第四章向量组的线性相关性.doc

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1、第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性是向量组（包括向量空间）中最基础性的概念，本章从解线性方程组出发首先给出线性组合、线性相关、线性无关、向量组等价等概念。并在此基础上给出向量组的极大线性无关组和秩的概念。最后利用向量组的秩及极大无关组研究线性方程组的解及一般向量空间的结构。（本章约10小时）本章重点与难点 重点：1.线性相关无关，组合的判定 2极大线性无关组的判定 3线性方程组解的结构 难点：极大线性无关组的判定4.1向量组的线性相关性重点与难点重点：1.线性相关无关与线性组合的定义与关系 2. 线性相关无关与线性组合的判定一、维向量的概念维向量既可看作三维几何向量的推广，又可看作一

2、个行或列矩阵。在空间解析几何里我们知道，在直角坐标系下任一几何向量都可用一个三元有序数组表示，称为一个三维向量。且向量间有下列加法及数乘运算：令 则可以很自然的将上述三维向量及加法与数乘运算推广到维的情况。定义4.1 一个元有序数组将它们排成一行称为维行向量。也可将它们排成一列称为维列向量。其中称向量的第个分量或坐标；分量全为0的向量称零向量记或。行向量又可看作行矩阵，列向量又可看作列矩阵。行向量和列向量通常看作两个不同的向量。规定向量的加法及数乘运算按矩阵运算进行。行向量只能与行向量相加，列向量只能与列向量相加。令，则，；以后总是规定用黑体字母等表示列向量，而行向量写成列向量的转置，如等。对

3、于每一向量将其所有分量反号，称的负向量，记。即规定a-b=a+（-b）=维向量当如前所述有明显的几何意义，但时已没有几何意义，但确有深刻的实际意义。例如。河流中每一滴水在任一时刻的状态可用时刻的位置坐标及表示，即。飞机在空中的状态通常由下列六个参数决定：机身仰角，机翼转角，机身水平转角，飞机重心在空间位置参数，因此可用一个六维向量表示。给定一个线性方程组其每一个方程的系数及常数项组成一个行向量，这样该方程组对应一个行向量组另外该方程组每一列对应一个列向量，故又对应一个列向量组该方程组可写成向量形式给定一个矩阵同样对应一个维行向量组及一个维列向量组因此该矩阵又可简记为例4.1.1 设向量求满足方

4、程的。解：由解得二、向量组的线性组合引例 考虑线性方程组仔细观察不难发现上述方程组4个方程不是独立的，、可由、表示为=2+， =，我们称、可由、线性表示，或说、是、的线性组合。下面我们利用线性组合来研究方程组等价或同解的问题。因、是、的线性组合。故这时凡满足方程、的解，必满足方程与。即方程组的解必为原方程组的解。一般给定方程组与如果()中每一个方程都可由()中方程线性表示，则称()可由()线性表示，这时凡()的解必为()的解。如果两方程组可相互线性表示，则称两方程组等价。显然等价的方程组必同解。下面我们用向量组来描述上述问题。对于上例所给方程组，对应于向量组显然，该向量组中可相应表示成的线性组

5、合。由此相应给出向量组的线性组合及等价等定义如下：定义4.2.1 设维列向量组若有则称为的线性组合或称可由线性表示。而数称在该向量组下的组合系数。定义4.2.2 设有维列向量组如中每一向量均可由组中向量线性表示，则称向量组可由向量组线性表示。如果两向量组可相互线性表示，则称该两向量组等价。以上是对列向量组定义，对于行向量组可类示定义。显然，当两线性方程组对应的行向量组等价时，该两线性方程组同解。等价向量组有下列三个性质：（）.自反性，即组与自己本身等价；（）对称性，即如组与组等价，则组必与组等价；（）传递性，即如组与组等价， 组与（C）组等价，则必有组与组等价。这些性质利用定义是容易证明的。例

