《最新[试题]高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]+1优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新[试题]高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]+1优秀名师资料.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、试题高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结1 (1)圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义: 2a第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，122a且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无FFFFFF121212122a2a轨迹;双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，12122a2a定义中的“绝对值”与,|FF|不可忽视。若,|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射1212122a线，若，|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。12 2222如方程表示的曲线是_(答:双曲线
2、的左支)(6)(6)8xyxy,，,，, 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): 2222yxxyab,0ab,0，(1)椭圆:焦点在轴上时()，焦点在轴上时,1()。，,1yx2222abab22方程表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?0，且A，B，C同号，A?B)。AxByC，, 2222 若，且，则的最大值是_，的最小值是_(答:)x，yx,y,Rx，y5,23x，2y,6 2222xyyx,(2)双曲线:焦点在轴上: =1，焦点在轴上:,1()。方程yxab,0,02222abab22表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?0，且A，
3、B异号)。 AxByC，,O如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，e,2FFP(4,10)1222则C的方程为_(答:) xy,622(3)抛物线:开口向右时，开口向左时，开口向上时ypxp,2(0)ypxp,2(0)22，开口向下时。 xpyp,2(0)xpyp,2(0)3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断): 22(1)椭圆:由,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 x22xy，,1如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_(答:m,12,m3(,1):(1,) 222y(2)双曲线:由x,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上
4、; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 222222abc,，cab,，ac提醒:在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。 4.圆锥曲线的几何性质: 22xyab,0，,1(1)椭圆(以()为例):?范围:;?焦点:两,axabyb,22ab个焦点;?对称性:两条对称轴，一个对称中心(0,0)，四个顶点，(,0),cxy,0,0(,0),(0,),ab2acb01,ee,a其中长轴长为2x,，短轴长为2;?准线:两条准线; ?离心率:，椭圆，,acee越小，椭圆越圆;越大，椭圆越扁。 2225xy10如(1)若椭圆的离心率，则的值是_(答:3或);m，,1e,35m5
5、 (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_(答:) 2222xyxa,(2)双曲线(以()为例):?范围:或;?焦点:,1ab,0,0xayR,22ab两个焦点;?对称性:两条对称轴，一个对称中心(0,0)，两个顶点，其(,0),cxy,0,0(,0),ab中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为a2ac22e,1;?准线:两条准线; ?离心率:，双曲线，等轴双曲线e,x,xykk,0,acb，越小，开口越小，越大，开口越大;?两条渐近线:。e,2yx,ee,a p2(3)抛物线(以为例):?范围:;?
6、焦点:一个焦点，其中(,0)pxyR,0,ypxp,2(0)2的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点(0,0);y,0cpe,1?准线:一条准线; ?离心率:e,，抛物线。 x,a212如设，则抛物线的焦点坐标为_(答:);a,0,a,Ry,4ax(0,)16a 2222xyxy00ab,05、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外，,1;，,1Pxy(,)Pxy(,),00002222abab2222xyxy0000，(2)点在椭圆上,1;(3)点在椭圆内，,1Pxy(,)Pxy(,),00002222abab 6(直线与圆锥曲线的位置关系: ,0,0
7、(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一,0,0定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与,0双曲线相交的充分条件，但不是必要条件;直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定,0,0有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 ,0,0,0(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相,切; ,0,0,0(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相,离。 提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相
8、切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线22xy,Pxy(,)与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线,1外一点的直线与双曲线只有一个0022ab公共点的情况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?P在两条渐近线上但非原点，只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线
