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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）74.94.15有趣的图形3 P36-41表三：（根在区间上
2、的分布）2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。3. 圆的对称性:得出的结论若a0，则当x时，y随x的增大而减小。最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。或（1) 与圆相关的概念：大致图象（）4.二次函数的应用： 几何方面(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；得出的结论
3、或综合结论（不讨论）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围
4、。分析：由即得出；由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或根的分布练习题例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。解：由 即 ，从而得即为所求的范围。例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。解：由 或即为所求的范围。例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。解：由 即 即为所求的范围。例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）2、
5、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。解：对称轴，故函数在区间上单调。（1）当时，函
6、数在区间上是增函数，故 ；（2）当时，函数在区间上是减函数，故 例2、求函数的最小值。解：对称轴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，； （2）当时，。 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？ 解：（1）当时，；（2）当时， ，；（3）当时，；（4）当时， ，。 例3、求函数在区间上的最小值。解：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，例4、讨论函数的最小值。解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，当，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当时，； （2）当时，； （3）当时，