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1、【强烈推荐】高一数学必修1各章知识点总结 例题解析 习题及答案疯狂国际教育(内部) 函数的有关概念 (函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意1一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数, (1) (2) (3) (4) 思路点拨:对于根式、分式、绝对值式，要先化简
2、再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立. 解:(1)，对应关系不同，因此是不同的函数; (2)的定义域不同，因此是不同的函数; (3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数; (4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数. 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意
3、义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:?表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);?定义域一致 (两点1 疯狂国际教育(内部) 必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1); (2); (3). 思路点拨:由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. 解:(1)的定义域为x2-2?0， ; (2); (3). 总结升华:使解析式有意义的常见形式有?分式分母不为零;?偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使
4、得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解. 2(值域 : (先考虑其定义域) 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有: 观察法:通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的最高点和最低点，观察求得函数的值域; 配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域; 判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数等;此外，使用此方法要特别注意自变量
5、的取值范围; 换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 4. 求值域(用区间表示): (1)y=x2-2x+4;. 思路点拨:求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化. 解:(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3?3，?值域为3，+?); 2 疯狂国际教育(内部) (2); (3); ，?函数的值域为(-?，1)?(1， (4)+?). 3.
6、函数图象知识归纳 A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，(1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x?y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 描点法: 图象变换法 常用变换方法有三种 平移变换 伸缩变换 对称变换 4(区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示( 5(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集
7、合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A,B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象),B(象)” 对于映射f:A?B来说，则应满足: (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R，B=R，对应法则f:取倒数; (2)A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则f:作三角形的外接圆; (3)A=
8、平面内的圆，B=平面内的三角形，对应法则f:作圆的内接三角形( 3 疯狂国际教育(内部) 思路点拨:根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”( 解:(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”;若把A改为 0或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射; A=x|x?(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与 之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆; (3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无 数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制;若将对应法则改为:
9、以该圆上某定点为顶点作正 三角形便可成为映射( 总结升华:将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手( 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集( 9. 已知，求f(0)，ff(-1)的值. 思路点拨:分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系. 解:f(0)=202+1=1 ff(-1)=f2(-1)+3=f(1)=212+1=3. 举一反三: 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，fff(
10、-1)+1的值. 解:由分段函数特点，作出f(x)图象如下: ?如图，可得:f(1)=2;f(-1)=-1;f(0)=; fff(-1)+1=ff-1+1=ff(0)=f()=+1. 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 学习成果测评 基础达标 4 疯狂国际教育(内部) 一、选择题 1(判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ，; ?，; ?，; ?，; ?，( A(?、? B(?、? C(? D(?、? 2(函数y=的定义域是( ) A(-1?x?1 B(x?-1或x?1 C(0?x?1 D(
11、-1，1 3(函数的值域是( ) A(-?，)?(，+?) B(-?，)?(，+?) C(R D(-?，)?(，+?) 4(下列从集合A到集合B的对应中: ?A=R，B=(0，+?)，f:x?y=x2; ? ? ?A=-2，1，B=2，5，f:x?y=x2+1; ?A=-3，3，B=1，3，f:x?y=|x| 其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( ) A( 1 B( 2 C( 3 D( 4 5(已知映射f:A?B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( ) A( A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象 B( B中元素可以有两个原象 5 疯狂国际教育(内部) C( A中的任何元素有且只能
12、有唯一的象 D( A与B必须是非空的数集 (点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( ) 6A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3) 7(已知集合P=x|0?x?4， Q=y|0?y?2，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) A(y= B(y= C(y=x D(y=x2 (下列图象能够成为某个函数图象的是( ) 89(函数的图象与直线的公共点数目是( ) A( B( C(或 D(或 10(已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A( B( C( D( 11(已知，若，则的值是( ) A( B(或 C(，或 D(
13、12(为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移6 疯狂国际教育(内部) 是( ) A(沿轴向右平移个单位 B(沿轴向右平移个单位 C(沿轴向左平移个单位 D(沿轴向左平移个单位 1(设函数则实数的取值范围是_( 2(函数的定义域_( (函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_( 34(若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_( 5(函数的定义域是_( 6(函数的最小值是_( 三、解答题 1(求函数的定义域( 2(求函数的值域( 3(根据下列条件，求函数的解析式: (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x-1，求f(x); (2)已知f(x
14、)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x); (3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3); (4)已知; (5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 答案与解析: 基础达标 7 疯狂国际教育(内部) 一、选择题 1(C(1)定义域不同;(2)定义域不同;(3)对应法则不同;(4)定义域相同，且对应法则相同; (5)定义域不同( (D(由题意1-x2?0且x2-1?0， -1?x?1且x?-1或 x?1，?x=?1，选D( 23(B(法一:由y=，?x= ?y?， 应选B( 法二: 4(C(提示:?不是，均不满足
15、“A中任意”的限制条件( 5(D(提示:映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间( 6(A(设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=， y=1，应选A( 7(C(?0?x?4， ?0?x?=2，应选C( 8(C( 9(C(有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值( 10(D(按照对应法则， 而，?( 11(D(该分段函数的三段各自的值域为，而 ? ( 12(D(平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”， 即，左移( 二、填空题 1(. 当，这是矛盾的;当. 8 疯狂国际教育(内部) 2(. 提示:. 3(. 4(. 设，对称轴，当时，. 5(.
