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1、第6章习题答案6-1在1、 r 4、0的媒质中,有一个均匀平面波,电场强度是E(z,t) Emsin( t kz ) 3假设f 150 MHz,波在任意点的平均功率流密度为0.265科w/m2 ,试求:(1)该电磁波的波数k?相速vp ?波长 波阻抗 pt 0, z 0的电场E(0,0) ?(3)时间经过0.1八之后电场E(0,0)值在什么地方(4)时间在t 0时刻之前0.1 ms,电场E(0,0)值在什么地方2 f解：(1) k v 7 r 2 (rad/m) cvpc/. r 1.5 108 (m/s)1 (m)(2) .SavEm二12060 (Q)E22 m1.00 101 e2m0I
2、 0 r2 (V/m)0.265 10 6E(Q0)Emsin-8.66 10 3(V/m)3(3)往右移 z vD t 15 m p(4)在O点左边15 m处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波,电场强度的复振幅是“4 j 20 z -4 j(5 20 z)E 10 e ex 10 e ey 伏 /米试求：(1)电磁波的传播方向(2)电磁波的相速Vd ?波长 频率f ? p(3)磁场强度H ?(4)沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少解：(1)电磁波沿z方向传播.(2)自由空间电磁波的相速 Vd c 3 108m/sp220.1(m)k 20 k - 20c20 cf - 10c 3 1
3、09 Hz21 j(20 z _)(3) H-ez E2.6510 7(e 2 ex e j20zey)(A/m)*(4) Sav1Re(EH*)EyE-ez2.65 10 11ez(W/m2)6-3证实在均匀线性无界无源的理想介质中,不可能存在E E0e jkzez的均匀平面电磁波.证 EjkEe jkz 0,即不满足Maxwell方程不可能存在E Ee jkzez的均匀平面电磁波.6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m,试问该点的平均电磁功率密度是多少该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗(根据美国国家标 准,人暴露在微波下的限制量为102W/m不超过6分钟
4、,我国的暂行标准规定每8小时连续照射,不超过X 10 2W/nno解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波,它携带的平均电磁功率密度为avE213772.65 10 3W/m2可见,该微波炉的泄漏电场对人体的健康是平安的.6-5在自由空间中,有一波长为12cm的均匀平面波,当该波进入到某无损耗媒质时,其波长变为8cm且此时E 31.41V/m, H 0.125A/m.求平面波的频率以及无损 耗媒质的r和r o解：由于 0 / ： r r ,所以 r r (12/8)29/42又由于 120,所以 0.4443Hrr 120 H2.256-6假设有一个点电荷在自由空间以远小于光速的
5、速度v运动,同时一个均匀平面波也沿v的方向传播.试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值.解：设v沿z轴方向,均匀平面波电场为 E ,那么磁场为1Hez E0电荷受到的电场力为Fe qE其中q为点电荷电量,受到的磁场力为Fm= qv B q 0Vez Hq-0Eqv. 0 E0连c故电荷所受磁场力与电场力比值为Fm vFe C6-7 一个频率为f 3GHz , ey方向极化的均匀平面波在 2.5,损耗角正切值为102的非磁性媒质中,沿正 ex方向传播.(1)求波的振幅衰减一半时,传播的距离；(2)求媒质的波阻抗,波的相速和波长；(3)设在x 0处白E 50sin 6109t ey ,写出H (x,
6、t)的表示式.3解：(1) tan 10 2,这是一个低损耗媒质,平面波的传播特性,除了有微弱的损耗引起的衰减之外,和理想介质的相同.其衰减常数为0.49710 210 2 23 109 2.5,c82 .223 10； ln 2由于 e i 1/2 ,所以 l 1.40m238.4 Q(2)对低损耗媒质,/TT 120 /J2513 108.相速 v 1 3 101.90 108 m/s2.5波长 v/f 0.0632(m) 6.32(cm)(3)61092.53 10899.3H (x,t) 50e 0,5xsin(6109tx)ez0.21e 0.5xsin(6 109t 99.3x -