6、4.1.2设问能否由线性表示。解：如能由线性表示，即存在数使成立，因此是非齐次线性方程组的解。代入向量得即上述方程组有解的充要条件是这里由由于故该方程组有解，即可由线性表示，下面求出表示系数。将上述矩阵进一步化成行最简形得 故其通解为例如令得一组解为，即有一般有，即有无穷多种表示方式。从上例看到一般向量可由向量组线性表示的充要条件是非齐次线性方程组有解。三. 向量组的线性相关性给定一个向量组，常常要判断其中是否有向量是其它向量的线性组合，光由线性组合的定义判断是一件很麻烦的事。为了解决这一问题，我们将其变成下面等价的形式。定理4.1 向量组中存在向量是其余向量线性组合的充分必要条件是：存在一组

7、不全为0的数，使证明：必要性.设中有向量是其余向量线性组合，不妨设，改写成，因此，存在一组不全为0的数，使上式成立。充分性.设存在一组不全为0的数，使，因不全为0，不妨设，则，两端同乘，得，因此，可由线性表示。证毕。由此，引出向量组的线性相关与线性无关的概念。定义4.3. 设有维向量组，若存在不全为0的数，使得，则称向量组线性相关，否则称它们线性无关。换言之，向量组线性无关是指任何一组不全为零的数都有，仅当都等于零时，才有成立。利用线性相关的定义，定理4.1可叙述为：维向量组中存在向量是其余向量线性组合的充分必要条件为：该向量组线性相关。例4.1.3 判断向量组是否线性相关。解：线性相关，是指

8、存在一组不全为零的数使。因此，是齐次线性方程组的一组非零解。代入得即上述方程组有非零解的充要条件是的秩小于3。因故有非零解，线性相关。下面求出相关系数，上述方程组的通解为故 从上例看到向量组线性相关（无关）的充要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）。例4.1.4 证明维基本单位向量组线性无关。证明：令即即得，所以线性无关。基本单位向量有许多好的性质，以后还会讲到。例4.1.5已知向量组线性无关，证明向量组，也线性无关。证明：令即因为线性无关，故因上述齐次线性方程组系数行列式故只有零解，即，故，也线性无关。判断向量组的线性相关性除用定义化成齐次线性方程组外，还有一些特殊的判断方法，现介绍如下

9、：（1）.由一个向量组成的向量组，当时，线性相关；当，线性无关。（2）.由两个向量组成的向量组线性相关（无关）的充要条件是对应分量成比例（不成比例）。例如向量是线性相关的。而是线性无关的。（1）、（2）可由定义证之。（3）. 个维向量线性相关（无关）的充要条件是行列式因齐次线性方程有非零解（只有零解）的充要条件是系数行列式即得。（4）.若向量组中有一部分向量组成的子向量组线性相关，则该向量组必线性相关（简言之部分相关则全体相关）；反之，如果向量组线性无关，则其任一子向量组必线性无关（全体无关则部分无关）。证明：设向量组中有一部分向量，不妨设前个向量线性相关，则必存在个不全为零的数使因数组不全为

10、零，故也线性相关。至于定理的后一部分是前面的逆否形式，当然成立。例如，线性相关，则必有也线性相关。推论：含零向量的向量组必线性相关。（5）. 若维向量组中向量个数维数，则必线性相关。考虑齐次线性方程因未知数的个数方程个数，故系数矩阵的秩，故有非零解，从而线性相关。例如任意4个三维向量必线性相关。对于全体三维向量的集合,至多存在三个线性无关的部分组（称极大线性无关向量组以后还将专门讨论），所有含三个以上的部分组必线性相关。下面接着谈线性组合与线性相关的关系。定理4.1已给出了这一关系，但它没有指明线性无关的向量组中哪个向量可由其余向量线性表示，也未指明表示的系数是否唯一。下面定理是定理4.1的进

11、一步深化。定理4.2 设向量组线性无关，线性相关，则可由线性表示，且表示的系数唯一。 证明：因线性相关，故存在不全为零的数使。可证，使用反证法。如设，则不全为0 。上式变成，因不全为0 。故线性相关，矛盾。故。于是可由线性表示。下证表示系数唯一。如设有两种表示 两式相减得 因线性无关，故故表示系数唯一。证毕。利用线性方程组解的定理可证如果可由线性表示，且线性相关,则表示系数不唯一。只有当线性无关时，其表示才是唯一的。证明留给读者。练习4.11.判断题（1）.设线性相关，是一组不全为0的数，则。 （ ） （2）.设线性无关，则对任一组不全为0的数，都有 。 （ ） （3）.设线性相关，则一定可由

