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1、2021-2022学年第一学期期中模拟考试1高二数学满分：150分 考试时间：100分钟 考试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆一、单项选择题（本题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1.已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（ ）A B C D2.方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（ ）A B C D3.如图所示，空间四边形OABC中，点M在OA上，且，为中点，则等于（ ）A BC D4.已知直线l的倾斜角为，斜率为k，若，则的取值范围为（ ）A B C D5.椭圆和椭圆的（ ）A
2、长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等6.若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m( )A21 B19 C9 D117.过点M(-1，12)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为k1(k10)，直线OM的斜率为k2，则k1k2的值为( )A2 B C D8. 如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A6 B10 C8 D12二、多项选择题（本题共4小题， 每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
3、9.以下说法正确的是（ ）A若向量可是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.B空间的任意两个向量都是共面向量.C若两条不同直线，的方向向量分别是，则.D若两个不同平面，的法向量分别是，且，则10.下列说法错误的是（ ）A“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C过、两点的所有直线的方程为D若两直线与平行，则11.以下四个命题表述正确的是（ ）A椭圆上的点到直线的最大距离为B已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点C曲线与曲线恰有三条公切线，则D圆上存在4个点到直线的距离都等于112.如图，棱长为1的正
4、方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A直线与所成的角可能是B平面平面C三棱锥的体积为定值D平面截正方体所得的截面可能是直角三角形三、填空题（本大题共4小题 ，每小题5分，共20分）13.已知椭圆的短半轴长为1，离心率e=，则长轴长为_14.有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则入射光线所在直线的方程为 .15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为： .16.九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形
5、ABEF的高分别为3，7，且，则_.四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(12分)已知ABC的顶点，.（1）求边的中垂线所在直线的方程；（2）求ABC的面积.18.(14分)如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.19.(14分)已知圆，直线.（1）求证：直线l恒过定点；（2）直线l被圆C截得的弦何时最长? 何时最短? 并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.20.(15分)如图，且，平面平面，四边形为矩形，且（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线
6、到平面的距离21.(15分)已知椭圆C：的两个焦点分别为,，且椭圆C经过点（1）求椭圆C的离心率；（2）设过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q是MN上的点，且，求点Q的轨迹方程2021-2022学年第一学期期中模拟考试1高二数学满分：150分 考试时间：100分钟 考试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆一、单项选择题（本题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（ ）A B C D1BO是平面外任意一点，且，若A，B，C，M四点共面的充要条件是，即.
7、2.方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（ ）A B C D2A因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有3.如图所示，空间四边形OABC中，点M在OA上，且，为中点，则等于（ ）A BC D3B连接，如图所示： 因为，为中点，所以.4已知直线l的倾斜角为，斜率为k，若，则的取值范围为（ ）A B C D4A因为，且，所以.5.椭圆和椭圆的（ ）A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等5.D 两个椭圆的焦距均为8，焦距相等，故选D6.若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D1
8、1解析：选C依题意可得圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0的圆心分别为C1(0,0)，C2(3,4)，则|C1C2| 5.又r11，r2，由r1r215，解得m9.7.过点M(-1，12)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为k1(k10)，直线OM的斜率为k2，则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-12【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x12+2y12=2 x22+2y22=2-,得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,即y2-y1x2-x1=-x1+x22(y1+y2),k1=
9、y2-y1x2-x1=-221=1,而k2=12-0-1-0=-12, 故k1k2=-12.8.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A6 B10C8 D128C【分析】利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案【详解】解：，又、两两相互垂直，即，则为直角三角形，又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，则三棱锥的外接球的表面积二、多项选择题（本题共4小题， 每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分
10、.）9以下说法正确的是（ ）A若向量可是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.B空间的任意两个向量都是共面向量.C若两条不同直线，的方向向量分别是，则.D若两个不同平面，的法向量分别是，且，则9ABC对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，则也是空间的一个基底，故A正确；对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，故B正确；对于C，由方向向量的性质得出，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误；10下列说法错误的是（ ）A“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C过、两点的所有直线的方程为D若两直线与平行，则10ABC对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得