16、 . 6(. ( 三、解答题1(解:?，?定义域为 2(解:? ?，?值域为 3(解:(1).提示:利用待定系数法; (2).提示:利用待定系数法; (3)f(x+3)=x2+14x+49.提示:利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3， 于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=(x+3)+42; (4)f(x)=x2+2.提示:整体代换，设; (5).提示:利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子 2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得 9 疯狂国际教育(内部) 二(函数的
17、性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)a.增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. b.减函数 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1),f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; ) 图象的特点 (2如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性
18、，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ?1 任取x1，x2?D，且x11，且?*( Nxannnx,an，记作。 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是00,0a(a,0),nnnna,a当是奇数时，当是偶数时，a,|a|, nn,a(a,0),2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定: mm,11*nm*nn， a,a(a,0,m,n,N,n,1)a,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) (二
19、)指数函数及其性质 x1、指数函数的概念:一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数y,a(a,0,且a,1)的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1( 2、a.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 15 疯狂国际教育(内部) b.指数函数的图象和性质 a1 0a1 66554433221111-4-2246-4-224600-1-1 定义域 R 定义域 R 值域y,0 值域y,0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0，1) 函数图象都过定点(0，1) 注意:利用函数的单调性，结合图
20、象还可以看出: x(1)在a，b上，值域是或; f(a),f(b)f(b),f(a)f(x),a(a,0且a,1)(2)若，则;取遍所有正数当且仅当; x,0f(x),1f(x)x,Rx(3)对于指数函数，总有; f(1),af(x),a(a,0且a,1)二、对数函数 (一)对数 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化:. 2.几个重要的对数恒等式 ，. 3.常用对数与自然对数 常用对数:，即;自然对数:，即(其中). 16 疯狂国际教育(内部) 4.对数的运算性质 如果，那么 ?加法: ?减法:?数
21、乘: ? ? ?换底公式: 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b, N, b alogNa底数 指数 对数 (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数，且a,1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定y,logx(a,0a义域是(0，+?)( 注意: x?1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如:， 都y,2logxlog2y,55不是对数函数，而只能称其为对数型函数( (a,0a,1)?2 对数函数对底数的限制:，且( 2、对数函数的性质: 函数 对数函数 名称 17 疯狂国际教育(内部) 定义 函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，. 奇偶性
22、 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大;在第四象限内，从顺时针方向象的影响 看图象，逐渐减小. 3、反函数 1.反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2.反函数的性质 (1)原函数与反函数的图象关于直线对称. 18 疯狂国际教育(内部) (2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上. (4)一般地，函数要有
23、反函数则它必须为单调函数. 3.反函数的求法 (1)确定反函数的定义域，即原函数的值域; (2)从原函数式中反解出; (3)将改写成，并注明反函数的定义域. 四、指数函数与对数函数的关系 指数函数与对数函数互为反函数. (1) ?y=ax ?y=bx ?y=cx ?y=dx 则:0ba1dc (0，+?)时，bxaxdxaxdxcx (2) ?y=logax ?y=logbx ?y=logcx ?y=logdx 则有:0ba1dc 又即:x?(1，+?)时，logaxlogbx0logcxlogbx0logcxlogdx 1(已知函数( (1)求函数的单调增区间; 19 疯狂国际教育(内部)