7、)ez (A/m)6-8微波炉利用磁控管输出的频率的微波加热食品,在该频率上,牛排的等效复介电常数r 40(1 0.3j).求：(1)微波传入牛排的穿透深度,在牛排内8mm处的微波场强是外表处的百分之几(2)微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的,其等效复介电常数1.03(1 j0.3 104).说明为何用微波加热时,牛排被烧熟而盘子并没有被毁.解：(1)20.0208m 20.8mmEE0z/8/20.8e e68%(2)发泡聚苯乙烯的穿透深度2 3 10822.45 109 0.3 10 4 .1.0331.28 10 (m)可见其穿透深度很大,意味着微波在其中传播的热损耗极小,所以不会
8、被烧毁.6-9海水的 4S/m,f 10kHz的平面电磁波时,试求：r 81, r 1 ,在其中分别传播f? ?Vp ?100 MHz 或解：当 f1 100MHz 时,一 8.88当 f2 10kHz 时,一 8.8 104故f2 10kHz时,媒质可以看成导体,可以采用近似公式.2而f1 100MHz时媒质是半电介质,不能采用上面的近似公式.(1)当 f1 100MHz 时JhJJ1()2 1 37.5(Nep/m)1(一)2 1 42.0(rad/m)p11当f2222p2一 0.149 108(m/s)120.149(m)110kHz 时2 20.3970.397(Nep/m)0.39
9、7(rad/m)51.58 10 (m/s)2215.8(m)26-10证实电磁波在良导电媒质中传播时,场强每经过一个波长衰减.,、一 一,22证：在良导体中,故 l由于 E E0e lE0e所以经过一个波长衰减201g 且 20lg(e 2 ) 54.57(dB)E.6-11为了得到有效的电磁屏蔽,屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长,即d 2式中 是穿透深度.试计算(1)收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度.(2)电源变压器铁屏蔽罩的厚度.(3)假设中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以(铝：3.72 107S/m , r 1, r 1；铁：107S/m , r 1,
10、r 104, f = 465kHz.)解:(1)铝屏蔽罩厚度为32777.60 10 4(m) 0.76(mm),2465 103 410 7 3.72 107(2)铁屏蔽罩厚度为2 7471.41 10,250 41010103(m) 1.41(mm)(3)237472465 1041010101.47 10 5(m) 14.7( m)用铝屏蔽2 . 2 777.33250 410 7 3.72 1072-10 (m) 73(mm)50Hz的电源变压器需屏蔽层厚 73mm太厚,不能用.用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚14.7 m ,故可以选用作屏蔽材料.6-12在要求导线的高频电阻很小的场合通常
11、使用多股纱包线代替单股线.证实,相同截面积的N股纱包线的高频电阻只有单股线的工.N证：设N股纱包中每小股线的半径为 单股线的半径为R,那么R2 单股线的高频电阻为R11p,RN2rNRnR一 Nr1R1rNrN. N6-13群速与相速的关系是vgvpdVpd是相移常数,证实下式也成立VgvpdVpd式中其中为电导率,为趋肤深度.N股纱包线的高频电阻为,2 一1证：由 得d 2 d(-)2VgVp 一dVp(勺)ddVp d6-14判断以下各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(1) EjE13kzex jE19kzey(2) HH1e jkxeyH2ejkxez( H1 H2 0)(3)
12、EEoe jkzexjEejkzey(4) E e jkz(E0ex AE0ej ey) ( A为常数,0,)(5) H(Eme jkyex jEmejkyez)(6) E(z,t)Emsin(tkz)ex Emcos( t kz)ey(7) E(z,t)Emsin(tkz )ex Em cos( t kz )ey44解：(1) z方向,直线极化.(2) +x方向,直线极化.(3) +z方向,右旋圆极化.(4) + z方向,椭圆极化.(5) +y方向,右旋圆极化.(6) + z方向,左旋圆极化.(7) + z方向,直线极化.6-15证实一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波
13、.证：设沿z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与ex方向夹角为,那么 E = Ei (cos ex sin ey)e j zeje jeje j=Ei(ex 22jey)e jzE.1 J _ jJ z=(e ex je ey)e2=E右圆+ E左圆E.1 / j- j j z(e ex je ey)e26-16证实任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数. 证：设沿z方向传播的圆极化波为E(z,t)Emcos( t kz)ex Emcos( t kz)ey那么坡印廷矢量瞬时值E E ezHe2222,Em cos t kzEm cos t kz2ezez6-17有两个频率相同传播方向也相同的
