《北京市师大附中2017_2018学年高二数学下学期期中试题理201806120119.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市师大附中2017_2018学年高二数学下学期期中试题理201806120119.wps（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、北京师大附中 2017-20182017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理 科） 说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（每小题 5 5 分，共 4040分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项， 请将答案填在答题纸上） 1 1已知 i 为虚数单位，复数 在复平面上对应的点位于 ( ) z 3i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 x 1 t, 5 2若直线 （t 为参数）的倾斜角为 ，则 ( ) l : 4 y 2 t, 5 tan 3 tan 4 3 A B C D sin tan 2 5 4 3 x y 2 2 3设双曲
2、线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程 2 2 1(a 0,b 0) 2 3 a b 为 ( ) A y 2x B y 2x y x 1 2 y x C D 2 2 1 4计算定积分 ( ) (ex 2x)dx 0 A1 Be-1 Ce De+1 5下面为函数 y xsin x cos x 的递增区间的是 ( ) 3 5 3 ,2 2,3 A B C D , , 2 2 2 2 6以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 x t 1, 取相同的长度单位已知直线l 的参数方程是 （t 为参数），圆 C 的极坐标方程是 y t 3 4 cos l
3、，则直线 被圆 C 截得的弦长为 ( ) - 1 - A 14 B 2 14 C 2 D 2 2 7如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=2，点 G 与 E 分别是 A1B1和 CC1 的中点，点 D 与 F 分别是 AC 和 AB上的动点若 GDEF，则线段 DF长度的最小值为 ( ) 2 3 5 A B C D 5 5 2 2 5 5 5 8已知函数 y f (x 1) 的图象关于点(-1，0)对称，且当 x(-，0)时， f (x) xf (x) 0 成立，(其中 f(x)是 f(x)的导数）；若 , ， a （2 ）f 2 b (ln 2) f (
4、ln 2) 0.2 0.2 1 1 c (log ) f (log ) 2 2 4 4 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 二、填空题（每小题 5 5 分，共 3030分） z 9若复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则|z|=_ i 1i 10在极坐标系中，极点到直线l : sin( ) 2 的距离是_ 4 11如图，圆O : x2 y2 2 内的正弦曲线 y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影 部分），随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是_ 12设曲线 y ex 过点(0，0)的切线与曲线 y 1 (
5、x 0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐 x - 2 - 标为_ f x x ax bx c 13已知函数 在 x=-2处取得极值，并且它的图象与直线 3 2 y 3x 3 在点(1，0)处相切，则函数 f(x)的表达式为_。 14定义在区间a，b上的连续函数 y=f(x)，如果 a,b，使得 f (b) f (a) f ()(b a) ，则称 为区间a,b“上的 中值点” 下列函数： f x 3x 2； f x x2 x 1； f x lnx 1； 1 f x (x ) 2 3 中，在区间0,1上“中值点”多于一个的函数序号为_（写出所有 满足条件的函数的序号） 三、解答题（共 8080
