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1、三对角矩阵在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足 ak,k+1 ak+1,k 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ak,k+1 ak+1,k 0 换为 ak,k+1 ak+1,k 0，结论仍然成立。所有 n n
2、 三对角矩阵的集合组成一个 3n-2 维向量空间。许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个 n 阶三对角矩阵 A 的行列式能用 continuant（Continuant）的递归公式计算：这里 是第 k 个主子式，即 是由 A 最开始的 k 行 k 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 n ，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩
3、阵所用的存储空间也少得多。例如，LAPACK Fortran包将一个 n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长 n 包含对角元素，其它两个长为 n 1 包含下对角线和上对角线元素。三对角矩阵方程 ，能用一种需要 O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vTv。如果矩阵形式为
4、Qv的线性变换保持了向量长度，则。 所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。nn正交矩阵形成了一个群，即指示为O（n）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是O（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换（用于MP3压缩）可用正交矩阵表示。例子下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释
5、。 恒等变换。 旋转16.26。 针对x轴反射。 旋转反演（rotoinversion）:轴 (0,-3/5,4/5)，角度90。 置换坐标轴。 基本构造低维度最简单的正交矩阵是11矩阵1和1，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。如下形式的22矩阵它的正交性要求满足三个方程。在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p= cos, q= sin；因此要么t= q, u= p要么t= q, u= p。我们可以解释第一种情况为旋转(= 0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角/2的直线的反射。旋转反射 在45的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0):。 单位矩阵也是
6、置换矩阵。反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。更高维度不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于33矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，和 表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演(逆时针旋转90后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270后对原点反演)。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述33旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。基本
7、变换最基本的置换是换位（transposition），通过交换单位矩阵的两行得到。任何nn置换矩阵都可以构造为最多n1次换位的积。 构造自非零向量v的Householder反射为。 这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。如果v是单位向量，则Q= I2vvT就足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何nn正交矩阵都可以构造为最多n次这种反射的积。Givens旋转作用于由两个坐标轴所生成的二维（平面）子空间上，按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次对角线元素（subdiagonal entr
8、y）。任何nn的旋转矩阵都可以构造为最多n(n1)/2次这种旋转的积。在3x3矩阵的情况下，三个这种旋转就足够了；并且通过固定这个序列，我们可以用经常叫做欧拉角的三个角来（尽管不唯一）描述所有33旋转矩阵。雅可比旋转有同Givens旋转一样的形式，但是被用做相似变换，选择来置零22子矩阵的两个远离对角元素（off-diagonal entry）。性质矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间Rn的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成Rn的正交基。假设带有正交（非正交规范）列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是M
9、TM= D，D是对角矩阵。任何正交矩阵的行列式是 +1或1。这可从关于行列式的如下基本事实得出:。 反过来不是真的；有 +1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。对于置换矩阵，行列式是 +1还是1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有（复数）绝对值1。群性质正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有nn正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是n(n1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O（n）。行列式为 +1的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为2的O（n）正规子
10、群，叫做旋转的特殊正交群SO（n）。商群O（n）/SO（n）同构于O（1），带有依据行列式选择+1或1的投影映射。带有行列式1的正交矩阵不包括单位矩阵，所以不形成子群而只是陪集；它也是（分离的）连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射分裂，O（n）是SO（n）与O（1）的半直积。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成，如我们在22矩阵中看到的。如果n是奇数，则半直积实际上是直积，任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。现在考虑 (n+1)(n+1)右底元素等于1的正交矩阵。最后一列（和最后一行）的余下元素必须
11、是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是nn正交矩阵；因此O（n）是O(n+1) (和所有更高维群)的子群。因为Householder正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式，一系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵；因此正交群是反射群。最后一列可以被固定为任何单位向量，并且每种选择给出不同的O（n）在O(n+1)中的复本；以这种方式O(n+1)是在单位球Sn与纤维O（n）上的丛。类似的，SO（n）是SO(n+1)的子群；任何特定正交矩阵可以使用类似过程通过Givens平面旋转来生成。丛结构持续: SO（n） SO(n+1) Sn。一个单一旋转可以在最后一列