12、线性表示。 （ ）（4）.设线性无关，则其中任一向量都不能由其它向量线性表示。 （ ）（5）.向量组两两线性无关，则线性无关。 （ ）（6）.向量不能由线性表示，则线性无关。 （ ）2.设，求。3.把向量表成下面向量的线性组合（1）.,向量组。（2）.,向量组。4.判断下列向量组的线性相关性（1）.（1，3），（2，1），（6，7）；（2）.（1，3，2），（1，0，1），；（3）.（1，4，1），（2，5，1），（3，0，1）；（4）.（1，4，31），（4，1，3，2），（1，0，1，2）；5.证明题（1）.线性无关，则也线性无关。（2）.线性相关，线性无关，证明可唯一的由线性表示。（3）

13、.线性无关，则线性相关，证明。4.2向量组的极大线性无关组一、 极大无关组的概念下面讨论向量组的子向量组的性质|:给定向量组,如:,其所含部分向量称其子向量组;含一个,两个,三个的子组分别为; ; ; ; ; ; ; ;下面给出向量组的极大无关组的概念:引例，在上节引例中的线性方程组中方程、均可由方程、线性表示，该方程组与仅由、两个方程组成的方程组等价。因此方程、是多余方程。仅由、两个方程组成的方程组，是线性无关（独立）的，互相不能线性表示，称之为保留方程组。解保留方程组即可得原方程组的解。将上述方程组的有关结论用于相应的向量组:组中部分组：线性无关，而组中任一向量均可由部分组线性表示，称组为

14、 组的极大线性无关组。一般可定义如下：定义4.10 给定维向量组：，如果组中部分向量构成的向量组：满足（1）.线性无关（2）.组中任一向量均可由组线性表示，则称组为组的极大线性无关组。简称极大无关组。从该定义即可得到下列推论：向量组与其极大无关组等价。例如：有线性无关，而，即可由线性表示，所以，是组的一个极大无关组。同样可以验证也是组的一个极大无关组。由此可知向量组的极大无关组一般不是唯一的。但每一极大无关组所含向量个数是相同的（这一点以后要证明）。又如中的向量组线性无关，而中任意4个向量线性相关。由上一节定理知中任一向量均可由线性表示，故是的一个极大无关组。事实上可证明中任意三个线性无关的向

15、量均是的极大无关组。因此的极大无关组有无穷多 ，但其所含的向量个数均为3个，是不变的。向量组的极大无关组所含向量的个数称向量组的秩。定义4.11 给定向量组：，设是其一个极大无关组，则其所含向量个数称的秩，记。注意：上述关于向量组的秩的定义中已蕴含了秩是一个不变量。下面我们将给出极大无关组的另一个等价定义，由该定义即可看出极大无关组的极大性，从而推得秩的唯一性。先证明下面的定理。定理4.1 设向量组均可由向量组线性表示，且线性相关。证略推论1设可由线性表示，且线性无关。证明留给读者。推论2 等价的向量组具有相同的秩。证明：设向量组与向量组等价，设它们的极大无关组分别为及，我们证明。事实上由等价

16、的传递性即知，与等价，而组，组又分别与其极大无关组等价。故知上述两极大无关组等价，即可以相互线性表示，故由推论知且，即得。 证毕。利用定理4.1即可得极大无关组的另一等价定义。定义4.12 设维向量组：中的部分组：满足： （1）.线性无关（2）.组中任意个向量线性相关，则是的一个极大无关组。下面我们来证明两定义4.11与4.12的等价的。由定义4.12可得向量组线性相关，其中是中任一向量。由上一节定理4。2知可由线性表示，这即为定义4.11。反之，在中任取个向量，由定义4.11，它们都可由线性表示，因由定理4.1知它们线性相关，这即为定义4.12。由极大无关组定义4.12可看出如果是向量组的极