24、(2)求其单调增区间内的反函数( 解:复合函数y=fg(x)的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系:同增异减( ( (1)函数的定义域x|x2，又t=x2-2x=(x-1)2-1?x(-?，0)，t是x的减函数(而是减函数， ?函数f(x)在(-?，0)为增函数( (2)函数f(x)的增区间为(-?，0)， 令，则( ?，( x0，?(?( ?五、幂函数 ,1、幂函数定义:一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数( (a,R),y,x2、幂函数性质归纳( (1)所有的幂函数在(0，+?)都有定义并且图象都过点(1，1); (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,，,)上是增函
25、数(特别地，当时，幂,0,1函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 0,1(3)时，幂函数的图象在区间(0,，,)上是减函数(在第一象限内，当x从右边趋向原点时，,0，,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴( xxxyy2.幂函数的性质 (1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象. 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称); 是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点:所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3)单调性:如果，则幂函数的图象过原
26、点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴. 20 疯狂国际教育(内部) (4)奇偶性:当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. (5)图象特征:幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方. 基础达标测试题 一、选择题 (下列函数与有相同图象的一个函数是( ) 1A( B( C( D( 2(下列函数中是奇函数的有几个( ) ? ? ? ? A(1 B
27、(2 C(3 D(4 3(函数与的图象关于下列那种图形对称( ) A(轴 B(轴 C(直线 D(原点中心对称 4(已知，则值为( ) A( B( C( D. 5(2011江西文3)若，则的定义域为( ) A( B( C( D( 21 疯狂国际教育(内部) 6(三个数的大小关系为( ) A. B. C( D. 7(若，则的表达式为( ) A( B( C( D( 8(对于，给出下列四个不等式 ? ? ? ? 其中成立的是( ) A(?与? B(?与? C(?与? D(?与? 9(若,则( ) A( B( C( D( 二、填空题 10(从小到大的排列顺序是_. 11(化简的值等于_. 12(计算:=
28、_. 13(已知，则的值是_. 14(方程的解是_. 15(函数的定义域是_;值域是_. 16(判断函数的奇偶性_. 22 疯狂国际教育(内部) 三、解答题 17(已知求的值. 18(计算的值. 19(已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 20(比较下列各组数值的大小: (1)和;(2)和;(3) 答案与解析 基础达标 一、选择题 1.D ，对应法则不同; ;. 2.D 对于，为奇函数; ，显然为奇函数;显然也为奇函数; 对于对于，为奇函数. 3.D 由得，即关于原点对称. 4.B 23 疯狂国际教育(内部) . . 5.C 6.D 当范围一致时，;当范围不一致时， 注意比较的
29、方法，先和比较，再和比较. 7.D 由得. 8.D 由得?和?都是对的. 9.C . 二、填空题 10( ， 而. 11.16 . 12.-2 原式. 13.0 ，. 14.-1 . 15. ;. 24 疯狂国际教育(内部) 16.奇函数 三、解答题 17(解: . 18(解:原式 19(解:且，且，即定义域为; 为奇函数; 在上为减函数. 20.解:(1)?，?; (2)?，?; (3) ? 25 疯狂国际教育(内部) 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数，把使成立的实数叫做函数的xy,f(x)(x,D)f(x),0y,f(x)(x,D)（1）二次函数的
30、图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点xy,f(x)f(x),0y,f(x),的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点( xf(x),0y,f(x)y,f(x)3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程的实数根;2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数f(x),0y,f(x)?弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点( 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.4、二次函数的零点: 2二次函数( y,a
31、x，bx，c(a,0)第二章 二次函数2(1)?,，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点( xax，bx，c,02(2)?,，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零xax，bx，c,011.弧长及扇形的面积点或二阶零点( 2(3)?,，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点( xax，bx，c,0圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。收集数据 5.函数的模型 104.305.6加与减（二）2 P57-60画散点图 不选择函数模型 符合 实 际 求函数模型 检验 符合实际 用函数模型解释实际问题 26 (6)直角三角形的外接圆半径疯狂国际教育(内部) 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.27