12、的第一行生成一个零，而n1次旋转序列将置零nn旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的，每次旋转只有一个自由度，就是它的角度。通过归纳，SO（n）因此有自由度，O（n）也是。置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，n! 次对称群Sn。通过同类的讨论，Sn是Sn+1的子群。偶置换生成行列式 +1的置换矩阵的子群，n!/2次交错群。规范形式更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正交二维空间上的独立动作。就是说，如果Q是狭义正交的，则你可以找到（旋转）改变基的一个正交矩阵P，把Q带回到分块对角形式:(n偶数)， (n奇数)。 这里的矩阵R1,.,Rk是22旋转矩阵，而余
13、下的元素是零。作为例外，一个旋转块可以是对角的，I。因此如果需要的话取负一列，并注意22反射可对角化为 +1和1，任何正交矩阵可变为如下形式, 矩阵R1,Rk给出位于复平面中单位圆上的特征值的共轭对；所以这个分解复合确定所有带有绝对值1的特征值。如果n是奇数，至少有一个实数特征值 +1或1；对于33旋转，关联着 +1的特征向量是旋转轴。数值线性代数优点数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式1和所有模为1的特征值是对数值稳定性非常有利的。一个蕴涵是条件数为1 (这是极小的)，所以在乘以正交矩阵的时
14、候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如Householder反射和Givens旋转。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引（下标）。置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点（partial pivoting）的运算繁重的高斯消去法（这里的置换用来定支点）。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n3次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的
15、时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。编辑 分解一些重要的矩阵分解（Golub & Van Loan, 1996）涉及到了正交矩阵，包括:QR分解 M= QR, Q正交，R上三角。 奇异值分解 M= UVT, U和V正交，非负对角。 谱分解 S= QQT, S对称，Q正交，对角。 极分解 M= QS, Q正交，S对称非负确定。 正定矩阵在线性代数里，正定矩阵（即“正数-确定-矩阵”）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 定义一个n n的实对
16、称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 zTMz 0。其中zT 表示z的转置。对于复数的情况，定义则为：一个n n的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz 0。其中z* 表示z的共轭转置。由于 M 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。正定阵的判别对n n 的埃尔米特矩阵 M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：1.矩阵M的所有的特征值 i都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M = P 1DP，其中P是幺正矩阵，或者说M在某个正交基可以表示为一个实
17、对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正数。2.半双线性形式 定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。3.M是n个线性无关的n维向量 的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为： 换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。4.M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式： M左上角1 1的矩阵 M左上角2 2矩阵 . M自身。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如
18、以下例子：5.存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得： M = LL * . 其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 改为 ，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。二次型由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 代表 或 ，设 是 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：是一个双线性映射，使得B(x, y)总是B(y, x)的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对 中所有的非零向量x，都有B(x, x) 0。负定、半定及不定矩阵与正定矩阵相对应的，一个n n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当
19、对所有不为零的 （或），都有：M是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的 （或），都有：M是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的 （或），都有：可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵A，A*A必然是半正定的，并有rank(A) = rank(A*A)（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A*A，这就是Cholesky分解。一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆
20、矩阵也是负定的。如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。相关性质若M为半正定阵，可以写作。如果M是正定阵，可以写作M 0。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 M N。1.每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 那么 。2.如果M是正定阵，r 0为正实数，那么 rM 也是正定阵。 如果 M、N 是正定阵，那么和M + N、乘积 MNM 与 NMN 都是正定的。如果 MN = NM，那么 MN 仍是正定阵。3.如果M = (mij) 0 那么主对
21、角线上的系数mii 为正实数。于是有tr(M) 0。此外还有 4.矩阵M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B 0 使得 B2 = M。根据其唯一性可以记作B = M1 / 2，称B 为M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M N 0 那么 M1 / 2 N1 / 2 0.5.如果M,N 0 那么 ，其中 表示克罗内克乘积。6.对矩阵M = (mij),N = (nij)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为，即，称为M 与 N的阿达马乘积。如果M,N 0，那么 。如果 M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立： 7.设M 0，N 为埃尔米特矩阵。如果（MN + NM 0），那么（
