 aa+ aa=25， 24354632435q aq+2aqaq+aqaq=25， 所以，a11111122222？即aq(1+ q)=25， aq(1+ q)=5， 112422得a+ a= aq+aq= aq(1+ q)=5 . 故选择答案A . 3511122？解法二:因a是等比数列，aa= a，aa= a ， 35n2446222？原式可化为 a+2 aa+ a=25, 即(a+ a)=25. 353535？
24、因 a0 , a+ a= 5 , 故选择答案A n352. 解法一:因为a是等差数列，设其首项为a，公差为d， n1由已知 a+ a+a+a+a= 20 有 5 a+10d = 20， 123451？ a+2d = 4, 即 a= 4.故选择答案A. 13解法二:因a是等差数列，所以 a+ a= a+ a=2 a， n15243？ 由已知 a+a+a+a+a= 20 得5 a= 20， a= 4. 1234533故选择答案A S31103.解析:利用等比数列和的性质.依题意，而a=,1,故q?1, 1,S325S,S31,321105?,根据等比数列性质知S，S,S，S,S,也成等比数列，且5
25、1051510,3232S51551它的公比为q,?q=,即q=,. 232a21? S,.limn,qn1,3故选择答案B. 24.解析:当a=n时y=n(n+1)x,(2n+1)x+1 ,1由,x,x,=，得d=， 12nan(n，1)?d+d+d12n 111111111,，？，,1,，,，？，,1,1,22,3n(n，1)223nn，1n,，1 1？(d，d，？，d),(1,),1.limlim12nn,n,n，1故选择答案A. 二、5.解析:解出a、b,解对数不等式即可. 故填答案:(,?,8) n，16.解析:利用S/S=得解. 奇偶n故填答案:第11项a=29. 11112,iinnn，11 7.:|()()|(),解析设czz,nnn，1222122nn,1()1() 222Scc？c.？,，,12nn,222,1212，22 ？S,1，.limnn,222,22故填答案:1+. 2a8.解析:由题意所有正三角