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1、湖北省部分重点中学高三年级联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若设，则（ ）A. 2iB. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据求出，结合复数的乘法运算即可.【详解】由，得，所以.故选：B2. 已知则等于（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合对应区间求即可.【详解】26 4，又，.故选：C3. “ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线垂直
2、求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的充分不必要条件.故选：A.4. 曲线的方程是，则曲线的形状是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 线段D. 直线【答案】B【解析】【分析】由方程的几何意义判断【详解】方程表示动点到两定点的距离之和为4而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆故选：B5. 在下列命题中，假命题（ ）A. 若平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，则B. 若平面内任一直线平行于平面，则C. 若平面平面，任取直线l，则必有lD. 若平面平面，任取直线l，则必有l【答案】C【解析】【分析】对于A：利用线面垂直的定义和面面垂直的判定定理进行
3、证明；对于B：利用面面平行的定义进行证明；对于C：在正方体中取反例否定结论；对于D：利用线面平行的定义进行判断.【详解】对于A：根据线面垂直的定义，若平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，则这条直线垂直于平面，又有面面垂直的判定定理，即可证明.故A成立.对于B：若平面内任一直线平行于平面，则直线与平面没有公共点，所以平面与平面没有公共点，所以. 故B成立.对于C：如图示：在正方体中取面为平面、面为平面和直线为直线l，满足平面平面，直线l，但是l. 故C不成立.对于D：若平面平面，则平面与平面没有公共点，任取直线l，则直线l与平面没有公共点，所以l. 故D成立.故选：C6. 如图，正六边形的边
4、长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，则（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，从而得出答案.【详解】解：连接，在正六边形中，正六边形的边长为2，因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，所以当在上运动时，取得最大值，为，当移动到点时，取得最小值，为0 ，故选：D.【点睛】7. 已知且，则=（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的
5、范围即可得解.【详解】因，则，因，则，又，有，于是得，因此，所以.故选：C8. 已知数列an的前n项和为Sn，且2anSn2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意nN*，不等式kTn恒成立，则实数k的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.【详解】依题意，当时，两式相减并化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，.，所以，所以的取值范围是.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验
6、，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：序号频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.552410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506根据以上信息，下面说法正确的有（ ）A. 试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性B. 试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；C. 随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固
7、定值附近D. 我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率【答案】AC【解析】【分析】根据频率和概率的关系判断【详解】A选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好；B错误；随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率，C正确；我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.故选：AC10. 已知函数相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于点中心对称B. 函数
8、在区间上的值域为C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】化简函数解析式根据周期求出，利用正弦型函数的对称性判断A，根据正弦型函数在区间上的值域判断B，由图象的伸缩与平移变换判断C，由三角恒等变换后求值判断D.【详解】由题意，化简得，由题意知周期，得，所以，当时，故A项正确；当时，故，故B项错误；将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，再向左平移个单位，可得，故C项正确；由可得：，于是，故D项正确.故选：ACD11. 已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，
9、则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为B. 的最大值为2C. 直线AB过定点D. 存在点N使为定值【答案】ACD【解析】【分析】设，由此据圆的切线性质表示出，则即可表示出四边形PAMB周长，进而求得其最小值，从而判断A的对错；利用表示出,由此可判断B的对错；根据圆的切线性质表示出切线方程，进而求出AB的直线方程，求其过的定点坐标，可判断C对错；判断C点位于某个圆上，可知出其圆心和C点距离为定值，从而判断D的对错.【详解】如图示：设 ，则，所以四边形PAMB周长为 ，当P点位于原点时，t 取值最小2，故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为，故A正确；由 可得： ，则
10、 ，而 ，则 ,故B错误；设 ，则 方程为： ，的方程为，而在切线，上，故，故AB的直线方程为，当时，即AB过定点 ，故C正确；由圆的切线性质可知 ,设AB过定点为D,则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则 ,则为定值，即D正确，故选：ACD.12. 如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ）A. PQ的长度为定值B. 三棱锥的外接球的半径长为定值C. 三棱锥的体积为定值D. 点M到AB的距离为定值【答案】ABD
