《导数及其应用综合检测.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数及其应用综合检测.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1. (2010全国n文，7)若曲线 尸x2 + ax+ b在点(0, b)处的切线方程是 x y+ 1 = 0,则 ( )For pers onal use only in study and research; not for commercial useA . a= 1, b= 1B. a = 1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a= 1, b = 1答案A解析y = 2x + a, y |x=0= (2x+ a
2、)|x= 0= a= 1,将(0, b)代入切线方程得b = 1.2一物体的运动方程为s= 2tsi nt+ t,则它的速度方程为()A . v= 2sint + 2tcost+ 1B. v = 2sint + 2tcostC. v = 2sintD. v= 2sint + 2cost + 1答案A解析因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y= s(t)在t0的导数，S = 2sint +2tcost+ 1，故选 A.3.曲线y= x2+ 3x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A. 4B. 5C. 6D. 7答案D解析由导数的几何意义知，曲线y= x2+ 3x在点A(2,10)处的切线的
3、斜率就是函数y=x2 + 3x在x= 2时的导数，y |x=2= 7,故选D.4.函数 y= x|x(x 3)|+ 1()A.极大值为f(2) = 5,极小值为f(0) = 1B.极大值为f(2)= 5,极小值为f(3)= 1C.极大值为f(2)= 5,极小值为f(0)= f(3) = 1D.极大值为f(2) = 5,极小值为f(3) = 1, f( 1)=3答案B解析y= x|x(x 3)|+ 1x3 3x2 + 1(x3)=5x3+ 3x2+ 1 (0 w XW 3)3x2 6x (x3)3x2+ 6x (0 xw 3)x变化时，f (x), f(x)变化情况如下表:x(m, 0)0(0,
4、2)2(2,3)3(3,+R )f (x)+0+0一0+f(x)无极值z极大值5极小值1二 f(x)极大=f(2) = 5, f(x)极小=f(3) = 1故应选B.5. (2009 安徽理，9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x) = 2f(2 x) x2+ 8x 8,则曲线 y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程是()A . y=2x 1B. y = xC. y = 3x 2D. y= 2x+ 3答案A解析本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式. f(x) = 2f(2 x) x2+ 8x 8, f(2 x)= 2f(x) x2 4x+ 4, f(x)
5、= X2, f (x)= 2x,曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为2,切线方程为y 1 = 2(x 1),二y= 2x 1.6函数f(x)= x3+ ax2+ 3x 9，已知f(x)在x= 3时取得极值，则 a等于()A 2B 3C. 4D. 5答案D2解析f (x) = 3x + 2ax+ 3, f(x)在x= 3时取得极值， x= 3 是方程 3x2 + 2ax+ 3= 0 的根， a= 5,故选 D.7.设f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数.当x0, 且g( 3) = 0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A . ( 3,0) U (3,+ )B
6、. ( 3,0) U (0,3)C. ( s, 3)U (3,+s )D. ( s, 3) U (0,3)答案D解析令 F(x) = f(x) g(x),易知 F(x)为奇函数，又当 x0 , 即F (x)0，知F(x)在(s , 0)内单调递增，又 F(x)为奇函数，所以 F(x)在(0 ,+s)内也 单调递增，且由奇函数知 f(0) = 0, F(0) = 0.又由 g( 3) = 0，知 g(3) = 0 F( 3) = 0，进而 F(3) = 0于是F(x) = f(x)g(x)的大致图象如图所示 F(x) = f(x) g(x)0 的解集为(一s, 3) U (0,3)，故应选 D.
7、&下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A .B .C.D .答案B解析不正确；导函数过原点，但三次函数在x= 0不存在极值； 不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负.故应选 B.9. (2010湖南理,A . - 2ln2B. 2ln2C. ln2D. ln2答案D1解析因为(In x) = x,所以4ldx=-2X4In x|2= In4 In2 = In2.10.已知三次函数f(x) = 3x (4m 1)x + (15m 2m 7)x+ 2 在 x ( ,+m )是增 3函数，贝U m的取值范围是()A . m4B. 4m 2C. 2
8、m4D. 以上皆不正确答案D2 2解析ff (x) = x 2(4m 1)x+ 15m 2m 7,由题意得 x 2(4m 1)x+ 15m 2m 70 恒成立，= 4(4m 1) 4(15m 2m 7)2 2=64 m 32m+ 4 60m + 8m + 282=4(m 6m+ 8) 0, 2 mW 4，故选 D.11. 已知f(x)= x3 + bx2 + cx+ d在区间1,2上是减函数，那么 b + c( )15a .有最大值y有最大值-152C.有最小值152D .有最小值152答案B2解析由题意 f (x) = 3x + 2bx+ c 在1,2上，f (x) w 0 恒成立.f所以丿
9、f(1) w 0(2) 0 即4 b + c+ 12 W 0令 b + c= z b = c+ z,如图过A 6,- 得z最大，最大值为b + c= 6 2= I故应选B.12. 设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f (x)g(x) f(x)g (x)0,则 当axf(b)g(b) B f(x)g(a)f(a)g(x) C. f(x)g(b)f(b)g(x) D f(x)g(x)f(a)g(x) 答案C 解析令F(x) =器f (x)g(x) f(x)gf(x)、g(x)是定义域为R恒大于零的实数 F(x)在R上为递减函数,当 x (a, b)时,g(x) g(b) f(