14、圆极化波,试问：(1)如果旋转方向相同振幅也相同,但初相位不同,其合成波是什么极化(2)如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同,其合成波是什么极化(3)如果在所述三个条件中只是振幅不相等,其合成波是什么极化波解：(1)设 Ei E0(ex jey)ej 1e jkzE2E(ex jey)ej 2ejkz那么 E E1 E2Eo3 jey)(ej 1 ej 2)e jkz故合成波仍是圆极化波,且旋转方向不变,但振幅变了.设 E1Eo(ex jey)ej1e jkzE2Eo(ex jey)ej 1e jkz那么 E E1 E22Eexej 1e jkz故合成波是线极化波.(3)设 E1E
15、1o(ex jey)ej1ejkzE2 E20 jey)ej 1e jkz那么 E E1 E2 (E10 E20) jey)ej1ejkz故合成波是圆极化波,且旋转方向不变,但振幅变了.6-18 一个圆极化的均匀平面波,电场EEejkz(ex jey)垂直入射到z 0处的理想导体平面.试求：(1)反射波电场、磁场表达式；(2)合成波电场、磁场表达式；(3)合成波沿z方向传播的平均功率流密度.解：(1)根据边界条件匕 Er|z0 0故反射电场为ErE0(ex jey)ej zHr 1(-e z) Er且ejz(jex ey)E Ei Er 2jEoSin z 缸 jey)112 Eoez Ei(
16、-ez) Er cos z( jex ey)(3)-1,、Sav Re(E H )21,Re 2jEoSin( z)(ex0jey)2 Eo cos z ;(jexey)6-19当均匀平面波由空气向理想介质(1,0)垂直入射时,有 84 %的入射功率输入此介质,试求介质的相对介电常数解：由于R所以Rr0.16,故 R5.440.4又由于R2 1 84%21 0.4r 1 0.46-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时,假设媒质波阻抗21,证实分界面处为电场波腹点；假设 21,那么分界面处为电场波节点.证：在分界面处的总电场为E Ei0 Er0 Ei0 (1 R), R Er0
17、/Ei0 , R的幅角即为分界面处入射电场与反射电场的相位差,假设相位差为零,那么形成电场波腹点,假设相位差180,那么形成电场波节点.R 1,对于理想介质,R为-1,1之间的实数. 21假设21,那么R 0, R的幅角为零,表示分界面处入射电场与反射电场同相,形成电假设21,那么R 0, R的幅角为180,表示分界面处入射电场与反射电场反相,形成电场波节点.6-21均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上.在此墙前方测得的电场振幅分布如下图,求：(1)介质墙的r； (2)电磁波频率f o解：(1) R1. r- 1.5r _ _ 0.5(2)由于两相邻波节点距离为半波长,所以 2 2 4m
18、f 3 10875(MHz)6-22假设在r为0.75,试求:4的玻璃外表镀上一层透明的介质以消除红外线的反射,红外线的波长(1)该介质膜的介电常数及厚度;(2)当波长为0.42的紫外线照射该镀膜玻璃时,反射功率与入射功率之比.解：(1)2r2r1 r3 2 ,L 0.13(1 inr2 4、2(2)ef3j 2 tan 2d2j 3 tan 2defef 131312 j 13 tan 2d2j4 r3 tan 23 0.99j0.1 ,即反射功率与入射功率之比为.6-23程证实在无源区中向k方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为以下方kkkkHEEHEH00证：在无源区中向k方向传
19、播的均匀平面波可表示为由于代入无源区麦克斯韦第 1方程:可得同理可得又由于代入无源区麦克斯韦第 4方程:可得同理可得Ee jkrH 0jk rH 0ejk rejk rH.jejejk6-24平面波的电场强度E 2j3)ejkr k r H0 jkrk H0H EEejk rjk rE.jeje jk000jkr k r E.jkrk E0E4ey 3ez ej(1.8y 2.4z) V/m试确定其传播方向和极化状态,是否横电磁波解：1 k1.80 2.4ez传播方向位于yz平面内,与y轴夹角180(2)由于电场分量存在相位差2.40arctan 126.91.8,3arctan,故为右旋椭圆