11、【解析】【分析】根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出，进而判断A，B；根据，进而判断C；设交于R，则R为CQ的中点，取AB的中点N，然后证明四边形RBNM是平行四边形，进而证明，最后求得答案.【详解】如图，将图形还原为长方体， 因为，所以（易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即，易知，则.A正确；对B，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，则其直径为4，半径为2.B正确；对C，不为定值.C错误；对D，设交于R，则R为CQ的中点，连接MR，取AB的中点N，连接MN，又因为M为PQ的中点，所以，而，故，所以四边形RBNM是平行四边形，则，因为，则.因为AB平面BCDQ，平面BCDQ，所
12、以，则，所以点M到AB的距离为1.D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数在的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求出导数，计算出，由点斜率【详解】，又，切点坐标为，切线方程为：，即故答案为：14. 展开式中系数为_.【答案】60【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，而展开式中含的项为，所以的系数为60.故答案为：60.15. 函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值
13、，即可求a的范围.【详解】由题设，又在 R上的单调递增函数，恒成立，令，则，当时，则递减；当时，则递增.，故.故答案为：.16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为_.【答案】 . ； . #.【解析】【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；由，代入中，即可取出最小值.【详解】设点， .抛物线的焦点为点，由题意知，.故答
14、案为：；.四、解答题：本题共4小题，每小题5分，共20分17. 已知是公差为1的等差数列，且，成等比数列（）求的通项公式； （）求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得的通项公式（2）数列可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解【详解】（1）由题意得，故，所以的通项公式为（2）设数列的前项和为，则，两式相减得， 所以【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题18. 已知ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为（1）求角B的大小；（2
15、）求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量夹角的坐标运算得到再由公式化简得到从而得到结果；（2）由三角形内角关系得到，根据角的范围求值域即可.【小问1详解】 即解得（舍）【小问2详解】由（1）可知，即19. 如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，点E为PD的中点，四棱锥是高为4的正四棱锥.（1）求证：平面EAC；（2）求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明出平面，可得出，延长与交于点，可证明出，由中位线的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；（2）以为原点
16、，直线、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.【小问1详解】证明：连接，与交于点，因为四边形是正方形，所以连接，因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，平面，则，因为，所以平面因为平面，所以延长与交于点，平面，则，为的中点，则为的中点，则，又，所以，所以，所以连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，所以，因为，所以平面.【小问2详解】解：以为原点，直线、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，得，取，得设平面的法向量为，则得，取，得设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为20. 为
17、保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.参
18、考数据：，若，则.【答案】（1），； （2）；.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.(2)利用给定公式直接计算；利用的结论结合二项分布的期望公式计算作答.【小问1详解】根据频率分布直方图知，阅读时间在区间内的频率分别为，所以样本平均数和样本方差分别为9，1.78.【小问2详解】由题意知，则有，由知，可得， 所以Z的均值.21. 已知双曲线的虚轴长为4，直线2xy0为双曲线C的一条渐近线（1）求双曲线C的标准方程；（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证
19、：为定值【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】(1)由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可；(2)设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可【小问1详解】虚轴长为4，即，直线为双曲线的一条渐近线，故双曲线的标准方程为【小问2详解】由题意知，由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，设，联立，得，直线的斜率，直线的斜率，为定值22. 已知函数.（1）若关于的不等式恒成立，求实数的值；（2）设函数，在（1）的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分析
20、可知，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于等式，即可求得实数的值；（2）求得，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得存在唯一的极小值点，再分析出，结合二次函数的单调性可证得结论成立.【小问1详解】解：因为的定义域为，且，.由题意可知，则.当时，则函数在上单调递增，故当时，不合乎题意；当时，由，可得.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，则，故，解得.【小问2详解】解：由（1）可知，则，所以，设，则，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上有唯一零点，在上有唯一零点，且当时，；当时，；当时，.因为，所以时的唯一极小值点,由得，故，由得，因为当时，在取得最小值，由，得，所以.【点睛】关键点点睛：本题考查函数极值点分析，解题的关键在于利用导数分析函数的单调性，在证明，需要注意所满足的等式，结合函数单调性来得出证明.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。试卷地址：在组卷网浏览本卷组卷网（）是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题。微信关注组卷网，了解更多组卷技能 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。钱老师QQ：537008204曹老师QQ：713000635