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1、高中理科数学解题方法篇（不等式2）第 1 页 共 42 页 不等式 发挥经典价值 提高复习效率 何为数学经典题目,数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 。每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验;每个经典题目，总是蕴含着某种重要的数学思想和方法;每个经典题目，总有其独特的教育价值和教学功能;每个经典题目，都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典，本文以其中一道经典题目为例，说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用，以期抛砖引玉。 题目 已知，且，求证。 本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修不等式选讲人教版
2、第十页习题第11题。这是一道经典的条件不等式证明题，解题入口宽、方法多样，对本题进行一题多解训练，可达到举一反三触类旁通，解读一题沟通一片以点带面的复习效果。 证法1(配方法)因为，所以， 所以 ， 所以，当且仅当且且，即时等号成立。 点评 本解法先消元，将表示成只含的二次式，并将此式当作是以为主元的二次三项式进行配方，再将配方后余下的部分再次配方，然后用实数平方的非负性，从而使问题得到解决。 证法2(构造二次函数)因为，所以， 于是， 第 2 页 共 42 页 故当时，最小，此时， 所以， 所以，当且仅当时等号成立。 点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元，将表
3、示成只含的二次式，然后选为主元，将此式当作是含有参数的以为自变量的二次函数，求出的最小值，的最小值就是的最小值，从而使问题获解。 证法3(用重要不等式)因为 ， 所以，当且仅当时等号成立。 点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。 证法4(用等号成立的条件构造平方和)由所证不等式等号成立的条件得， 即，所以，当且仅当时等号成立。 证法5(用等号成立的条件构造配偶不等式)由所证不等式等号成立的条件可构造如下不等式:，三式相加得，第 3 页 共 42 页 ，所以，当且仅当时等号成立。 点评 证法4和证法5注意到等号成立的条件是问题获得简解的关键之所在。 证法6(用柯西不等式)由三元柯西不等
4、式得，即。 证法7(用向量数量积不等式)构造向量，由向量数量积不等式得，即，当且仅当时等号成立。 证法8(利用直线与圆有公共点解题)把当作参数当作变量，则即可看作是直角坐标系下的一条直线的方程，设则，此方程可看作是圆心是坐标原点半径为的圆的方程。因为这两个方程所组成的方程组有解，所以直线与圆有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径。故，即有解，所以，解得则，即。 点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静。根据“方程组有解，则直线与圆有公共点，从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式，进而使问题得以解决。 证法9(三角换元法)设则，设第 4 页 共 42 页 。由得，
5、所以，由正弦函数的有界性得，两边平方解，故。 得证法10(构造概率模型)设随机变量取值为时的概率均为，因为，所以，所以，即，当且仅当时等号成立。 证法11(用琴生不等式)构造函数，因为是上的凹函数，由琴生不等式得，即，所以，当且仅当时等号成立。 证法12(用点面距离公式)可看作是空间直角坐标系下的一个平面的方程，可看作是这个平面内任意一点到原点O的距离的平方，由垂线段最短知，当OP与平面垂直时，OP最短从而最小，由点面距离公式得点O到平面的的距离为:，所以，即。 凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容，但与初等函数关系密切，是初等数学与高等数学的衔接处，点面距离公式是大学空间解析几何的内容，但可
6、当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广，这些知识可开阔学生的视野，类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。 以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题，消元法、配方法、构造法，函数和方程思想，化归和转化思想，数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法，在以第 5 页 共 42 页 上十二种解法中体现得淋漓尽致。一题多解有利于培养发散思维、求异思维和综合运用多种知识解决问题的能力，有利于拓宽解题思路，有利于创造性思维的培养。发挥经典以一当十，解析一题复习一片。对二元一次不等式确定平面区域的探究 湖北省阳新县高级中学 邹生书 人教版高二数学第二册(上)二元一次不等式
7、确定平面区域属于新增内容，大纲要求是:了解二元一课次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式(组)。笔者对这部内容作了一些研究，本文将得出的重要结论及其在解题中的应用与大家进行交流，希望能对这节内容的教学和学习有所帮助。 :已知二元一次函数 命题1?点P1(x1,y1)在直线Ax+By+C=0上 0，则有 ?若B?点P1(x1,y1)在直线Ax+By+C=0上方 x1,y1)在直线Ax+By+C=0下方 点P1(?若A?0，则有 点P1(x1,y1)在直线Ax+By+C=0右方 点P1(x1,y1)在直线Ax+By+C=0左方 分析:?易证，?、?证法类似，下面对?进行证明。 证明:?