17、大无关组，则线性无关，而中多于个向量必线性相关，即极大无关组是向量组中所有线性无关部分组中包含向量最多的组。由此即知极大无关组所含向量个数是唯一的，这就是向量组的秩。从该定义即知极大无关组具有两个特性：（1）.无关性；（2）.极大性。二、利用矩阵求向量组的秩及极大无关组我们在第三章介绍了矩阵的秩，现在又介绍了向量组的秩，读者一定会猜到这二者应该是统一的。回顾我们在前面都是由保留方程组出发引入向量组及矩阵的秩，因此这两者的统一就是必然的。下面我们来研究这一问题。给定矩阵它的行对应一个行向量组，其列对应一个列向量组。其行向量组的秩称的行秩，其列向量组的秩称的列秩。矩阵的秩及行、列秩之间有如下关系。

18、定理4.2矩阵的行秩=列秩=。证明：当，即A=0时定理显然成立。下面就一般情况证明。先证的行秩。设的行秩为不妨设前个行向量是的行向量组的一个极大无关组，因都可由线性表示，故经行初等变换可使这行为0，又因线性无关，为明确起见不妨设左上角阶子式不为0，于是的行阶梯形为故又而的行秩即的列秩，又可得的列秩。 证毕。注：我们也可用等于的最高阶非零子式的阶数来证明的行秩=的列秩。读者可参考华中科技大学出版社，林升旭编线性代数教程P95定理4.5的证明。由上述定理即可将向量组的秩转化为矩阵的秩来计算。例4.2.2 设，求该向量组的秩，并判其线性相关性。解：令故。由秩及极大无关组的定义知线性相关。由此得到一个

19、利用极大无关组判断向量组线性相关、线性无关的方法。维向量组线性相关的充要条件是；线性无关的充要条件是。另外，显然当时，向量组，必线性相关，这正是上一节讨论的一个结果。注：如果知道向量组的秩为r,则极大无关组所含向量的个数为r,由极大无关组的极大性知向量组中任意r+1个向量必线性相关，因此向量组中任意r个线性无关的向量即是其极大无关组。下面讨论用矩阵的初等变换求向量组的极大无关组定理4.3 1 1)矩阵经过行初等变换化成矩阵，则A与B的行向量组等价;A的列向量组中任意个列向量与中对应的个列向量具有相同的线性相关性。2)矩阵经过列初等变换化成矩阵，则A与B的列向量组等价;A的行向量组中任意个行向量

20、与中对应的个行向量具有相同的线性相关性。证明：考虑的的任意个列向量组，其在中对应的列向量组为，显然矩阵与矩阵等价（请考虑为什么），故线性方程组与同解，因此它们的线性相关性相同。由该定理即可得到一个用行（列）初等变换求列（行）向量组的极大无关组的方法如下：将经行初等变换变成行阶梯形，不妨设由此可得，因的前列线性无关（因矩阵位于前行的子式非零，故。从而知线性无关），故与之对应的的前列线性无关，为的列向量组的极大无关组，而A的其它列均可由极大无关组线性表示。下面我们来求表示的系数。因的另个列向量均可用极大无关组唯一线性表示。还是由方程组的同解知的后列可用前列极大无关组作相同的线性表示。但一般来讲仅化

21、成行阶梯形，将其余向量用极大无关组线性表示还是困难的，为此我们可进一步用行初等变换将其化成行最简形，因行最简形的极大无关组为基本单位向量，其它向量用其线性表示时，其表示系数即为该向量的分量，从而立刻获得行最简形中其它向量由极大无关组的线性表达式。通过反寅即可得到A中相应列向量由极大无关组的线性表达式。由此可得求极大无关组及将其余向量用极大无关组线性表示的方法如下；以向量组作列构造矩阵A，并将A用行初等变换化成行阶梯形B.求出B.的列向量组的极大无关组，通过反寅求出A的列向量组的极大无关组进一步将B化成行最简形C，找出C的列向量组的极大无关组，将其余向量由极大无关组线性表示，通过反寅求出A的其余

