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1、圆锥曲线之存在性问题2一 ,一 x1、设椭圆E: a24 1 (a,b0)过M (2, &), N(J6,1)两点,O为坐标原点,b(I)求椭圆E的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆unn uuuOA OB ?假设存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,E恒有两个交点 A,B,且假设不存在说明理由.解：(1)由于椭圆E:2 y_ b2(a,b0)过 M (2,丘),N(. 6,1)两点,所以a26 a2 b21b21-解得12 a1b218所以142 ab2,、一 x2椭圆E的方程为一8(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个
2、交点A,B,uuu uuu且OA OB,设该圆的切线方程为ykx m解方程组y2 x8kx2 y42_2_22x 2(kx m) 8,即(1 2k )x4kmx2m20,2222那么=16km4(1 2k )(2 m 8)_ _ 28(8k4)20,即 8kXix2X1X24 km1 2k2 ,2m2 81 2k2y1y2(kx1 m)(kx2 m)I 2k XiX2km(x1 x2)k2(2m2 8)1 2k24k2m21 2 k2m2 8 k2 1 2k2uuu 要使OAuuuOB,需使,x2yy20,即2m2 81 2k28k22k20,所以3m28k20,所以k223m80 又 8k2
3、2-m4 0 ,所以23m2,所以88一,即m5m32.6,由于直线y3kxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为rm,r1 k2m21 k22m3m2 8882 6,-,r 一,所求的圆为33228x y -,此时圆的切线y kx3m都满足或32 6,m ,而当切线的斜3率不存在时切线为2 6 x与椭圆一21的两个交点为4或2,62 6uuu uuu满足OA OB,综上,存在圆心在原点的圆28、,y -,使得该圆的3uuu任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OAuurOBX1X2由于X1X24 km1 2k22m2 81 2k2所以(x1 x2)2 (x1 x2)2 4XIx2
4、 (4km 21 2k2)2 m21 2k28(8k2 m2 4)(1 2k2)2|ab| ：(xi X2)2V1 y2 2. (1 k2)(X1 X2)2(1i2、8(8k2 m2 4)k )2 2(1 2k2)2k22,4k 1：32 4k4 5k2 1;323 4k4 4k2 1 V 3 4k4当k 0时|AB|尊14k211 k2由于4k2 k4 8所以0132-,所以一4k -5 k24k21- 12,一 4k2所以4 .63|AB | 2J3当且仅当k及时取、2,4 ； 6当k 0时,|AB| 3, ,. 、,2 V 6 2-62.6 2.6 当AB的斜率不存在时,两个交点为39,
5、今“或2X6,必二,所以此时33334、61AB1 工综上,|AB |的取值范围为 士病| AB| 2J3即：|AB| 4J6,2J3 332x .2y i有两个2不同的交点P和Q . (I)求k的取值范围;(II)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A, B ,是否存在常数k ,使得向量uuu uuir uurOP OQ与AB共线如果存在,求 k值；如2、在平面直角坐标系 xOy中,经过点(0,J2)且斜率为k的直线l与椭圆果不存在,请说明理由.解：(I)由条件,直线l的方程为ykx甚,代入椭圆方程得2(kX V2)2 i .2i整理得k222、2kx0直线l与椭圆有两个不同的交点P和
6、Q等价于8k2k24k2k的取值范围为OO(n)设uuuP(Xi, y) Q(X2, y2),那么 OPuuurOQX2,yiy2),由方程,XiX24-,2ki 2k2又 yiy2k(Xi X2) 2后.而 A(V2,0)uuuB(0,i),AB一uuur uuir72,1).所以 OP OQuuur AB共线等价于为x2亚(y y2),将代入上式,解得k .由知2,、2 , ,、,2k 或k ,故没有符合题息的常数k .2222P是该椭圆上的一个动点,3、设Fi、F2分别是椭圆 工+乙=1的左、右焦点.(I)假设54求PF PF2的最大值和最小值;(n)是否存在过点 A (5, 0)的直线
