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1、一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人 得分1 .选择题（共6小题）1 .已知关于x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下列说法正确的是（）A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2 .关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m - 1 B. m- 1 C. m - 1 D, m0,方程有两个不相等的实数根.故选：B.2.关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m - 1 B. m- 1 C. m - 1 D, m0,解得：m- 1.故选：A.3 .关于x的一元二次方程x2+3x-1
2、=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定【解答】解：a=1, b=3, c=T,.,-=b2-4ac=32-4X1x （1） =130,方程有两个不相等的实数根.故选：A.4 .设x1、x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6【解答】解：:为、x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两实数根，Xi+X2=2、X1X2=-X12+X22= (X1+X2)2 2X1X2=22 2 x (77) =5.故选：C.5 .若a、B是一元二次方程X2 5x-2=0的两个实数根，则
3、a+B的值为()A. - 5 B. 5C. - 2 D. 【解答】解：a、 B是一元二次方程X25x2=0的两个实数根，. o+ B =5故选：B.6 .已知关于x的方程x2-4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为()A. - 1 B. 0 C. 1 D. 3【解答】解：二,关于x的方程x2 - 4x+c+1=0有两个相等的实数根，.= (-4)2-4X1X (c+1) =12-4c=0,解得：c=3.故选：D.2 .填空题(共1小题)7,若关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0 (aw0)的两个不等实数根分别为p, q,且 p2-pq+q2=18,则&/的值为 -5 .【解答】
4、解：:关于x的一元二次方程x2 - 3x+a=0 (aw0)的两个不等实数根分 别为p、q, p+q=3, pq=a,. p2-pq+q2= (p+q) 2-3Pq=18,即 9-3a=18,. .a=- 3, 二 pq= 3,. q徂-p、q*8+pq_18-3 _ c 一= - 5 .p q PQ PQ T故答案为:5.3 .解答题(共8小题)8 .已知关于x的方程x2- (2k+1) x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且 k=2,求该矩形的对角线 L 的长.【解答】解：(1)二.方程x2- (2k+1) x+
5、k2+1=0有两个不相等的实数根，. .= (2k+1) 2-4Xlx (k2+1) =4k- 30,(2)当k=2时，原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n,m+n=5, mn=5,一口。口 2=，(出口)= 5 9 .已知关于x的方程x2+ax+a 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程，得：1+a+a2=0,解得：a.(2)证明： =a2-4 (a- 2) = (a- 2) 2+4. (a2) 20,. (a-2) 2+40, gPA 0,不论a取何实数，该方程都有两个不相等的
6、实数根.10.已知关于x的一元二次方程(x- m) 2-2 (x-m) =0 (m为常数).(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程一个根为3,求m的值.【解答】(1)证明：原方程可化为x2- (2m+2) x+m2+2m=0,. a=1, b= (2m+2), c=m2+2m, =b2 4ac= (2m+2) 24 (m2+2m) =40,不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将 x=3代入原方程，得：(3m) 2-2 (3-m) =0,解得：mi=3, m2=1.m的值为3或1.11.已知关于x的一元二次方程x2-x+a- 1=0.(1)当a=
7、-11时，解这个方程；(2)若这个方程有两个实数根x1，x2,求a的取值范围；(3)若方程两个实数根 刈，x2满足2+x1 (1-x) 2+x2 (1-x2)=9,求a的 化【解答】解：(1)把a=11代入方程，得x2 x12=0,(x+3) (x-4) =0,x+3=0 或 x- 4=0,x1 = - 3, x2=4;(2)二.方程有两个实数根X,立，.0,即(-1)2-4X1X (a-1) 0,解得 m|；(3) ; X,町是方程的两个实数根，x Jr ， x/-工工+&-1=0,.2 二-2.冗1一1-51. 叼工广&一.2+x1 (1x1) 2+x2 (1x2)=9,2+工-盯J 2+
8、工工 r/=9,于巴 一为一 1. 货2一工2一0一】代入，得：2+a 1 2+a- 1=9,即(1+a) 2=9,解得a=-4, a=2 (舍去)，所以a的值为-412.已知xi, X2是关于x的一元二次方程4kx2 - 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2xi-龙)(xi - 2x2)=-|成立？若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由；(2)求使9+ 卫-2的值为整数的实数k的整数值；万S1(3)若k=- 2,入红，试求人的化【解答】解：(1) . xi x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，x1 +x2=1 , x1x2=,4k(2x1 -
9、 x2)(x1 - 2x2)=2x2- 4xx2 - xx2+2x22=2(x1+x2)2 - 9x1x2=2X 12 - 9X.ti=24k_ 9(k+l)4k 若2-嘤1=-V成立，41r2解上述方程得，k=|,. =16k2-4X4k (k+1) =-16k0,. k 0, . k旦矛盾，不存在这样k的值;I 2.21/2, Q I I /. 2, I(2)原式=-2=-2=- - 4=-X 叼工i叼宜工24初，.*+1=1或1,或 2,或-2,或 4,或-4解得 k=0或-2, 1, -3, 3, - 5.V k0(2) ;关于X的方程(k+1) x2 - 2 (k-1) x+k=0有
10、两个实数根x1，X2.X1X2 二 k+1Xl+X2=r_! , , X1 +X2k+1X1+x2=X1X2+2,即 呼？)= 2 +2,k+1k+1解得：k=- 4,经检验，k=- 4是原分式方程的解,二 k=- 4.14.已知关于X的方程X2 2 (m+1) x+m2- 3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设X1、X2是方程的两根，且X12+X22=22+X1X2,求实数m的值.【解答】解：(1) = 2 (m+1) 24 (m2-3) =8m+16,当方程有两个不相等的实数根时，则有 0,即8m+160,解得m-2;(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系，得 x
11、i+x2=2 (m+1), xiX2=m2-3,Xi2+X22=22+XlX2= (Xl+X2)2 - 2XiX2,2 (m+1) -2 (m2-3) =6+ (m2-3),化简，得m2+8m-9=0,解得m=1或m=-9 (不合题意，舍去)，实数m的值为1 .15.已知关于X的一元二次方程X2 - 2X+m - 1=0有两个实数根X1、X2. (1)求m的取值范围；(2)若 X12+X22=6X1X2,求 m 的值.【解答】解：(1)二.方程有两个实数根，0,即(-2) 2-4 (m- 1) 0,解得m2;(2)由根与系数的关系可得X1+x2=2, X1X2=m - 1,X12+X22=6X1X2,(X1+X2)2 - 2X1X2=6X1X2,即(X1+X2)2=8X1X2,.4=8 (m-1),解得 m=1.5.