9、和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 ,27、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题: ，Sbcy,tan|022b当即为短轴端点时，的最大值为bc;对于双曲线。 如 (1)短轴长为，P5S,|yb,Smax0,tan2 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，1111反之，若过B点平行于x轴的直线
10、交准线于C点，则A，O，C三点共线。 9、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则ABxx,ykxb,，12121，,kxx,，若分别为A、B的纵坐标，则,，若弦AB所在直线AB1，y,yyy,1212122k21，,kyy方程设为，则,。特别地，焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计ABxkyb,，12算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线: 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 222bxxy0在椭圆，,1中，以为中点的弦所在直线的斜率k=,; Pxy(,)00222ab
11、ay0弦所在直线的方程: 垂直平分线的方程: 222bxxy0,1在双曲线Pxy(,)中，以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线00222abay0p2Pxy(,)中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。 ypxp,2(0)00y0,0提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别,0忘了检验 11(了解下列结论 2222yyxx(1)双曲线的渐近线方程为; ,1,02222abab2222byyxx(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为y,x,1,(,2222aabab,参数，?0)。 22(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程
12、可设为;mxny，,1 22b(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距a2b离)为，抛物线的通径为，焦准距为; p2pc(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; 2(6)若抛物线的焦点弦为AB，则?;AxyBxy(,),(,)|ABxxp,，ypxp,2(0)1122122p2? xxyyp,121242(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点ypxp,2(0)(2,0)p12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ,(1) 给出直线的方向向量或; ，u,1,ku,m,nABAB与相交,等于已知过的中点;
13、(2)给出OA，OBOA，OB,MNP(3)给出,等于已知是的中点; PM，PN,0AB(4)给出,等于已知与的中点三点共线; P,Q，AP，AQ,BP，BQ,(5) 给出以下情形之一:?;?存在实数;?若存在实数AB/AC,使ABAC,等于已知三点共线. A,B,C,1,且使，,，OCOAOB，AMBMA,MB(6) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已MA,MB,0MA,MB,m,0，AMB，AMB知是钝角, 给出,等于已知是锐角, MA,MB,m,0,MAMBMP，AMB(8)给出,等于已知是的平分线/ ,，,MP,MAMB,ABCDABCD(9)在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
14、(AB，AD),(AB,AD),0 ,ABCDABCD(10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;|ABADABAD，, 222,ABCO,ABC(11)在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆OA,OB,OC心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); ,ABCO,ABCOA，OB，OC,0(12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); ,ABCO,ABC(13)在OA,OB,OB,OC,OC,OA中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); ,ABAC，,ABC,ABC,()，OP,OA，(14)在中，给出等于已知AP通过的
15、内(,R),|ABAC心; O(15)在,ABC中，给出等于已知是,ABC的内心(三角形内切a,OA，b,OB，c,OC,0,圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);,1BC (16) 在,ABC中，给出,等于已知是,ABC中边的中线; ADADABAC,，2,2(3)已知A,B为抛物线x=2py(p0)上异于原点的两点，点C坐标为(0，2p)OAOB,0 (1)求证:A,B,C三点共线; ,R(2)若,()且试求点M的轨迹方程。 OMAB,0,BMAM22,xx12(1)证明:设，由得 OAOB,0AxBx(,),(,)1222pp22222,xxxxx,212112，又xxxx
16、p，,？,0,4？ACxpABxx,(,2),(,)121121222pp22pp 222,xxx,211，即A,B,C三点共线。？ACAB/？,xpxx(2)()012122pp ,R,(2)由(1)知直线AB过定点C，又由及,()知OM,AB，垂OMAB,0,BMAM222足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x+(y-p)=p(x,0，y,0)。 13.圆锥曲线中线段的最值问题: 2例1、(1)抛物线C:y=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ 2 (2)抛物线C: y=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最