22、列向量的线性表示式。例4.2.3 求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。解：把向量组按列构成矩阵，并对施以初等行变换化为阶梯形，易见矩阵的第1，2，4列线性无关，故矩阵对应的，线性无关，且是向量组的一个极大无关组。再将B施以初等行变换化为行最简形 由矩C易得：，所以有。例4.2.4已知向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示，求的值。解：易见是线性无关的，又所以线性相关，秩。又与具有相同的秩，所以线性相关，于是解得 。 又可由线性表示。而是一个极大无关组，因而也可由线性表示，即线性相关，于是得 。练习4.21.判断题（1）.向量组V中，线性无关，而对V中任一向量,都有

23、线性相关，则是V的一个极大无关组。（2）.若向量组的秩为，则其中任意个线性无关的向量都构成其一个极大无关组。（3）.矩形的秩等于，则有个行向量线性无关，任意个行向量必线性相关。（4）.两个等价向量组必含向量个数相等。（5）.，则中必有一列是其余向量的线性组合。2.求下列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示（1）.（2）.（3）.3.线性无关，求向量组，的秩。4.证明题（1）.设线性无关，令，称其为原向量组的延长一维的向量组。证明其也线性无关。将上述结果推广可得什么结论？（2）.设单位向量可由线性表示，证明（1）.与等价。（2）.求。（3）.用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明矩

24、阵不等式。4.3线性方程组解的结构在第三章我们研究了线性方程组的解的一个定理及解法，本节我们将利用向量组的 有关知识研究线性方程组的解集的结构。一、齐次线性方程组齐次线性方程组可写成下列三种等价形式 （4.31）（一般形式）Ax=0 （4.32）（矩阵形式）其中 为系数矩阵 （4.33）（向量形式）其中为的列向量。结合前面的有关知识有如下结论：方程组Ax=0有非零解（只有零解）（）线性相关（线性无关）。下面先给出齐次线性方程组解的有关性质，并利用这些性质给出解的结构定理。方程组Ax=0的任一解写成向量形式为称解向量。它也是Ax=0的解。关于解向量有以下两个性质：设是Ax=0的任意两个解向量，是

25、任一实数，则1）.也是其解向量；2）.也是其解向量。以上两个性质可直接验证。令表方程组Ax=0全体解向量的集合，我们称其为解空间。上述两性质简单表示为：，称解空间对解向量的加法及数乘运算具有封闭性。由上述两个性质立刻可推出：设是Ax=0的任意个解向量，则其任意线性组合也是其解向量。下面我们先来确定解空间的极大无关组，并在此基础上构造解空间。解空间的极大无关组称线性方程组Ax=0的基础解系，它是构造解集的基础。下面讨论如何构造解空间的基础解系。设，不妨设的左上角阶子式不为零。对作初等变换化成行最简形，并求出解为解的列向量形式为 （4.45）其中为任意个常数，记。它们是的个解，由（4.43）式可见

26、的任一解是这个解的线性表示，简记为。 （4.46）若能证明这个解线性无关，则它们就是的解空间的一组基础解系。为此把这个解排成矩阵（），可以看出该矩阵中从行至行所构成的阶行列式所以线性无关，它们就是的一个基础解系。定理4.3 设矩阵的秩，若，则齐次线性方程组的解空间的秩为；若，则，即仅有零解。设是解空间的一个基础解系。由此立即可得解空间的结构为 （4.34）这是因为首先都是解，即有又设是任一解，即。则它必可用极大无关组线性表示，即从而，故（4.34）式成立。例4.3.1 求以下线性方程组的一个基础解系解 对系数矩阵做初等行变换， 解方程组，取自由变量为，得即一般解 。该方程组的一个基础解系为。例

27、4.3.2 设向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明也是该方程组的基础解系。证明：要证是的基础解系，首先要证是的解，其次证明是线性无关的。因为是的解，即有，且r()=3。易见因而是的解。设，把已知的代入整理得因线性无关，得齐次方程组其系数矩阵的行列式，所以齐次线性方程组仅有零解，则线性无关，证得是的基础解系。 例4.3.3设为矩阵，为矩阵，若，证明。证明：将按列分块为，由，得，即有上式表明矩阵的每一列向量是齐次线性方程组的解，即的列向量，又的基础解系含有个解，从而秩，即，证得。二、非齐次线性方程组非齐次线性方程组可写成下列三种等价形式 （4.36）（一般形式）Ax=b （4.37）（矩阵形式）