8、当B?0，直线把坐标平面分成上、下两个半平面. 设P1(x1,y1)是坐标平面内不在l上的任意一点,作直线x=x1交l于点P0，设P0的坐标为(x1,y0). ? 点 ? ? 即 由此可知 第 6 页 共 42 页 点 点 根据这个命题不难得出直线l同侧上的两个点对应的二元函数的值符号相同，异侧上的两个点对应的二元函数值符号相反，即有如下结论: 命题2:已知二元一次函数 ?点在直线 ?点在直线 应用举例: 1、快速准确地确定二元一次不等式所表示的平面区域. 例1:(人教版高二数学第二册第64页例1)画出不等式表示的平面区域. 解法1:异号，由命题1知不等式表示直线下方的平面区域，如图所示 解法
9、2:异号，由命题1知不等式表示直线左方的平面区域，如图所示 小结:二元一次不等式确定平面区域的方法: ?点判别法:直线定边界，一点定区域，合则在，不合则不在; ?B符号判别法:直线定边界，符号定区域，同上异下; ?A符号判别法:直线定边界，符号定区域，同右异左. 由例1可知，教材采用点判别法，需要取点，计算函数值，判断点与直线的位置关系再确定平面区域，而符号判别法只需由A(或B)的符号与不等式的符号的异同直接确定平面区域，相比之下显得快速准确、实用. 2、巧妙简捷地求方程含有参数的直线与已知线段相交时参数的取值范围. 例2:直线为端点的线段相交，则k的取值范围是_. 分析:这是一道一题多解的好
10、题，但有的解法运算量大，有的解法容易出错，若用命题第 7 页 共 42 页 2的结论可轻而易举地得出正确结果，解法如下: 解:设 直线 练习题: 1、表示图中阴影部分的平面区域内的点(x,y)所满足的约束件是_. 2、直线在第一象限，则k的取值范围是_. 答案:1、 2、 错解剖析得真知(十四)不等式的应用 一、基础知识导学 +1.利用均值不等式求最值:如果a，a?R，那么 12.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类:一是建立不等式解
11、不等式;二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析 不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是: 第 8 页 共 42 页 1(问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长. 2(函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数” 为
12、模型的新的形式. 三 经典例题导讲 例1求y=的最小值. 错解: y=,2 y的最小值为2. 错因:等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可. 正解:令t=,则t,于是y= 由于当t时，y=是递增的，故当t,2即x=0时，y取最小值. 22例2m为何值时，方程x+(2m+1)x+m,3=0有两个正根. 错解:由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根. 错因:忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0. 正解:由题意: 因此当时，原方程有两个正根. 例3若正数x，y满足，求xy的最大值( 解:由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以 第 9 页 共 42
13、 页 当且仅当6x=5y时，取“=”号( 因，则，即，所以的最大值为. 例4 已知:长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值( 分析:经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值(因此最大值一定要用S来表示(首要问题是列出函数关系式(设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc(由2于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形(可以利用平均值定理先求出y的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了( 解:设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则 y=abc，2ab+2bc+2ac=S( 而 22y=(abc)=(ab)(
14、bc)(ac) 2当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y有最小值 答:长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为. 说明:对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健. 四、典型习题导练 321.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m的造价2为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元, 2.证明:通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 3.在四面体P-ABC中，?APB=?BPC=?CPA=90?，
15、各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值( 第 10 页 共 42 页 24. 设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相 交，试证明对一切R都有. 5(青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例, 6(轮船每小时使用燃料费用(单位:元)和轮船速度(单位:海里,时)的立方成正比(已知某轮船的最大船速是18海里,时，当速度是10海里,时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用
16、最低, 寻求二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法 简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式(组)所对应的平面区域(下面介绍一些方法来快速准确地确定二元一次不等式(组)所表示的平面区域( 方法一:直线定界，特殊点定域 找出一个二元一次不等式(组)在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是: ?画直线?取特殊点?代值定域?求公共部分 ?画直线?作出各不等式对应方程表示的直线(原不等式带等号的作实线，否则作虚线); ?取特殊点?平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点;当直线过原点时我们选取特殊点或(坐标轴上的点)，当直线不过原点时我们选取原点做特殊点; ?代