10、x)g(b)f(b)g(x).故应选 C.、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)卢一 113. |dx(11 + 5x)答案7_72解析廿1取 F(x)=-2,10(5x+ 11)丿-233从而F (x) =1(11 + 5x)则 一- a-2, x (0 ,+s )恒成立， a 0. dx 3= F(- 1)- F(一2) 丿一2 (11 + 5x)1 1117=一 2+2 = 一 =10X 6 10X 110 360 72axx - 114. 若函数f(x)=的单调增区间为(0, +m )，则实数a的取值范围是 x答案a 0f 1 1解析f (x) =/
11、 = a+ 2，1由题意得，a +0,对x (0,+s)恒成立，n + 1*15. （2009陕西理，16）设曲线y= x （n N ）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为Xn，令an= IgXn,贝U 81 +玄鸟+十玄99的值为 .答案2解析本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质.k= y |x= 1 = n+ 1,切线 I: y 1 = (n+ 1)(x 1),人nn令 y = 0, x=, an= Ign+ 1n+ 1.原式=|gl + |g2+.+ 严2 3100=|glx 2X X2399 = |1100 = lg10016.如图阴影部分是由曲线2答案3+ In2
12、y2=x,解析由 1 ，得交点A(1,1)|y=_xx= 2由y=1x得交点B 2, 2 .故所求面积=3x|(1 + In x|2 = + In2.三、解答题(本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 12 分)(2010 江西理，19)设函数 f(x) = lnx+ln(2 x) + ax(a0).当a = 1时，求f(x)的单调区间；1若f(x)在 (0,1上 的最大值为2求a的值.解析函数f(x)的定义域为(0,2),+ a,x2+ 2(1) 当a = 1时，f (x)=，所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为x(2 x)(
13、.2, 2);2 2x当xC (0,1时，f (x)=x(2)+a0,1即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1) = a,因此a=18. (本题满分12分)求曲线y= 2x x2, y= 2x2 4x所围成图形的面积.y= 2x x2,解析由 2得 X1= 0, X2 = 2.y= 2x 4x由图可知，所求图形的面积为S= 2(2x x2)dx+ | -2(2x2 4x)dx|= 2(2x x2)dx 2(2x2 0 0 0 04x)dx.因为(2 3x3) = 2x x2,gx3 2x2 = 2x2 4x,所以 S= x2 X320若曲线y= f(x)在点(2
14、, f(2)处与直线y= 8相切，求a, b的值；求函数f(x)的单调区间与极值点.分析考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想.2解析(l)f (x)= 3x -3a.因为曲线y= f(x)在点(2, f(2)处与直线y= 8相切，f=0,3(4 a) = 0,所以即f(2) = 8.8 6a + b = 8.解得 a= 4, b= 24.2(2) f (x) = 3(x a)(a 工 0).当a0，函数f(x)在()上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当 a0 时，由 f (x) = 0 得 x= a.当x( a, a)时，f (x)0，函数f(x)单调递增；当x
15、( a, a)时，f (x)0 ,函数f(x)单调递增.此时x= a是 f(x)的极大值点，x= , a是f(x)的极小值点.1 220. (本题满分12分)已知函数f(x) = x + lnx.(1) 求函数f(x)的单调区间；1 22 3求证：当x1时，2x + Inx0,1 f (x)= x+ -，故 f (x)0,入 f(x)的单调增区间为(0,+ a ).2 312设 g(x) = 3x ?x lnx, g (x) = 2x2 x1,入2(x 1)(2x + x+ 1)当 x1 时，g (x)=-0,入 g(x)在(1 , + a)上为增函数， g(x)g(1) = 0,61 o2
16、Q当 x1 时,2x + Inx m, 即卩 3x2 9x+ (6 m) 0 恒成立.3 3所以= 81 - 12(6 m) 0，得mW 4，即m的最大值为一才.因为当 x0 ;当 1x2 时，f (x)2 时 f (x)0.5所以当x= 1时，f(x)取极大值f(1) = 2 a,当x = 2时，f(x)取极小值f(2) = 2 a.5故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)= 0仅有一个实根，解得 a?.3222. (本题满分14分)已知函数f(x) = x + ax + 1(a R).(1) 若函数y= f(x)在区间0, 3上递增，在区间 3,+m 上递减，求a的值；(2) 当x 0
17、,1时，设函数y= f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为0,若给定常数a 3，+m，求0的取值范围；(3) 在(1)的条件下，是否存在实数m,使得函数g(x)= x4 5x3 + (2 m)x2 + 1(m R)的图象与函数y= f(x)的图象恰有三个交点.若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由.解析(1)依题意f 2 = 0,由 f (x) = 3x2 + 2ax,得一32+迅=0,即 a=1.2 ( a a2当 x 0,1时，tan0= f (x)= 3x + 2ax= 3 x + 孑由 a 3，+ m ,得 a 1, + m . 当a 1, 1 ,即 a 3, 3 时,F (
18、X)max=詈,f(X)min = f(0) = 0.2此时 0 tan (X 33a 当 3 (1 , + m )，即 卩 a (3,+ 8 )时，f (X)max= f (1) = 2a 3, f (x)min = f (0) = 0,此时，0X tan (X 2a 3.3 -a2q又( 0, n , 当23 时，(0, arctan(2a 3).(3) 函数y= f(x)与g(x)= x4 5x3 + (2 m)x2+ 1(m R)的图象恰有3个交点，等价于方程x3 + x2 + 1 = x4 5x3 + (2 m)x2 + 1 恰有 3 个不等实根， x4 4x3 + (1 m)x2
19、= 0,显然x= 0是其中一个根(二重根)，方程x2 4x+ (1 m) = 0有两个非零不等实根，则= 16 4(1 m)011 m 丰 0 m 3 且 m 1故当n 3且nr51时，函数y = f(x)与y= g(x)的图象恰有3个交点.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymoiflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.以下无正文