28、 （4.38）（向量形式）由前面知识立即得到：方程组Ax=b有解可由线性表示。下面给出解向量的性质及解集的结构。关于解向量有下列两个性质1）.非齐次线性方程组Ax=b的任意两个解向量之差是其对应的齐次线性方程组Ax=0的解。2）.设是Ax=b的解， 是其对应的齐次线性方程组Ax=0 的解，则仍是Ax=b的解。证明留给读者。定理4.4（解的结构定理）设是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，是其对应的齐次线性方程组Ax=0的通解，则Ax=b的通解为。证明：由性质2）都是Ax=b的解。 又设是Ax=b的任一解，由性质1）是齐次方程组Ax=0的解。 故。从而。 证毕。设是齐次线性方程组Ax=0的基础解

29、系，则Ax=b的通解为：。例4.3.2 求非齐次线性方程组的通解及对应的齐次线性方程组的一个基础解系。 解：对增广矩阵做初等行变换化为阶梯形，对应的方程组为取为自由未知量，解得。令=k得： ，为任意数。对应齐次方程组Ax=0的基础解系为。 例4.3.3 设向量，问取何值，可使（）.不能由线性表示？（）.可由唯一线性表示？（）.可由非唯一线性表示，并写出表示式。 解：设，把上述已知向量代入，得非齐次线性方程组对增广矩阵做初等行变换化为阶梯形。（）.当时，方程组无解，不能由线性表示。（）.当，为任意数时，方程组有唯一解，可由唯一线性表示。（）.当时，方程组有无穷多解，可由不唯一地线性表示。解上面化

30、简的增广矩阵所对应的线性方程组：得，于是：，为任意数。练习4.31.判断题（1）.齐次线性方程组Ax=0有两个不同的解，则一定有无穷多组解。（2）.非齐次线性方程组Ax=b，其中矩阵A的个列向量线性无关，则方程组有唯一解。（3）.齐次线性方程组Ax=0，矩阵A的个列向量线性无关，则仅有零解。2.求下列齐次线性方程组的通解及基础解系（1）.（2）.（3）.3.求解下列非齐次线性方程组（1）.（2）.4. 线性方程组问取何值时，方程组有唯一解；无解；无穷多解？并求出有无穷多解时的通解。5. 是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，证明，也是Ax=0的基础解系。*4.4向量空间向量空间是一类对向量的加法

31、与数乘运算具有封闭性的向量集合的抽象格式。这类集合具有许多共通的特性与结构。例如，齐次线性方程组的解空间都是向量空间的特例。*一、向量空间的定义上一节我们研究了齐次线性方程组解空间的结构，由于对解向量的“加法”、“数乘”运算具有封闭性，故解空间可表示为，其中是解空间的基础解系，而非齐次线性方程组的解集，由于对解向量的“加法”、“数乘”运算不封闭，故没有上述结构。表全体维实向量的集合，同样对向量“加法”、“数乘”封闭，设是其极大无关组，则，这些无穷集都可以用有限的向量表示，由此便引出向量空间的定义：定义4.7设是数域上的维向量构成的非空集合，且满足（1）.若,则。（2）. 若,则。则称集合为数域

32、上的向量空间，若为实（复）数域，则称为实（复）向量空间，本章仅讨论实向量空间。上述定义的（1）、（2）称对向量“加法”、“数乘”封闭，因此，向量空间即是对向量“加法”、“数乘”两种运算封闭的集合。由上述定义不难得到下述性质：（1）.,即任一向量空间必含有零向量，事实上由定义中第（2）条取，有。（2）. 若,取，有。从上面也可看到若向量空间含有非零向量，则必含有任意多非零向量，且每一非零向量与其负向量在中是成对出现的。例4.5.1（1）.只含有一个零向量的集是向量空间，称零空间。（2）. 是向量空间，称维向量空间，表示过原点的全体平面向量，表示过原点的全体空间向量，称几何空间。例4.5.2 齐次

