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1、第2104讲根式方程（组）的解法一、知识和方法要点如果方程（组）含有根式，且根号内含有未知数，则称这样的方程（组）为根式方程（组）或称这样的 方程（组）为无理方程（组）。根式方程（组）有着广泛的实际应用，例如，在用代数法解直角（斜）三角形时，所列出的方程（组） 就可能是根式方程（组）。解根式方程（组）的基本思想是通过去根号将其转化为整式方程来解。化根式方程（组）为整式方程的基本方法1）平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；2）配方法：采用配方的手段，或利用非负数性质或将配方的底数整体解出去；3）共轲根式法：利用共轲根式的性质，去掉根号；4）换元法：用新变元整体代替根式，去掉根号；5）不
2、等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的实数，从而确定方程的解。在解根式方程（组）时，由于要去掉根号，将方程的两边平方，这样，使解出的解是另一个方程的解 （方 程f2（x） g2（x）的解可能是方程f （x） g（x）的解，也可能是方程 f（x） g（x）的解），故有可能产生不 适合原方程的根，这样的根称为根式方程（组）的增根。在解根式方程（组）时的注意事项1）在将根式方程（组）转化为整式方程时，为减少不必要的计算，应根据原根式方程（组）的特点， 采用相应的化简方法和技巧；2）解根式方程（组）时，验根是必不可少的步骤；3）解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。二、典型题例选讲例
3、1设a, b是有理数，且满足等式 a b点 而 Ji14 24,则a b的值是（）。A. 2B. 4C. 6D. 8（2006年全国初中数学联赛第一试试题；根式方程；有理数和无理数性质）【分析】 题中的条件a, b是有理数建议我们利用有理数和无理数的性质解题。首先应将右边的复合二次根 式进行化简。【解答】选B。因为a b石金d力4 2石 66# （1 M） 由2 6 3石，由实数性质得a 3, b 1。所以，a b 4。【评注】 利用有理数和无理数的性质解题。例2 解方程：用x1 jx4 1。（解根式方程；平方法）【分析】 这是一个关于x的根式方程。通常的方法是：通过将方程的两边平方的手段，去
4、掉根号，把方程变 成整式方程来解。【解答】移项J3x 1 1 *x 4 ,两边平方得3x 1 x 5 2& 4 ,整理得x 2 Vx4 ,再两边平方得x2 4x 4 x 4 ,即x（x 5） 0,解之得x 0或x 5。经检验x 0是增根，x 5是原方程的根。所以，原方程的解为x 5。【评注】 解分式方程（组）时，验根是必不可少的步骤。【分析】题。【解答】（解根式方程；配方法）x, y, z,故可考虑采用配方法进行解例3 设实数 x, y, z满足 x y z 4(JX5 yy4-3)，求 x, y, z 的值。将条件式看成根式方程，由于要从一个方程解出三个未知数配方得(x5 2)2 (.尸 2
5、)2 (：3 2)20,故解得经检验,【评注】x- 2 0,.尸 2 0,29, y 8, z 7。0,x 9, y 8, z 7是原方程的解。与有理方程类似，可通过配方法解多个未知数方程。例4求所有的实数x ,使得x；x 1 J 1。（解根式方程；平方法，配方法）【分析】 本题要求解一个关于 x的根式方程，如果通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，方程将变得复 杂，第二步采用配方，简化运算。【解答】移项x xFl两边平方得2x x x 1整理得两边除以x,得x2 x 1 2xjx 0 ,11x 2” 一 1 0 , xx配方得1)2 0,两边乘以x,得解之得xx 1 0 ,15o2注意到x
6、0 ,所以x 5215经检验，x J是原方程的解。2【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例 5 解方程：%/x jx2 2/x22x4 2x。（解根式方程；配方法，分解因式法）【分析】 观察到Q xT2 Jx2 2x ,首先考虑将方程移项后进行配方，然后再分解因式使方程得到化简， 最后按常规解法，两边平方去掉根号化为整式方程来解。【解答】将方程化为第一个括号配方得分解因式得于是(x 2&_2x x 2) (vx Jx 2) 6 0 ,(QJx2)2 (&Jx2)60 ,由Jx2 3)(VxJx22)0,Vx Jx 2 2 0。两边平方后，解得1经检验，x -是原方程的根。移项 (x 5
7、) 4Vx 4 (y 4) 4;4 4 (z 3) 4jF 4 0,【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例 6 解方程：9x2 7x 18 vx 80。（解根式方程；配方法，分解因式）【分析】这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】将方程变形两边配方得于是29x 6x 1x 18，x 81 ,1）由前一个方程得分解因式得于是解之得2）由后一个方程得 此方程无解。经检验，x 4都是原方程的根。【评注】 解答中第一次两边配方,(3x 1)2(7x 9)2,3x 1 7x 9 或(3x 1)亦 9。3( Vx)2 T
