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1、7.3.2矩阵的QR分解1 定理7.3.1设矩阵A 丁，旦非奇异，则一定存在正交矩 阵Q,上三角矩阵上使(7.3.2)A = QRL当要求R的主对角元素均为正数时，则分解式(732)是唯的。证明 存在性 有矩阵A的非奇异性及Householder变换矩 阵的性质(3)知，一定可构造一 1个矩阵：1,2，.一，,1使Ak =HkAk (% = 1,2，- 1)()1nn因此有即有A = QR其中， =冉2”,1为正交矩阵。唯一性假设矩阵人有两种正交三角分解，即a=qr=q2r2其中，Q1,Q为正交矩阵，氏2为上三角矩阵，且主对角元素均为正数。于是有AqM = &rT=d这里，。必是既为正交矩阵又
2、是上三角矩阵，故 D = diag(J1,2,- Jn)且d： =1。= 1，2,/)，因此,%=DR2 ,由于/?1,此 对角元均为正数，故4=1。= 1，2,川，即有 D = 1,& = ，Qi =。2。例7.3.2设矩阵-1 -1-4 5试作矩阵4 =。/?分解。解为直观起见，下面给出“矩阵形式。(1)求 H1,作& =/ o1 5 =sign(a)(a,；)2 =3;r=i2 1 6/1 +(714, 22, tt (4,2,2);3 p、= crxu =3x4 = 12;r-i -2 -2H, =/一夕/丁 =- -2 2 -1-3-33-3 3= HA = 0 0 0 -3求作&
3、= /A, =R 一。441= sign?)(之旅) = 3 (约定sign(O) = 1);/=22 u. =(X =a；：)+b, =3,？ =a；? = 3,” = (0,3,-3);-3-3 =/?3-1-2-22 - 1 2 32 21Q = h、h?由矩阵乘法可宜.接验证A = QR。& 7.3.3 QR算法设A = (%) Rn H , QR算法是对A进行一系列的 正交相似变换，达到求出矩阵A的全部特征值和相应的 特征向量。算法如下：分解：4 =QkRk构造：Am = Q：AkQk = RkQNk = T2,3,)这里Qk为正交矩阵，Rk为上三角矩阵，旦当Rk主对角 元均为正数时
4、，则上述正交三角分解唯一。例7.3.3设矩阵2 1 0A= 1 2 10 1 4试用QR算法(733)求它的特征值。解令并对4作QR分解得-2.236068 -0.447214-2.449490-2.44949003.286335-0.894427 0.408248 0.182574 -V50-0.408248 0.912871 J 0-0.447214 -0.816497 -0.3651480=2圈于是3.0000 1.0954 0& 二&01= 1.0954 3.0000 -1.34160-1.3416 3.00009理作& = &q, 乂白3.7059 0.9558 0A =勺。2 =
5、9558 3.5214 0.9738O 0.9738 1.7727如此卜.去，可得4.7233 0.1299 0= R,Qg = 0.1299 3.0087 0.004800.0048 1.26804.7282 0.07810Ao = ioCio = 0.078 I 3.0035 -0.0020O 0.00481.2680从A。可以看出，已近似接近对角矩阵，即有特征值4 x 4.7282,% x 3.0035,4 2 1 2680,与矩阵a的三个精确解4 =3+ 8 土 4.7321,=3,丸3 = 3 - V3 1.2679相比，已有良好精确度。随着迭代次数增加，将收敛到矩阵 A的三个精确特
6、征值。定义7.3.2设矩阵A = (%)x，如果对+ 均有,则称矩阵A为上Hessenberg矩阵，即a a2 a3 an(7.3.4)212223 一2A =a32 %3 a3n ann-ann如果4M尸0(i = l,2,，-1),则称矩阵A为不可约上、1.约化矩阵A为上H essen berg矩阵定义7.3.2设矩阵4 = (%)W，如果对i/ + l ,均有，则称矩阵A为上Hessenberg矩阵，即 11 42 %3 %” 一(7.3.4)a2 a22 a23 , ,。2A =。32 %3 %” 如果q.+打工0(，= 1,2,，- 1),则称矩阵A为不可约上Hessenberg 阵
7、。1）构造初等反射矩阵 =1一正”；使&C r /=sign（4+/）（ Z晨）2；i=+l2。可|刈4屈皿11做以+1=4川 +bk；u j = cijk；(j = k + 2,n);夕人=%； = f ；2）约化计算即计算Ik oA /AHk，Hk= ： 口L Kk人四期&以期及匕=2,徇/式，=攵+1，D； i=&+laij = aij 4/ J =左 + L ,）；吗=a.产 j pN = ,2,n）； j=k+ =4/一吗/（，,/ =左 + 1,）;输出：4（，,） = 1,2,，九），结束。说明 上述算法对矩阵/为实对称矩阵约 化为三对角矩阵也实用，如希望减少一 些工作量，则右变
8、换只做A22Rk-A22， 即计算卬=即可。例73.4设矩阵5122-2 6 -13A =13 4-12-4 -2 6试用初等反射矩阵作正交相似变换，约化为上Hessenberg 矩阵。构造初等反射矩阵K = /一夕/，小I使Rg = 一，6。4111)%=sign(%)(,；)2 =(-1)(-2)2+12+22)2 =-3o/=22) w2 = a2l + b = 2 3 = 5 , u = (5J,2)7 op、= (-3) x (-5) = 15o3)115-10 55 1410 -210-2，KG =11(2)约化计算A -即A?A22)1）左变换：用4）-10 5A“一用A”5 1
9、4151() -22）右变换:301055-40435-3351 192-7063025-1 198-10510420-5955691258514-210-2114 /Hi =53001.33333335.1 1 1 1 1 1 1 1-2.822222223.022222221.93333333-1.488888895.29777778-3.137777781.9666666726444444/2.528888825.951 11111构造 R2 = I _使 R2c2 = -(T2e241) (t2 = sign (%2 )(；)2 =-4.13506534：Z=32)% =。32 +%=