20、极化.2(3)由于E?k=0,所以是横电磁波.6-25证实两种介质120的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成sin( i t)t) 丁 2sin tcos i一,T =sin( i t )A = tanLj_L) , Ttan( it)2sin t cos isin( i t )cos( i t证：(1)由于12ViV2式中i是入射角,t是折射角.2cos i1cos2cos i1 cossin isin t所以sin tcos isin icos tsin t cos i sin i cos t-sin( i t)sin( i t)(2)_ 1cos i1cos isin ic
21、os i2cos2cossin tcos tsin icos i sin tcos tsin2 isin2 tsin2 isin2 tsin(it)cos(it)sin(it)cos(it)tan(it)tan(it)(3)由于所以1 sin( i t) sin( i t)2sin t cos isin( it)T/(1 1_ sin t sin i_ sin t1R)sin( i t)cos( i t)sin( i?sin( it)cos( i t) t) ( i t)sin isin( it)cos( it)_ sin t ?sin2 jsin i sin( it)cos( it)2sin
22、 tcos isin( i t )cos(t)/2.证：布儒斯特角折射角sin tBBarccos1- 1 n26-26当平面波向理想介质边界斜入射时,试证布儒斯特角与相应的折射角之和为所以布儒斯特角与折射角互余,即6-27当频率f 0.3GHz的均匀平面波由媒质 4, 1斜入射到与自由空间的交界面时,试求(3)临界角c ?当垂直极化波以当圆极化波以60入射时,在自由空间中的折射波彳播方向如何相速Vp60o入射时,反射波是什么极化的解：(1)30o一1c arcsin _ 4(2)由于 ic发生全反射所以折射波沿分界面传播,形成外表波.vpV23 108M . rSinV3 108 1.73
23、108 (m/s)(3) 由于 jc发生全反射,反射系数的模1 ,但反射系数的幅角解：(1)布儒斯特角故当i Bcos R =cos i、n2n2sinsin2d2i1n2 I i B -2 In 22.1ni0.6.将圆极化波分解成相位差 /2的等幅垂直极化波与平行极化波,反射后振幅不变,但相位差发生了改变,所以反射波是椭圆极化波.r 1的介质分界面,如果入射波的6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到 电场与入射面的夹角是45.试问：(1)当入射角j?时反射波只有垂直彳(2)这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几B arctann arctan. r 63.4063.4平行极化波全
24、折射,反射波只有垂直极化波.垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的212-0.62 18%26-29证实当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上 时,其布儒斯特角应满足以下关系r 1、 1、0)而对于平行极化波那么满足关系证：1B时,tan* 2tan2r)T2cos i1cos t2 cos i1cos t2 cos Bcos t(1)由折射定律可求出2 cosk1sin B1 sink2sin t(2 )1sin b)2代入方程12cos B1. 2L(1r. 2 sinB12sin br r2 sinr( r r)rr r1(2 )2 costan21cosR/ =1co
25、s ir r2-rr ( r2cos2cos(3 )1cos B2cos tsin B r r sin t(2) (3)式联立匚cos B J- cos tr与垂直极化相比拟,tan2r与r互换r( rB6-30设z0区域中理想介质参数为r1 4、.11； z 0区域中理想介质参数为r2 9、r2 1.假设入射波的电场强度为E e j6mz (ex ey3ez)试求：(1)(2)(3)平面波的频率； 反射角和折射角; 反射波和折射波.解：(1)入射面为xz面,入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两局部之和,即j6(.3x z)Ei eeyEi|j6(. 3x ez)(ex3ez)(xsin i
26、 zcos i)6 - 3xki12(2),sin i由isin tk2 W可得k12(3)sin tcoscos ik1-287 MHz1sino6035.3o,k22 / 1sin2 i22 / 1sini180.4200.580Ri(2 / 1)cos i 、2/ 1 sin2 i(2/ 1)cos i .2/1 sin20.0425Tl2. 2 / i cos i(2/ i)cosi 2/ 1 sin2 i0.638因此,反射波的电场强度为Er Er Er| ,其中Er 0.420e j6(3x z)eyEr|l 0.0425e j6( lx z)( exez , 3)折射波的电场强度