8、x 10 0 ,(7x 2)(3 7x 5) 0 ,20,3x例7解方程：x 7x 3 2精彩。5【分析】因为x 7 （x 3） 又因为（x 3. x 4）（ . x 3【解答】将方程变形为4(VT)2 22 , x5 (x 4) 1 ( . x 4)2jx4） 1 ,据此可较简单地解出方程的根。(F)2 22.x3 2()2 12VW ，即因为（.r-4）（xJx 4) 1 ,故得 x-（1）、（2）两式相减得即两边平方得解之得经检验，x 13是原方程的根。x 42 x4,x 4 x 4厢3 ,6,3,9,x 13。（解根式方程；共轲根式法）12 ,可将方程的分母简单地去掉。(1)32【评注
9、】解答中利用共轲根式的性质简化了运算。例 8 解方程：2x2 15x V2x215x1998【分析】这是一个关于x的根式方程。（解根式方程；换元法）观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 令2x2 15x 1998 y, y分解因式 解之得 于是 即分解因式得0,则原方程变为2y y 1980 0 ,(y 45)(y 44) 0,y 45 或 y 442x22x2 (x15x 1998 ! 15x 27 9)(2x 3)(舍去)，2025 ,0 , 0,解之得3经检验，x 9, x -都是原方程的根。2【评注】 当解出y后，就考虑将小于零的
10、y舍去，减少计算量。例9解方程：3/2 x 1 xx1 o(解根式方程；换元法)【分析】 这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关 联性，采用换元法解题。【解答】令Jx 1 y, y 0 ,则2x y 1 ,代入原方程得3/1，1 y,两边立方得1 y2 (1 y)3,即(1 y)(1 y) (1 y)3,于是y 1或 1 y (1 y)2,第二个方程即y2 3y 0,解之得y 。或y 3。还原得x 2, x 1或x 10。经检验，x 2, x 1, x 10都是原方程的根。【评注】 当解出y后，就考虑将小于零的 y舍去，减少计算量。例10解方程：
11、运2返2 325G。2 x(解根式方程；换元法)【分析】 这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关 联性，采用换元法解题。【解答】左边通分得(x 2)5x 2 325/x,2x即口号)6 64，工日x 2. x 2于是32或32 ,xx解之得x2或x313322经检验，x x都是原方程的根。3133【评注】 解答中方程两边开 6次方，应得，土二 2。例11解方程：x2 22 V2 2x 。(解根式方程；不等式排除法)【分析】 观察得此方程的根必为正数,且x 2是它的一个根，如果能够说明任意 x 0, x 2的实数x必不是此方程的根，即可确定原方程只
12、有一个实根x 2。【解答】易知此方程的根必为正数，且 x 2是它的一个根。 2 1)如果 x 2,贝U x 2x x x 2 x,即x 2 x ,于是xJ2xV2近 xq242& xJ2J2五72,表明x不是方程的根。22)如果 0 x 2,贝U x 2x x x 2 x,即于是x、2N）2或 x12J22422下 气,表明x不是方程的根。综上所述，方程只有一个根 x 2。【评注】 这种间接解方程的方法值得注意。例12解关于x的方程4ax 俄一x【分析】 将原方程两边平方，并化简得 解代入方程验证，才能得到正确的解答。【解答】 将原方程两边平方，并化简得 由此得解之得4b2x。J0xjbx 0
13、 ,由此得 x a 或 x（含字母系数根式方程，讨论）b,但必须注意下一步应该将此1）当x a时，b a 0,即只有2）当x b时，a b 0,即只有 所以，当a b时，方程的解为xb a时x a才是方程的解;a b时x b才是方程的解。 b,当a b时，方程的解为【评注】 解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。例13解方程组：疗了3xy x y 3【分析】 这是一个关于x的根式方程组。观察方程组的特点，采用换元法解题，令（解根式方程组，换元法）u, . yl v,将方程组变为整式方程。【解答】令JT7 u0, Jy 1 v 0,不妨设u v,则原方程组变为因为（u v）2(u
14、 v)2 4uv 9 8 1 ,故解方程组u v 3uv 2u v 1。u v 3u v 1解之得x 3_x 3 x 0经检验，x 是原方程的根。所以，原方程组的解为x 或x 0y 0y 0 y 3【评注】 先作有序界定，再将解得的解轮换，得到全部解。例14解方程组（解根式方程组，消元法）【分析】观察方程的右边的特点，由于（A）2 （Jxy）2y可以消去 x,故将两方程相乘，消去 x得。3 y出一yy ,由此先解出y。【解答】得: 两边平方得 解之得s/3 yiy y,3 4y 0,x 1。代入得 两边平方得 解之得经经验，y3是原方程组的解。【评注】解根式方程组的基本思想还是消元。三、同步练
15、习题1 .设正整数a, m, n满足g2 4a 而而，求a, m, n的值。（解根式方程；有理数和无理数性质）2 .解方程：x 3 2X3 1 Jx 3 4Vx4 5。（解根式方程；平方法）3 . 解方程：、沃1 Jx 1 1。（解根式方程；平方法）后、工口 x21:/x21x21x2124 .解方程：2： 21 21 24五。x1x1x1x1（解根式方程；配方法，平方法）5. 解方程： 瓜一1 无一1 1。（解根式方程；平方法）xy 96. 解方程组：工工4。x y 3（解根式方程组，换元法）11x 3y 07. 设x, v, z是正整数，满足， ，求x y z的值。x y z x y z 3 15（解根式方程；换元法）