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1、f(x)dx 00。an of (x)dx。题目1证明题 容易d x证明 (x t) f (t)dt f(x) f(a) dx a题目2证明题 容易利用积分中值定理证明:lim 4 sinn xdxn 0 0题目3证明题一般设函数f(x)在a,b内可导，且f(a) 0,a 证明：在a,b内至少存在一点使f ()题目4证明题 一般设f (x)f (x a)，na证明：当n为正整数时o f (x)dx题目5证明题 一般10xn(1 x)mdx1证明：xm(1 x)ndx0题目6证明题 一般设f (x)在a,b上有定义,且对a,b上任意两点x, y, 有f (x) f(y) x y.则f (x)在a
2、,b上可积,且f (x)dx (b a) f (a)-(b a)2。2题目7证明题一般设f (x)在a,b上的连续，在(a,b)内可导,且f(a) f (b)0.b2证明:4 f(x)dx M(b a),其中M sup f (x)aa x b题目8证明题一般设f (x)在a,b上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点b使 f(x)dx f(x)dx2ba f(x)dx 。1题目9证明题证明：02 si nn 1xdx0刁 si nnxdx0题目10证明题 求证丄-般dx0,234 x x2题目11证明题一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭 区间上积分为零，证明f(x
3、)在(a,b)内恒等于零。题目12证明题 一般 若函数f(x)在0,1上连续，a 321 a2证明:ox f(x )dx xf (x)dx (a 0)。题目13证明题一般设函数f(x)和g(x)在a,b上连续，b2 b 2b 2证明:f(x)g(x)dx2f 2(x)dx g2(x)dxaaa题目14证明题一般设f (x)在0,1上连续，sin )d证明：02 f (sin2 )cos d04 f(sin2 )(cos题目15证明题一般设f(x)在a,b上可导,且f (x) M, f(a) 0,bMe证明:a f (x)dx M (b a)2题目16证明题一般设 f(x)在0,2a,(a 0)
4、上连续，2aa证明：f(x)dx 0f(x) f(2a x)dx题目17证明题一般设k为正整数，证明:2(1) cos kxdx(2) sin 2kxdx题目18证明题一般f(0) 1.设f(x)在0,1上有一阶连续导数且f(1)1 2试证：。f (x) dx 1。题目19证明题一般若m为正整数，证明：02cosmx sinmxdx2 m2 cos xdx0若函数f(x)在区间a,b上连续，bb贝f (x)dx (b a) a fa (b a)xdx题目21证明题 一般设函数f(x)在0,1上连续,证明：02 f (cosx)dxf(cosx )dx。题目22证明题 一般x若函数f(x)在R连
5、续，且f(x)f(t)dt,则f(x) 0a设f(x)是以 为周期的连续函数，2证明：0 (sinx x)f (x)dx 0 (2x题目24证明题一般设f (x)在0,1上连续且单调递减， 试证明:对于任何q 0,1,都有不等式q1、o f (x)dx q f (x)dx成立。题目25证明题一般设f (x)在a,b上单调增加.且f (x)0.证明:(b a) f (a) f (x)dx (b)f (x)dxf(b)2a题目26证明题一般设函数f(x)在a, b上连续且单调递增。F(x)x b)F(a)f(a),证明：F(x)在a,b上单调增.题目27证明题一般设f (x)在a,b上二阶可导且f
6、 (x)0,证明：f (x)dx (b a)f()。，证明函数题目28证明题一般设f (x)在a,b上连续，在a,b可导，且f (x)F(x)f(t)dt试证：如果f(x)在a,b上连续，且对于一切x a,b, f(x) 0-一 b同时至少存在一点a, b,使f( ) 0,贝Vf (x)dx 0。a题目30证明题一般试证 f (c x)dxc af (x)dx。c b题目31证明题一般设函数f(x)在0,1上可微，且满足等式:1f (1) 2xf(x)dx 0试证在(0,1)内至少存在一点，使f ()f()设f(x)在a,b上连续，并且对于每一个在a,bb上的连续函数g(x).都有 g(x)f
7、(x)dx 0a证明：f (x)0(a x b)。题目33证明题难设函数f (x)在a,b上有连续导数f (x，且f (a) 0,bb a b 2贝yf (x) f (x)|dxa f (x) dx。题目34证明题难设f(x)在a,b上二阶连续可微，其中a 0 b,则在该区间上必存在一个，使f(x)dxa2f (a)1 2bf(b) af (a) -b2 f (b)133(b3 a3)f ( o) o3!题目35证明题难若f (x)关于x T对称，且a T b,bb2Tb则 a f(x)dx 2 T f(x)dx a f (x)dx试证I1-4 dx1 -1 -4d-题目37证明题难证明奇函数
8、的一切原函数皆为偶函数, 偶函数的原函数中有一为奇函数。设f(x)在a,b上连续，且f(x) 0,又F(x)f(t)dt证明：F(x) 0在 a,b内有且仅有一个实根题目39证明题难aa2 1aa2 1证明:当 a 1 时，有f(x2 -y)- dxf (x 一)- dx1x2 x 1x x题目40证明题难若函数f (x)在0,连续，且m f (x)贝贝：limx1 x-0 f(t)dtx 0A。A,题目41证明题 难b证明：若 f (x)dx 0贝Vf(x) 0 x a,b。a设函数f(x)在a,b上连续，1 x证明:lim f (t h) f(t)dt f (x) f (a) (a x b)。 n 0 h a题目43证明题难设f(x)处处二阶可导，且f (x)0又u(t)为任一连续函数1 a1 a证明：一 f u(t)dtf u(t)dt(a 0)。a 0a 0题目 44证明题难证明：若函数f(x)ft0,) 一致连续，且无穷积分0 f(x)dX攵敛，贝V Jim f(x) 0