22、N 0）。8.如果为实系数矩阵，则。9.如果M 0为实系数矩阵，那么存在 0 使得，其中 I 为单位矩阵。非埃尔米特矩阵的情况一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量x，xTMx 0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵就满足这个条件。对x = (x1,x2)T 并且，一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x，有xTMx 0，当且仅当对称矩阵 (M + MT) / 2是正定矩阵。对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎扩展z*Mz 0 这一性质。要使z*Mz 总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若 z*Mz 总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z*Mz 0 扩展为 Re(
23、z*Mz) 0，则等价于(M + M*) / 2为正定阵。伴随矩阵在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 定义参见：子式和余子式、余因子矩阵及转置矩阵 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的 nn 的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n1)(n1)矩阵的行列式。 定义：A关于第i 行第j 列的代数余子式是： 。 定义：A的余子矩阵是一个nn的矩阵C，使得其第i
24、行第j 列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。 引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：。 也就是说， A的伴随矩阵是一个nn的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j 行第i 列的代数余子式：。 例子编辑 2x2矩阵一个矩阵 的伴随矩阵是. 编辑 3x3矩阵对于的矩阵，情况稍微复杂一点：. 其伴随矩阵是：其中. 要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第3行第2列的系数应该是A关于第2行第3列的代数余子式。具体情况对于数值矩阵，例如求矩阵的伴随矩阵，只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2行第3列的代数余子式为因此伴随矩阵中第3行第2
25、列的位置上是-6。计算后的结果是： 应用作为拉普拉斯公式的推论，关于nn 矩阵A的行列式，有：其中I是n阶的单位矩阵。事实上，Aadj(A)的第i行第i列的系数是。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。 如果i j，那么Aadj(A)的第i行第j列的系数是。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。 由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。这是因为如果A可逆，那么如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明编辑 性质对nn的矩阵A和B，有：1.2.3.4.5.6. 当n2时， 7
26、. 如果A可逆，那么 8. 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。 9. 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。 10. 如果矩阵A和B相似，那么 和 也相似。 11. 如果n2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当 伴随矩阵的秩当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1 时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1 时，其伴随矩阵为0。伴随矩阵的特征值设矩阵A在复域中的特征值为 （即为特征多项式
27、的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为。显示隐藏证明这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。分3种情况讨论： 如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有：。只需证明A的伴随矩阵的特征值为。考察矩阵： 由于，因此因此可以看到的特征多项式为，因此命题成立。 如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。 如果A的秩等于n-1，即是说A恰好有一个特征值为0，不妨设其为1。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它有n-1个特征值为0。设剩余的一个为，则其迹数为。另一方面，A的伴随
28、矩阵的迹数为 这个和恰好等于，即等于（其余都是0）。综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。伴随矩阵和特征多项式设p(t) = det(AtI)为A的特征多项式，定义，那么：, 其中pj是p(t)的各项系数：伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。置换矩阵在数学中的矩阵论里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。严格定义每个n元置换都对应着唯一的一
29、个置换矩阵。设 为一个n元置换：给出其映射图：它对应的n n的置换矩阵P是：在第i横行只有(i)位置上系数为1，其余为0。即可以写做：其中每个表示正则基中的第j个，也就是一个左起第j个元素为1，其余都是0的n元横排数组。由于单位矩阵是置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。性质对两个n元置换 和 的置换矩阵P 和P，有一个置换矩阵P 必然是正交矩阵（即满足），并且它的逆也是置换矩阵：用置换矩阵P左乘一个列向量 g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量：用置换矩阵P右乘一个行向量 h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量：置换矩阵与置换设Sn是n次对称群，由于n置换一共有n!
30、 个，n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射Sn A GL(n, Z2)是一个群的忠实表示。对一个置换，其对应的置换矩阵P是将单位矩阵的横行进行 置换，或者将单位矩阵的横行进行 1 置换得到的矩阵。置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。置换矩阵P的迹数等于相应置换的不动点的个数。设 a1、a2、ak 为其不动点的序号，则ea1、ea2、eak 是P的特征向量。由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵P都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。P的行列式就等于 的符号差。例子对应于置换 = (1 4 2 5 3)的置换矩阵P 是给定一个向量 g，推广置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：一个mn的0-1矩阵 P 是置换矩阵当且仅当 这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数：一个n阶的方块矩阵 P 是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零。 这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果。