33、线性方程组的解空间都是向量空间，而非齐次线性方程组的解集不是向量空间。例4.5.3 判断下列集合是否构成上的向量空间（1）. （2）. 解：（1）.因对向量的加法、数乘封闭，故是向量空间。（2）. 因对向量的加法不封闭（同样对数乘也不封闭），故不是向量空间。 另解：因，故不是向量空间。注意，当要判别某集合是向量空间时，必须用定义验证；而要判断某集合不是向量空间时，除可用定义判断外，也可用上述性质判断，当上述两条性质有一条不满足，则不是向量空间。例4.5.4 设是两个维向量，则由的一切线性组合组成的集合是向量空间，记，称为由生成的向量空间。一般设是个维向量，是向量空间，称为由生成的向量空间。因，

34、我们称其为的子空间，下面给出子空间的定义：定义4.8 设是一个向量空间，且对对向量的加法及数乘仍是封闭的，则称是的子空间。注意，的子空间必是向量空间，而的任意子集不一定是向量空间。下面定义向量组的基底，维数与坐标。定义4.9设V是向量空间,若1,2,rV满足:1,2,r线性无关;V中任意向量都可用1,2,r线性表示.则称1,2,r为向量空间V的一组基底,简称基.n称为V的维数,记为dimV=n.并称V为n维向量空间,规定零向量空间的维数为零.如把向量空间V看作向量组,则基底即是极大无关组,维数即是秩.显然如果dimV=n.则V的任意n个线性无关的向量都是V的基.例4.5.5 设，证明向量组是的

35、一组基，且求向量在该组基下的坐标。解：令，要证明线性无关即可。因，故线性无关，即为的一组基。令解此非齐次线性方程组，得唯一解，故在此组基下的坐标为，如考虑基本单位向量，则在该基下的坐标为，可见，同一向量在不同基下的坐标是不同的。把向量空间的知识用于解齐次线性方程组便有下面结论:定理4.6设mn矩阵A的秩r(A)=r,若rn,则齐次线性方程组AX=0的解空间N(A)的维数为n-r;若r=n,则N(A)=0,即AX=0只有零解. 练习4.41.判断下列向量的集合是否构成向量空间（1）.平面直角坐标系中上半平面所有向量的集合。（2）.。（3）.。（4）.。（5）.齐次线性方程组Ax=0的全体解向量的

36、集合。（6）.非齐次线性方程组Ax=b的全体解向量的集合。2.设向量空间，求的一组基及维数。3.证明是的一组基，求在这组基下的坐标。第四章 内容小结重点与难点：重点：向量组的秩与极大无关组的概念与求法。难点：线性相关性的有关证明。一、基本概念：向量组的线性组合（表示）、线性相关、无关，两向量组等价，向量组的极大无关组与秩；基础解系，解空间，向量空间，基底，维数，坐标。二、基本内容：向量组的线性关系（一）.线性组合判断是线性组合通常有两个方法1）.定义法；2）.解非齐次线性方程组法。令，解判其是否为线性组合。（二）.线性相关无关1.线性相关性的判定线性相关性的判定通常有下面几个方法：1）.定义法

37、；2）.解齐次线性方程组法。令，解看其是有非零解。3）.用初等变换求矩阵的秩。4）.利用线性相关性有关性质。2.线性相关性有关性质1）.一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关。2）.两个向量线性相关（无关）的充要条件是对应分量成比例（不成比例）。3）.个维向量线性相关（无关）的充要条件是其组成的行列式（）。4）.部分相关则全体相关（全体无关则部分无关）。5）.个维向量当时必线性相关（当向量组含向量的个数超过维数必线性相关）。6）.如果向量组线性相关，则其任意截断向量组必线性相关（如果向量组线性无关，则其任意延长向量组必线性无关）。3. 线性相关与线性组合的关系1）.线性相关其中至少有某一向量

38、是其余向量的线性组合。2）.线性无关，线性相关，则可由线性表示，且表示的系数唯一。3）.若向量组可由向量组线性表示，且，则线性相关。（三）.极大无关组、秩（1）.向量组的极大无关组的等价命题1）.线性无关，中任意个向量线性相关。2）.线性无关，中任一向量可由线性表示。极大无关组有两个最基本的特点是线性无关性；极大性，它标明向量组中线性无关（独立）的且含个数达到最大的子向量组。通常情况使用定义2）较为方便。（2）.极大无关组及秩的求法1）.定义法（扩充向量法）；2）.初等变换法，即将按列排成矩阵，施以行初等变换化为行阶梯形，由的列极大无关组反寅得的列的极大无关组。如果进一步化成行最简形，还可由将