27、为 EtEtEt,其中Et 0.580ex-2叱3: eyEt|0.638 2, 2ex : 3x 291jy3z)2. oez e.31.2762e 1；3ex :3j18喘序z e6-31当一个f 300 MHz的均匀平面波在电子密度N 10141/米3并有恒定磁场B05 10 3ez特斯拉的等离子体内传播,试求(1)该等离子体的张量介电常数 r ?(2)如果这个均匀平面波是往 z方向传播的右旋圆极化波,其相速vDp(3)如果这个波是往 z方向传播的左旋圆极化波,其相速 Vp p解：(1)1 j 20r-j 210003.,219. 2142 Ne (1.6 10 )10p m 09.1
28、10 31 8.854 103.177 1017-B0 m_ 195 10 39.1 10 312 p2 0.8668.79 1080.053p g22(g)21 -4 0.910.866 j 0.0530r j0.0530.8660000.91VpVpc,12c.123 108.0.866 0.0533 1080.866 0.0533.33 108 (m/s)3.13 108 (m/s)两个等幅圆6-32在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中,极化波同时向z方向传播,一个右旋圆极化Ei Eme j 1z(exjey)另一个是左旋圆极化E2E me j 2z(ex jey)
29、式中21,试求(1) z 0处合成电场的方向和极化形式.(2) z l处合成电成的方向和极化形式.解：(1) E= Ei+ E2= 2 Emex合成场指向ex方向,是线极化波.(3) E= E1+ E2= Em(ej1z ej2z)ex j(e j 2z e j 1z)eyj2z j-zj1zj1zp-1z= Eme 2 (e 2 e 2 )ex j(e 2 e 2 )ey= 2Eme 2 cos(Lz)exsin(-16 0.82 0.52 z)ey22电场两分量相位差等于零合成场是线极化波sin(yz)21tan2 -1 zcos( 22 1 z) 2故当z l时合成电场与x轴夹角为6-3
30、3设在z 0的半空间是电子密度为N 1014 1/米3的等离子体,并有恒定磁场Bo 5 103ez特斯拉,在z 0半空间为真空.有一频率为300MHz的正圆极化波沿正 z方向垂直入射到等离子体上,问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几解：对于正圆极化波,等离子体等效为相对介电常数为12的介质,其中1、2与6-31题相同,故94.8%2 211. 12 1. 122 . 0,866 0.0536-34我们知道,当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时,将产生极化面连续偏转的法拉第旋转效应.假设 1及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是平面波在自由空间的相位常数是试问(1)(2)(3)该铁氧体中任一点
31、的解：(1)r在z 0.2m处H与x轴的夹角 该平面波在铁氧体中的传播速度H可分解成正负圆极化波向前传播0.8j0.50j0.50.80rad/m ,其磁场强度在 z 0处是H 2H 0 ex vP(ex jey)He j z (ex jey)He j z式中0r ( 12)0jr( 12)2 .0.32 1.3H 2He一 十jZ/(cs2+ 一 十 一与 sinzeJ2(2)(3)vp6-35一个频率f2H0e j53z cs(1.86z)ex2 ( .1.30.3)0c3GHz、磁场强度是hsin(1.86z)ey0.2 0.372(rad) 21.32c1.3 - 0.31.18cH0
32、e j z(ex jey)的平面电磁波,在沿波的传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播,磁导率是1.2j0.3 0rj0.31.20001相对介电常数 r 16.试求(1)电磁波在该铁氧体中的相速vD ?波长 p(2)波阻抗电场强度E ?解：(1)由于H是一个左旋圆极化波 Vp=,C6.12 107(m/s)0J r*16 42 0.3V92.04 10 2(m) 2.04(cm) fF0 栏萨 ii5-4(q)E - HH ez115.4H0e j308z(jex ey).一 22其中 2-308(rad/m)2.04 1026-36无界均匀铁氧体由恒定磁场B0 Boez饱和磁化,磁导率是0.8j0.5 0rj0.50.80001相对介电常数 r 16.试问(1)磁场是H H 0e j yez的平面波在其中传播的相速Vp ?p(2)电场是EEoe j yez的平面波在其中传播的相速Vp ?解：传播方向垂直磁化方向,是横向波(1)由于H沿y方向传播,只有ez分量所以是寻常波,故相速为vpc/.1 0.75 108(m/s)(2)由于平面波向y方向传播,且Ez0 ,所以是非寻常波,故相速为1.07 1 08(m/s)sin1 、0.866 0.053