17、小,则点Q的坐标为 。AQPH,PF分析:(1)A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，HBP当A、P、F三点共线时，距离和最小。 F(2)B在抛物线内，如图，作QR?l交于R，则当B、Q、R三点共线1,12时，距离和最小。 解:(1)(2，)(2)() 42x2，y,11、已知椭圆C的方程为，双曲线C的左、右焦点分别为C的左、右顶点，而C的左、右12124顶点分别是C的左、右焦点。 1(1) 求双曲线C的方程; 2(2) 若直线l:与椭圆C及双曲线C恒有两个不同的交点，且l与C的两个交点Ay,kx，2122OA,OB,6和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。 22xy22222解:(
18、?)设双曲线C的方程为，则2a,4,1,3,再由a，b,c得b,1.,122ab22xx2222故C的方程为(II)将,y1.y,kx，2代入，y,1得(1，4k)x，82kx，4,0.234由直线与椭圆C恒有两个不同的交点得 l1122222即 ?k,.,(82)k,16(1，4k),16(4k,1),0,142x222.由直线l与双曲线C恒有两个不将y,kx，2代入,y,1得(1,3k)x,62kx,9,0232,130,k1,22同的交点A，B得即且kk,1.,2223,，,(62)36(13)36(1)0.kkk,2629k,设则AxyBxyxxxx(,),(,),，,AABBABAB
19、221313,kk, 由得而OAOBxxyy,，,66,ABABxxyyxxkxkx，,，(2)(2)ABABABAB2,，(1)2()2kxxkxxABAB,962k2 ,，,，,，(1)22kk221313,kk237k，,.231k,22371513kk，,13122解此不等式得 ? kk,或.于是即,6,0.221533131kk,111322,k,或,k,1.由?、?、?得 431513311313(1,)(,)(,)(,1),:故k的取值范围为 15322315在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB/OA， MAAB = MBBA，M
20、点的轨迹为曲线C。 (?)求C的方程;(?)P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。,(?)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再MBABMA,由愿意得知(+) =0,即(-x,-4-2y) (x,-2)=0. MBABMA11122所以曲线C的方程式为y=x-2. (?)设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点，因为y=x,所00442112ll以的斜率为x因此直线的方程为，即。yyxxx,()xxyyx,，,2200000002212x，420|2|yx,11422002l则O点到的
21、距离.又，所以d,yx,2dx,，,(4)2,00022242x，4xx，440002l当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2. x022xy2 设双曲线(a,0,b,0)的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于( ),122ab22xy设双曲线,1的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ).22ab22xyab,0P，,1过椭圆()的左焦点F作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若Fx1222ab,，则椭圆的离心率为 ，,FPF601222xy,1(b,0)y,x已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点FF1222b在双曲线上.则?,( )0 P(3,y)PFPF012
22、(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；2CAB、Fykxk,，,20已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若Cyx:8,，k,|2|FAFB,，则( ) 2Pllxy:4360,，,lx:1,l已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之yx,412126、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。和的最小值是( ) 设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_. 一锐角三角函数22xy椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ;的大，,1FF,|4PF,|PF,
23、，FPF12211292小为 . ,2过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为45ypxp,2(0)8，则_p,(一)数与代数y20【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: yx|2,Pxy(,),2xyx,，1000xx,0000x0bb22xe,？,，,1,2,1()50aa b,22yx,xybb,2y,xxx,，,10双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以?,1a,22aaab2,yx,，1,22cabb，bb22()40,2=,所以,e,，,1()5aaaaa 2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位
24、与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。22y,x由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，?双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是(,2，0)和x,y,2(2，0)，且或.不妨去，则P(3,1)P(3,1)P(3,1)(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连），.PF,(,2,3,1)PF,(2,3,1)12?,PFPF12（1）一般式：(,2,3,1)(2,3,1),(2，3)(2,3)，1,02lx:2,【解析】设抛物线的准线为直线 Cyx:8,AB、ykxk
25、,，,20,2,0恒过定点P .如图过分 别作，(二)知识与技能：NAMl,于,BNl,于, 由,则,点B为AP的中点.连结OB,则M|2|FAFB,|2|AMBN,1, |OBAF,2(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.点的横坐标为, 故点的坐标为 B1B？,|OBBF22022, 故选D (1,22)？,k1(2)3,2,yx,4,11AxyBxyxx,则有，,，,1122122yx,4,227.同角的三角函数间的关系：yy,42212 两式相减得，yyxx,？,41，1212xxyy,，1212？直线l的方程为y-2=x-2,即y=x