6、分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15己知函数 f x x3 3x 1 ( I)求函数 f(x)的极值： (II)求函数 f(x)在0，2上的最大值； 16设 F 为抛物线C : y2 4x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个动点，O 为坐标原点 (I)若直线 AB经过焦点 F，且斜率为 2，求线段 AB 的长度|AB|； (II)当 OAOB 时，求证：直线 AB 经过定点 M(4，0) 1 f x kx (k 1) ln x 17已知函数 ，kR x (I)求函数 f(x)的单调区间； (II)当 k0 时，若函数 f(x)在区间(1，2)内单调递减，求 k 的取值范围
7、18已知椭圆C：x2 2y2 9 ，点 P(2，0) (I)求椭圆 C 的短轴长与离心率； ( II)过(1，0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 M、N 两点，设 MN 的中点为 T，判断|TP|与|TM|的 大小，并证明你的结论 19已知函数 f x ln x x (I)求函数在点(1，0)处的切线方程； (II)设实数 k 使得 f(x)0，且 , A x y B x y x1 x2 3, x1x2 1 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 所以 AB 5 x x 5 (x x )2 4x x 5 1 2 1 2 1 2 t s 2 2 （II）因为 A，B 是抛物线 C 上的两点，所
8、以设 ， A( ,t), B( ,s) 4 4 2 (st) 由 OAOB，得 ，所以 OAOB st 0 st 16 16 2 2 ( )( 16) t2 s2 t s t s ts MA ( 4,t),MB ( 4,s), ( 4)s ( 4)t 0 由 ，知 4 4 4 4 16 MA A MB ，即直线 AB 经过定点 M（4,0） 17解：（I）函数 f (x) 的定义域为x | x 0 - 5 - k 1 1 kx (k 1)x 1 (kx 1)(x 1) 2 f (x) k x x x x 2 2 2 （1）当 k 0 时，令 f (x) 0 ，解得 0 x 1，此时函数 f (
9、x) 为单调递增函数； 令 f (x) 0，解得 x 1，此时函数 f (x) 为单调递减函数 （2）当 k 0 时， 1 当 ，即 时， 1 k 1 k 令 f (x) 0 ，解得 0 x 1 或 x 1 ，此时函数 为单调递增函数； f (x) k k 令 f (x) 0，解得 1 x 1，此时函数 为单调递减函数 f (x) k 当 k 1时， f (x) 0恒成立，函数 f (x) 在 (0,)上为单调递增函数； 1 当 ，即 时， 1 0 k 1 k 令 f (x) 0 ，解得 0 x 1或 x 1 ，此时函数 为单调递增函数； f (x) k 令 f (x) 0，解得1 x 1 ，
10、此时函数 为单调递减函数 f (x) k 综上所述， 当 k 0 时，函数 f (x) 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为 (1,)； 当 0 k 1时，函数 f (x) 的单调递增区间为（0,1）， (1 ,) ，单调递减区间为 (1, 1)； k k 当 k 1时，函数 f (x) 的单调递增区间为 (0,)； 当 k 1时，函数 f (x) 的单调递增区间为 (0, 1)， (1,)，单调递减区间为 (1 , ) k k (kx 1)(x 1) （II） f (x) x 2 (kx 1)(x 1) 因为函数 f (x) 在（1，2）内单调递减，所以不等式在 0在（1,2）上成 x
11、 2 立 因为 x(1, 2) ，则 x 1 0 ，所以等价于 kx 1 0，即 k 1 ，所以 0 1 x 2 k 18解：（I） ，故 C 2 9, 2 9 , 2 9 , : 1 a b c x y 2 2 9 9 2 2 2 - 6 - 有 a 3， 3 2 b c 2 椭圆 C 的短轴长为 2b 3 2 ，离心率为 2 e c a 2 （II）方法 1：结论是： TP TM 当直线l 斜率不存在时，l : x 1, TP 0 TM 2 当直线l 斜率存在时，设直线l : y k(x 1),M (x , y ), N(x , y ) 1 1 2 2 2 2 2 9 x y y k(x
12、1) (2k 1)x 4k x 2k 9 0 2 2 2 2 ，整理得： (4k ) 4(2k 1)(2k 9) 64k 36 0 2 2 2 2 2 故 4k 2k 9 2 2 x x , x x 1 2 2 1 2 2 2k 1 2k 1 PM PN (x 2)(x 2) y y 1 2 1 2 (x 2)(x 2) k (x 1)(x 1) 2 1 2 1 2 (k 1)x x (k 2)(x x ) k 4 2 2 2 1 2 1 2 2k 9 4k 2 2 (k 1) (k 2) k 4 2 2 2 2k 1 2k 1 2 2 6k 5 2 2k 1 2 0 故 MPN 90 ，即点