17、值定域?将选取的特殊点代入所给不等式:如果不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域;如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边( 第 11 页 共 42 页 ?求公共部分?不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分( 例1 画出不等式组所表示的平面区域( 解析:?画直线:不等式对应的直线方程是;不等式对应的直线方程是;在平面直角坐标系中作出直线与(如图)( ?取特殊点:直线过原点，可取特殊点;直线不过原点，可取特殊点( ?将代入，即，不等式不成立，直线另一侧区域就是不等式所表示的平面区域;将代入，即，不等式成立，则原点所
18、在区域就是不等式所表示的平面区域(图一) ?求公共部分:如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域( 方法二:法向量判定法 由平面解析几何知识知道直线(不同时为0)的一个法向量为(以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论: (1)不等式()，不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域;(大于同向) ()，不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域;(小于反向) (2)不等式第 12 页 共 42 页 例2 画出不等式组所表示的平面区域( 解析:?不等式对应的直线方程是，法向量;不等式对应的直线方程是，法向量;在平面直角坐标系中作出直线与及其相应的法向量(如图)( ?由于不等式(
19、)，平面区域是法向量指向的区域(图一);不等式()，平面区域是法向量反向的区域(图二)( ?然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域( 方法三:未知数系数化正法 直线(不同时为0)含有两个未知数，于是我们可以将未知数的系数分为两类:项系数与项系数来研究( (1)项系数化正法:顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时(移项)将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置(规定:轴正方向所指的区域为直线的上方;反之为下方)有结论: 项系数正值化:上;下( 例3 画出不等式组所表示的平面区域( 解析:?不等式对应的直线方程是;不等式对第 13 页 共 42 页 应的直线方
20、程是;在平面直角坐标系中作出直线与(如图)( ?将不等式组中每个不等式项系数正值化，得或(移项)( ?关于的不等式()即(或者)，直线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域(图一);关于的不等式()即，直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域(图二)( ?然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域( (2)项系数化正法:同(1)一样，不等号两边同时(或移项)将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置(规定:轴正方向所指的区域为直线的右方;反之为左方)有结论: 项系数正值化:右;左( 可结合例3来对项系数化正法进行理解( 上述方法中，方法一是寻找二元一次不等式所表示
21、的平面区域的常规方法，思维回路较长，适合对理论的学习，但要快速准确地解决简单的线性规划问题就必须掌握方法二或方法三中之一( 目标函数几何意义在变化 线性规划是高中数学的重要内容之一，它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题(由于目标函数在不断地变动，呈现出多样性和隐蔽性，所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化(下面举例说明: 一、目标距离化( 第 14 页 共 42 页 例1(已知实数x，y满足,则的最大值是 分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点(1，1)的距离的平方，画出可行域可求得 解:如图，作出可行域，则可知行域内点(4，1)到可点(1，1)
22、的距离最大，从图形中可只是3，故( 例2(已知实数满足，求的最大值( 分析:这个目标函数就显得有点“隐蔽”了，注意到目标函数有个绝对值符号，联想到点到直线的距离公式的结构特点，那么就可顺利解决了(，也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍( 解:作出可行域，(如上图)可知可行域内的点(7，9)到直线的距离最大，所以 第 15 页 共 42 页 二、目标角度化( 为直角坐标系原点，的坐标均满足不等式组，则已知的最小值等于 ( 分析:作出相应的可行域，可知越大，则越小，所以可知在(1，7)(4，3)此时与原点O的张角最大 解:画出可行域，不失一般性，不妨设P(1，7)，Q(4，3);则，则，所以(
23、三、目标斜率化( 第 16 页 共 42 页 例4(已知变量满足约束条件，则的取值范围是_. 的结构特征，令人想到平面内的两点间的斜率公式，可得表示可行域分析，观察内的点与原点之间的斜率，结个可行域可得其取值范围是，具体的过程留给聪明的读者( 四、目标投影化( 例5(已知点(O为原点)的最大值为 ( 分析:这个目标函数更为隐蔽了，表示的是是方向上的投影( 解:作出可行域，则可知P(5，2)，则=(5，2)，则在上的投影是PQ，可看作点P到直线是距离 第 17 页 共 42 页 五、目标面积化( 例6已知实数满足，求的最大值( 分析:表示可行域内的点(正好在第一象限)到两坐标轴距离的乘积的两倍，
24、即过该点作两坐标轴的垂线，长线段与两坐标轴所围成的面积的2倍，可知当时取得最大值，最大值是 同学们应该知道目标函数是直线的截距的这种类型的基础上，还要知道距离、投影、斜率、角度、面积等几种常见的形式(这样我们的在解决线性规划问题上才能心中有“形”(下面提供部分习题请同学们完成( (1)若函数是定义在上的函数，则函数的值域是( ) A( B( C( D( (2)约束条件，目标函数的最小值是 (3)已知(是坐标原点)的最大值为 第 18 页 共 42 页 答案:(1)D (2) 0 (3)5 错解剖析得真知(十三)简单的线性规划 一、知识导学 1. 目标函数: , ,，,是一个含有两个变 量 ,