11、或.因为，所以，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错；对于B选项，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，B错；对于C选项，当或，方程无意义，C错；对于D选项，若直线与平行，则，整理可得，解得或.当时，两直线重合，不合乎题意；当时，两直线平行，合乎题意，D对.11以下四个命题表述正确的是（ ）A椭圆上的点到直线的最大距离为B已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点C曲线与曲线恰有三条公切线，则D圆上存在4个点到直线的距离都等于1【答案】ABC【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出直线恒过定点，判断错误；求出
12、直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误.【详解】对于，【解题指南】可设出与直线平行的直线方程,利用直线与椭圆相切确定切点,两平行线间的距离即为最大或最小值.【解析】由x+2y+m=0,x216+y24=1,得2x2+2mx+m2-16=0.当直线与椭圆相切时,=0即4m2-42(m2-16)=0,解得m=42.当m=42时,切点到直线x+2y-2=0的距离最大,其值为d=|42+2|12+22=10.故A选项正确对于，设点的坐标为，所以，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，令，解得，故直线经过定点，正
13、确；对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，曲线化为标准式得，所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题12如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A直线与所成的角可能是B平面平面C三棱锥的体积为定值D平面截正方体所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【分析】对于
14、A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P平面A1AP；对于C，三棱锥D1CDP的体积为定值；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设直线D1P与AC所成的角为，故A错误；对于B，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，AA1ABA，A1D1平面A1AP，A1D1平面D1A1P，平面D1A1P平面A1AP，故B正确
15、；对于C，P到平面CDD1的距离BC1，三棱锥D1CDP的体积：为定值，故C正确；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；故选：BC三、填空题（本大题共4小题 ，每小题5分，共20分）13.已知椭圆的短半轴长为1，离心率e=，则长轴长为_13.(2,4 解析e，b1,e=，=， 则a=2，2a=4，即长轴长为414 有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则入射光线所在直线的方程为 .14解：设点关于直线的对称点为，则，解得则点在反射光线所在的直线上反射光线所在的直线方程为：，化为反射光线所在的直线方程为15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为： .
16、15.解：设动圆圆心为M，半径为r.圆的圆心为F1（-3,0），半径为2；圆的圆心为F2（3,0）半径为10.因为圆M与圆F1外切，所以，因为圆M与圆F2内切，所以，所以 故点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为12的椭圆. 即点M的轨迹方程为16.九章算术第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，则_.【答案】14过分别作，的高，垂足分别为，可证明，两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出，的坐标，从而求出的值即可【
17、详解】如图示：过分别作，的高，垂足分别为，平面平面，平面平面，故平面，故，又，故，两两垂直，以为坐标原点，分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则由题意可知：，0，0，7，0，故，7，0，故，故答案为：14四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知的顶点，.（1）求边的中垂线所在直线的方程；（2）求的面积.17（1）；（2）14.（1）直线的斜率为，直线边的高线的斜率为，直线边的中点坐标为（1,1）直线边的高线的方程为：，即.（2）直线的方程为：，即，点到直线的距离，故的面积为.18.(14分)如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，.（1
18、）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.18（1）；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详解】（1）由条件可知，两两垂直，以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系.设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，即所求角的正弦值为.（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，则，令，则，则平面的一个法向量为，所以，由图形可知二面角的平面角为锐角，即所求二面角的余弦值为.19.（14分）已知圆，直线.（1）求证：直线l恒过定点
19、；（2）直线l被圆C截得的弦何时最长?何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.20.（15分）20.如图，且，平面平面，四边形为矩形，且（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）若与平面所成角的正切值为2，求直线到平面的距离20（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)由给定条件证得DA，DC，DG两两垂直，建立空间直角坐标系，借助空间向量证明MN与平面CDE平行；(2)结合(1)中信息，求出DG长，证明平面，借助空间向量求出点D到平面CDE距离即可.【详解】（1）四边形为矩形，即，而平面平面，平面平面，则平面，又，以为坐标原点，分别以、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系
20、，如图，则，设，则，设为平面的法向量，则，不妨令，可得，又，则有，即，而直线平面，所以平面；（2）因为，平面，平面，则平面，从而有直线到平面的距离等于点到平面的距离，由(1)知平面，即是平面的法向量，因与平面所成角的正切值为2，则与平面所成角的正弦为，又，解得，则点，设为平面的法向量，则，不妨令，可得，而，则点到平面的距离，所以直线到平面的距离为.21.（15分）已知椭圆C：的两个焦点分别为，且椭圆C经过点（）求椭圆C的离心率.（）设过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q是MN上的点，且，求点Q的轨迹方程【解析】（）由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|，所以又由已知，c1，所以椭圆C的离心率（
21、）由（）知，椭圆C的方程为y21设点Q的坐标为(x，y)()当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为()当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(，k2)，(，k2)，则|AM|2(1k2)，|AN|2(1k2)又|AQ|2x2(y2)2(1k2)由，得，即将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60由(8k)24(2k21)60，得k2由可知，代入中并化简，得因为点Q在直线ykx2上，所以，代入中并化简，得10(y2)23x218由及k2，可知0x2，即x又满足10(y2)23x218，故x由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以1y1又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，则y所以，点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x，y9