13、 P 在以 MN 为直径的圆内，故 TP TM （II）方法 2,：结论是 TP TM 当直线l 斜率不存在时，l : x 1, TP 0 TM 2 当直线l 斜率存在时，设直线l : y k(x 1),M (x , y ), N(x , y ),T(x , y ) 1 1 2 2 T T 2 2 2 9 x y y k(x 1) ，整理得： (2k2 1)x2 4k2 x 2k2 9 0 (2k2 1)x2 4k2 x 2k 2 9 0 2 2 2 2 2 (4k ) 4(2k 1)(2k 9) 64k 36 0 - 7 - 故 4k 2k 9 2 2 x x , x x 1 2 2 1 2
14、 2 2k 1 2k 1 1 2k k 2 x (x x ) , y k(x 1) T 1 2 2 T T 2 2 2k 1 2k 1 2k k (2k 2) k 4k 9k 4 2 2 2 2 4 2 TP (x 2) y ( 2) ( ) 2 2 2 2 2 T T 2k 1 2k 1 (2k 1) (2k 1) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 TM ( MN ) (k 1)(x x ) (k 1)(x x ) 4x x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 1 4k 2k 9 (k 1)(16k 9) 16k 25k 9 2 2 2 2 4 2 2 2 (k 1
15、)( ) 4 4 2 2 1 2 2 1 (2 2 1)2 (2 2 1)2 k k k k 此时， 16k 25k 9 4k 9k 4 12k 16k 5 4 2 4 2 4 2 TM TP 2 2 (2 1) (2 1) (2 1) k 2 2 k 2 2 k 2 2 0 故 TM TP 19解：（I） y x 1； （II）因为 x 0 ，所以 ln x kx 恒成立等价于 恒成立， k ln x x x 2 ln x x ( ) ln e 1 ln 令 ，再求函数 的最大值 ，得 k 的范围是 g(x) g(x) g e x x e 2e 2 2 k 1 ； 2e （III）由 h(x
16、) f (x) kx 0 ，得 ln x kx 0 ，即 ， ， ln x kx2 0 k ln x x x 2 ln x ln x ( ) ln e 1 g(1) e2 研 究函数 ， 的最大值 ， ， g(x) g(x) g e x x e 2e e 2 2 1 g(e) e 2 1 所以，当 或者 时，有 0 个零点； k k e2 2e 1 1 k e2 k 2e e 当 或者 时，有 1 个零点； 2 1 1 当 时，有 2 个零点； k e 2e 2 20解：（I） （II）当 m=3 时，设数列 中 1,2,3，出现频数依次为 ，由题意 A q i q1,q2 ,q3 1( 1,
17、 2,3) n i - 8 - 假设 ，则有 （对任意 ）， q1 4 a a a a s t 2 1 2 s t 1 4 与已知矛盾，所以 同理可证： q q3 4 2 1 a k 假设 ，则存在唯一的 ，使得 q k 1, 2,n 2 那么，对s,t ，有 1 k 1 2 s t （k，s，t 两两不相等），与已知矛盾，所以 a a a a 2 2 q 3 综上： ， ， ，所以 q q q S iq 20 1 4 3 4 2 2 i i1 （III）设 1，2，2018出现频数依次为 q q q 1, 2 , , 2018 同（II）的证明，可得 ，则 q1 4,q2018 4,q2 2
18、,q2017 2 n 2026 1 2018 4, 2 2017 2 i 取 ， ，得到的数列为： q q q q q 1,i 3, 4, 5, 2016 B n :1,1,1,1, 2, 2, 3, 4, 2015, 2016, 2017, 2017, 2018, 2018, 2018, 2018. 下面证明 满足题目要求对 ，不妨令 ， B i, j 1, 2, 2026 a a n i j 如果 a a 1或 a a 2018 ，由于 1 4, 2018 4 ，所以符合条件； q q i j i j 如果 a 1,a 2 或 2017, 2018，由于 ， 2 2, 2017 2， a
19、a q q 1 4, 2018 4 q q i j i j 所以也成立； 如果 a 1,a 2 ，则可选取 a 2,a a 1；同样的，如果 a 2017,a 2018， i j s i j i j 则可选取 a a 1,a 2017 ，使得 a a a a ，且 i，j，s，t 两两不相等； s i i i j s t 如果1 a a 2018 ，则可选取 a a 1,a a 1，注意到这种情况每个数最多 i j s i i t 被选取了一次，因此也成立 综上，对任意 i，j，总存在 s，t，使得 ，其中 i，j，s，t1,2， a a a a i j s t n且两两不相等因此 满足题目要求，所以 n 的最小值为 2026 B n - 9 -