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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。 射影定理一、射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , (3)(AC)2;=CDBC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)目录直角三角形射影定理的证明 任意三角形射影定理射影 所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：
2、直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项 公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BDDC， （2）（AB）²=BDBC ， （3）（AC）²=CDBC 。 等积式 （）ABXAC=BCXAD(可用“面积法”来证明） 直角三角形射影定理的证明证明： 射影定理简图(几何画板)一、 在 BA
3、D与BCD中，A+C=90，DBC+C=90，A=DBC， 又BDA=BDC=90， BADCBD， AD/BDBD/CD，即BD2;=ADDC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明) 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 有射影定理如下： AB2;=ADAC，BC2;=CDCA 。 两式相加得： AB2;+BC2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=AC2;, 即AB2;+BC2;=AC2;（勾股定理结论）。 二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股证射影 :因为AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 所以2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD
4、2=(BD+CD)2-(BD2+CD2)=2BD*CD. 故AD2=BD*CD. 运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC2=CD2+AD2=CD2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 abcosCccosB， bccosAacosC， cacosBbcosA。 注：以“abcosCccosB”为例，b、c在a上的射影分别为bcosC、ccosB
5、，故名射影定理。 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=ccosB，CD=bcosC，a=BD+CD=bcosCccosB. 同理可证其余。 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=acosBbcosA. 同理可证其它的。 二、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边
6、上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： 1.（AD）2=BDDC， 2.（AB）2=BDBC， 3.（AC）2=CDBC 。 这主要是由相似三角形来推出的，例如，“（AD）2=BDDC：”的证明如下： 在 BAD与ACD中，B=DAC，BDA=ADC=90，BADACD相似， 所以 AD/BDCD/AD， 所以（AD）2=BDDC。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得 （AB）2+（AC）2=（BC）2，这就是勾股定理的结论。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边
7、上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , (3)(AC)2;=CDBC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)射影 所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在
8、斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中 公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）=BDDC， （2）（AB）=BDBC ， （3）（AC）=CDBC 。 等积式 （4）ABXAC=BCXAD(可用面积来证明） 欧拉公式（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d2=R2-2Rr 余弦定理4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识网络1三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=s
9、in, sin=cos（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA2正弦定理：证明：由三角形面积得画出三角形的外接圆及直径易得：3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图ABC中，当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题4利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）
10、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；absinA时无解。5利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力提炼总结以为师1掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；2利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；
11、3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4边角互化是解三角形的重要手段海伦公式海伦公式初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：海伦公式：三角形的面积其中：、 分别是三角形的三边长，证明（1）：由余弦定理可知： ，由此得出由 可得： ， ， ， ，因此：由三角形面积公式 即得 上述证明用到了三角函数 、，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。CABT图1TBAC图2是 的 边上的高，点 为垂足。记 ，（见上图）。证明（2）：若 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有由
12、（1）式得出 ，带入（2）式 ： 。展开，即得 ，由此式解得 ，类似于证明（1），得出 ，由于三角形面积 ，由上式即得 。若 是钝角三角形（图2），不失一般性，设 ，则由勾股定理有类似于 是锐角三角形的情况，可得 ，因而亦得 。若 是直角三角形（图2），不失一般性，设 ，由勾股定理有 。故，此时仍有 。关于海伦公式（Herons formula或Heros formula）的历史海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的Metrica中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于Metric
13、a是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作亚历山大里亚的海伦（希腊语： ）（公元10年70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作数书九章卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上
14、；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，开平方得积。”若以大斜记为 ，中斜记为 ，小斜记为 ，秦九韶的方法即相当于海伦公式。 西摩松定理 西摩松（R.Simson,1687年1768年）英国数学家，作为希腊数学的信徒，曾于1756年校订了欧几里德的几何原本。西摩松定理从ABC的外接圆上任意一点P,向三边BC，CA，AB或它们的延长线引垂线，设垂足分别为D，E，F，则D，E，F三点在同一条直线上。这条直线叫做ABC的西摩松线。 史坦纳定理史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中点M。史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边B
15、C、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线。 斯图尔特定理又名阿波罗尼奥斯定理 即广义勾股定理。即“三角形的两边平方和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍”求证过程：过B点作CA的平行线BE,与CD的延长线交于E点.可证ACDBED,CD=DE,AC=BE,ACD=E.设AB=c,BC=a,AC=b, CD=m.在ACD和BEC中由余弦定理得(c/2)2=b2+m2-2bmcosEa2=b2+(2m)2-2b(2m)cosE消去cosE化简得:a2+b2=2m2+(1/2)c2即 (BC)2+(AC)2=2(CD)2+(A
16、D)2 得证 库立奇大上定理库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任意三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆定理证明过圆周上四点中任意三点作三角形，这四个三角形的外心即为该圆的圆心，由九点圆的性质可知：九点圆的圆心到外心的距离等于垂心到外心距离的一半，所以这四个三角形的九点圆圆心所构成的图形与四个三角形垂心所构成的图形位似，所以只要证明四个三角形垂心共圆，即可证明四个三角形的九点圆圆心共圆如图，四边形ABCD是圆内接四边形，O1,O2,O3,O4分别是ABC,BCD,CDA,DAB的九点圆圆心，H1,H2
17、,H3,H4分别是ABC,BCD,CDA,DAB的垂心，E为DB边上A的投影，显然AE过H4点，容易证明DH4E和ABE相似，所以有同理有fracCH_1 AB = cos angle ACB = cos angle ADB所以CH1和DH4平行（垂直于同一条边）且相等，所以四边形CH1H4D是平行四边形，所以H1H4和CD平行且相等，同理可以证明：H1H2和AD平行且相等H2H3和AB平行且相等H3H4和BC平行且相等所以四边形ABCD与四边形好H1H2H3H4对应边相等，对应角相等，即两个图形全等，所以H1,H2,H3,H4四点共圆 爱尔可斯定理1.爱尔可斯定理1：若ABC和DEF都是正三
18、角形，则由线段AD、BE、CF的中点构成的三角形也是正三角形。2.爱尔可斯定理2：若A1B1C1、A2B2C2、A3B3C3都是正三角形，则由三角形A1A2A3、B1B2B3、C1C2C3的重心G1、G2、G3构成的三角形是正三角形。 中线定理中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。即，对任意三角形ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI2或作AB2+AC2=1/2BC2+2AI2 波朗杰，腾下定理波朗杰、
19、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线
20、交于一点波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点。 柯西不等式(a2+b2)(c2 + d2)(ac+bd)2等号成立条件：ad=bc (a/c=b/d)扩展：(a12)+(a22)+(a32)+.+(an2)(b12)+(b22)+(b32)+.(bn2)(a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn)2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,n)15 / 15