39、最简形中其余向量用极大无关组线性表示。通过反寅可将中列的其它向量用极大无关组线性表示。（四）.向量空间主要搞清向量空间的定义，结构（基底、维数），子空间、生成子空间，并对线性方程组的结构进行讨论。（五）.线性方程组解的结构（1）.求齐次线性方程组的基础解系，即的一组基；亦即中极大线性无关向量组。为矩阵，则。（2）.非齐次线性方程组解的结构的一般解等于对应的齐次线性方程组的一般解加上的一个特解，即。的任意两解之差是的解。（3）.有解的判别有解是的个列的线性表示。综合练习四1.填空题（1）.线性相关，则= 。（2）.的一个极大无关组为 ，向量组的秩为 。（3）.设维方阵的每一行元素之和等于零，则齐

40、次线性方程组Ax=0的通解为 。（4）.是的一组基，= 。2.判断题（1）.向量组线性无关的充要条件是零向量由此向量组的线性表示是唯一的。（2）.为阶方阵，则中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合。（3）.为矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解。（4）.为阶方阵，则对任一维列向量b，使非齐次线性方程组Ax=b有解，则。3.计算题（1）.取何值，线性方程组有唯一解；无解；无穷多解？并求有无穷多解时的通解。（2）.设向量求参数的值，使1）.不能表示成的线性组合。2）.可唯一表示成的线性组合。3）.可表示成的线性组合，但表示法不唯一，并写出线性组合表示式。（3）.设非零三阶矩阵三个列

41、是下面齐次线性方程组的解，求参数及。（4）.在中求一个非零向量，使它在下面两组基下坐标相同1）.2）.4.证明题（1）.若向量组线性相关，而其中任个向量线性无关，证明要使成立，则必全不为零或全为零。（2）.设阶方阵及非零维列向量，若有，证明向量组是线性无关的。（3）.设齐次线性方程组与同解，证明。（4）.设是非齐次线性方程组的4个不同的解，为阶方阵，证明1）. 的解空间的维数为2.2）.向量组线性相关。（5）. 设，且证明。4.5 应用与MATLAB计算一、应用例4.5.1某调料公司用7种成分来制造多种调味品。以下表格列出了6种调味制品A、B、C、D、E、F每包所需各成分的量（以盎司为单位)：

42、ABCDEF红辣椒31.54.57.594.5姜黄240816胡椒l20423欧莳萝l20413大蒜粉0.5l0221.5盐0.510221.5丁香油0.250.502l0.75(1)一个顾客为了避免购买全部6种调味品，他可以只购买其中的一部分并用它配制出其余几种调味品。为了能配制出其余几种调味品，这位顾客必须购买的最少的调味品的种类是多少?写出所需最少的调味品的集合。(2) (1)中得到的最小调味品集合是否唯一?你能否找到另一个最小调味品集合? (3) 利用你在(1)中找到的最小调味的集合，按下列成分配制一种新的调味品： 红辣椒 18 姜黄 18 胡椒 9 欧莳萝 9 大蒜粉 4.5 盐 4

43、.5 丁香油 3.25 写下每种调味品所要的包数(4).6种调味品每包的价格如下：(人民币：元) A B C D E F 2.30 1.15 1.00 3.20 2.50 3.00 利用(1)、(2)中所找到的最小调味品集合，计算(3)中配制的新调味品的价格。(5).另一个顾客希望按下列成分表配制一种调味品： 红辣椒 12 姜黄 14 胡椒 7 欧莳萝 7 大蒜粉 35 盐 35 丁香油 175 他要购买的最小调味品集合是什么?(6).在这个大题目中，总共用到了哪些知识点，请列出它们。 解：若分别记6种调味品各自的成分列向量为，则 (1)、依题意，本小题实际上就是要找出的一个极大无关组记，可对M作初等行变换，将其化成行最简形，容易得到向量组的秩为4，且极大无关组有6个：；。但由于问题的实际意义，