10、-6.8572875二U = (-6.957287573.02222222p2 28.7688387：约化计算AA“ 凡 4,-0.6825097020.730876531T 5.29777778 2.5288888 0.7308765320.682509702 -3.13777778 5.9511111 -5.9091128732.360420692）右变换:412A22R.1.73045767 5.6642931212 a22A 2422r21.93333333 1.96666667-1.48888889 -2.64444444r-0.6825097020.73087653j-5.9091
11、 128732.36042069：0.7308765320.6825097021.730457675.664293 12f0.044754102.68704604-0.91658127-2.893052945.758202959-2.707821892.958844785.130685918最后仃1.333333333 0.044784103 2.68704607AH2AH2 =5.1 1 1 1 1 1 1 1 1-0.91658127 -2.893052844.135065348 5.758202959-2.707821 8952.958844785.1306859182.上Hessenb
12、erg矩阵的单步QR算法设1： Hessenberg矩阵形如式(7.3.4),即采用Jacobi旋转变换对A作QR分解。另p=I,q=i+l,用+左乘 A,即A -+ l,q）A（z = 1,2,4 -1） （7.3.5），（i, ,%）/（2,（】2a）A=m即A =其中 e, =/（1,2,4）./丁（一1,，7）于是令 4 = 12 ，- 1）则4 A, = A,即A4-Rjr(i,i+l，a)(i = l,2,.,-l)(7.3.7) 上述过程反复若干次，直到收敛为止。为加速收敛，常采用平移方法。设第k次迭代平移量为小 则QR算法为:分解：Ak = QR构造：A+I = aAk0k =
13、 RkQk+ Nj平移量H选取应满足14 一从n 4 一心4 _/ i这时收敛速度依赖户因子C = maxr：法7.3.2I： Hessenberg矩阵带平移量的单步QR算法。(1)输入：% (，, ./ = 1,2,),(当，/+lH寸,=。)；计算：同6=愣修小=1； - J=1(3)氏=%；(4)分解：Ak - 4/ = QkRk1) =/一/(i = 12，);2)对，=12，做2对J =+ 做5)构造An=&Q+411)对，=1,2,九一1, 1 = 1,2,，+ 1做(aM+l) = (a,a+l)2) % = au + 4 (i = 1,2, ,); if a -1 2 then
14、返回else输出an ,停止计算。例7.3.5试用带平移量的单步QR算法，计算-1 2 0-A= 2 -1 10 1 3的全部特征值。解 = 1 ,取4=%3 = 3 ,则-2 2Ai = Aj nJ =2 -40 1（1）确定J（l,2，d）,并计算，（L2，a）A荷+公=2/* = -等卢=V= t（2）确定，（2,3，a），计算入2,3,。2），（1，2,4）4/22 G %23“v = 7 a2? + a32 = V 3, c2 = = ,力=)V100)在叵33、6 y/6331 0 047(2,3, 2)= 0=052 C2-T 一3叵，(2,3,2)/(1,2,名)4 =0 V3
15、V2、V33V66(3)构造A? = RQ +4/，即& =为万(1,2,4)厂(23%) + 4/ =k = 2、取2 =33 =与，则-J一 5.333333 Ai =A2-jli2I= 1.224745-220R5J2236oV210631.004745 0-1.666667 0.2357020.235702 00Ik-2.350651 0.306780 04 =0.306780 1.978400 0.00679300.006793 3.37224,k=3,取14 =%3 =3.37224& 同理可算得01.65xl(y73.372282-2.371043 0.0736264 =0.07
16、3626 1.99875801.65x10-7由于42| = 1-65*10-7 4|/i,故取4 右 3.372282。对&进行收缩，即划去第三行，第三列得-2.371043 0.073626A4 = 0.073626 1.998758取=。44 =1998758 贝ij- F-4.369801 0.0736260.073626 0Aa = Aa JLlj =同上方式计算可得-2.372283-0.000021-0.0000211.999999由人可知，已足够小，故可取4 =19999994 =-2.372282 与本题粘确解Z =-(1 + 733)33722813224二24 = g(l
17、 一而)=一2.3722813：相比，带平:移的QR算法以较快的敛速达到满意精度。& *3.上Hessenberg矩阵双步QR算法单步带平移的QR算法，当出现复平移时，整个QR 算法将在复数域内进行，为了避免复分解运算，我们按以下 三步完成。(1 ) 计算 M=A2-sA+tI(2) 作分解M=QR(3)令 A2=QrAQ由于上述工作隐藏了双步QR分解，而在实数域内进 行，因此，又称双步隐式QR变换。定理7.3.2 设Q,U均是正交矩阵，且AQ=AyUTAU = A2 ,而Al9A2均为不可约上Hessenberg矩阵，如果Q与。第一列相同，则4与4 ”本 质与相同，即 4 =ZrQ,其中。= diag(l,l,1)。根据定理7.3.1我们将双步隐式QR算法改进如下:计算M的第一列Me1(2)确定 Householder 矩阵 H(),使= -crlelAlQel(3)确定 Householder 矩阵 H, ,H2，将矩阵 HoAH。约化为上Hessenberg矩阵，即-T若记Q =上式即为Q AQ