25、和, 的 函数，称为目标函数( 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点( 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为4.线性规划问题(只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决( 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划( 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最
26、少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线( 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则，直线的另一侧为所求的平面区域(若直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验( 3. 平 移 直 线 ,k, ，,时，直线必须经过可行域( 4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点( 5.简单线性规划问题就是求线性目标函
27、数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的:(1)寻找线性约束条件，线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解. 三、经典例题导讲 第 19 页 共 42 页 例1 (画出不等式组表示的平面区域. 错解:如图(1)所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域. 错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了. 正解:如图(2)所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域. 例2 已知1x,y2,且2x+y4,求4x,2y的范围. 错解:由于 1x,y2 ?, 2x+y4 ?, ?+? 得32x6
28、? ?(,1)+? 得:02y3 ?. ?2+?(,1)得. 34x,2y12 错因:可行域范围扩大了. 正解:线性约束条件是: 令z,4x,2y， 画出可行域如图所示， 第 20 页 共 42 页 由得A点坐标(1.5，0.5)此时z,41.5,20.5,5. 由得B点坐标(3，1)此时z,43,21,10. 54x,2y10 22 例3 已知,求x+y的最值. 错解:不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部(包括边界)， 22令z= x+y 由得A点坐标(4，1)， 2222此时z,x+y,4+1,17， 第 21 页 共 42 页 由得B点坐标(,1，,6)， 2222+(,6),37
29、， 此时z,x+y,(,1)由得C点坐标(,3，2)， 2222此时z,x+y,(,3)+2,13， 2222 当时x+y取得最大值37，当时x+y取得最小值13. 错因:误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值. 正解:不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部(包括边界)， 22令z= x+y,则z即为点(x，y)到原点的距离的平方. 由得A点坐标(4，1)， 2222此时z,x+y,4+1,17， 由得B点坐标(,1，,6)， 2222此时z,x+y,(,1)+(,6),37， 由得C点坐标(,3，2)， 2222此时z,x+y,(,3)
30、+2,13， 2222而在原点处，此时z,x+y,0+0,0， 2222 当时x+y取得最大值37，当时x+y取得最小值0. 32例4某家具厂有方木料90m，五合板600m，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书3232桌需要方木料0.1m，五合板2m，生产每个书橱需要方木料0.2m，五合板1m，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少,如果只安排生产书橱，可获利润多少,怎样安排生产可使得利润最大, 第 22 页 共 42 页 分析: 数据分析列表 书桌 书橱 资源限制 3木料(m) 0(1 0(2 90 2五合板(m) 2 1 600 利润
31、(元/张) 80 120 计划生产(张) x y 设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为 目标函数z=80x+120y 作出上可行域: 作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A(100，400)时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为 z=80100+400120=56000(元) max若只生产书桌，得0x?300，即最多生产300张书桌，利润为 z=80300=24000(元) 若只生产书橱，得0,，先假设,?,，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定,.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语
32、时，可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题; (2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如,;等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为
33、简.如,+,=1，可以用,=1-,，,=,或,=1/2+,，,=1/2-,进行换元. 二、疑难知识导析 1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向. 2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握;后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法
34、证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点. 3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语. 4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾. 5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用. 三、经典例题导讲 例1 已知ab(ab),比较与的大小. 错解: ab(ab)，b(ab)， (1)当a、