7、1与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2c|=|F2D|?假设存在,求直线l的方程；假设不存在,请说明理由解：易知 a .5,b2,c 1, F1(1,O),F2(1,0),设 P (x, y),那么 PF1 PF2( 1 x, y) (1 x, y) x2 y2 1 , x2x .5, ,5,当x 0,即点P为椭圆短轴端点时,PF1 PF2有最小值3;J5,即点P为椭圆长轴端点时,PFi PF2有最大值4(n)假设存在满足条件的直线l易知点A (5, 0)在椭圆的外部,当直线 l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k,直线l的方程为y k(x 5)由方程组22左1 /
8、曰254,得(5ky k(x 5)22 一 2 一4)x50k x 125k20 0依题意20(16 80k2) 0,得,5.5, 5. 5J k J当 k 时,设交点5555C(x1,y1)、D(x2,y2), CD 的中点为 R(x0,y0),那么XiX250k22, x05k 4XiX2225k25k2 4V. k(x05)k(壬5)20k 一.又 |F2c|=|F2D|5k2 4F2Rk kF2Rf2r(-20) 5k2 4 25k21 5k2 420k2.22,21 .1.20k2=20k2-4, 4 20k2而 20k2=20k2 4 不成所以不存在直线l ,使得|F2c|=|F2
9、D|综上所述,不存在直线 l,使得|F2c|=|F2D|22x y4、椭圆G: 1(a b 0)的两个焦点为 F1、F2,短轴两端点 B1、B2,F1、a bF2、B1、B2四点共圆,且点 N (0, 3)到椭圆上的点最远距离为 572. (1)求此时椭圆 G的方程；(2)设斜率为k (kwQ的直线m与椭圆G相交于不同的两点 E、F, Q为EF的中,、一一,八 . 3点,问E、F两点能否关于过点 P (0,二3)、Q的直线对称假设能,求出 k的取值范围;假设不能,请说明理由.解：(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中央即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中a J2
10、b V2c,即椭圆方程可为(x,y)为椭圆上一点,那么22_ 2_ 2|HN | X (y 3) (y 3)2b2 18,其中b 3,那么yb时,| HN |2有最大值b2 6bb2 6b 950 得 b35V2 (舍去),b 3,当y3日t|HN|2有最大值2b2一 一 218, 2b1850 得 b216所求椭圆方程2为二322匕116E(x1,yj F(X2, y2),Q(X0,y0),2X12y1321622X2y23216那么由11两式相减得Xo2kyo又直线PQ,直线直线PQ方程为y将点Q ( X0,y)代入上式得, 3由得由此得k2y.1k X2.3.、3Q k,Q点必在椭圆内部
11、332X0322近1,1647一,又k 0,2-94故当294. 94k( 丁)一时E、F两点关于点P、Q的直线对称22C：三纭1(a5、椭圆a b0)的离心率为-33 ,过右焦点F的直线与C相交于A、B两点,当的斜率为1时,坐标原点.至的距离为2(I)求a , b的值;(II) C上是否存在点P,使彳#当绕限到某一位置时,uuu uuu unnOP OA OB成立假设存在,求出所有的P的坐标与l的方程；假设不存在,说明理由.当l的斜率为1时,其方程为c 0,0至M的距离为0 0c2由 e ,得 a 33 , b Ja c2 = V2a 3(n) c上存在点p,使得当i绕f转到某一位置时,有
12、Op OA 0B成立.2.2由(I)知椭圆 C 的万程为 2x +3y =6, 设 A(Xi,yi), B(X2, y2).(i )当l不垂直x轴时,设l的方程为y k(x 1)uuu uuu uun222(x1 x2)3( y1 y2)假a殳C上存在点p,且有0P OA OB成立,那么p点的坐标为(x1 x2, y1 y2),6 整理得 2x： 3yl2 2 x 22 3 y22 4x1x2 6y1 y2 6_22_2.3y16,2x2 3y26故2x1x2 3yly2 3 0将y k(x 1)代入2x2 3y2 6,并化简得(2 3k2)x2 6k2x 3k2 6 0日於 x1 x26k2
13、3k2 62 , x1x2=2 ,2 3k22 3k2,2,yy2k (x1 1)(x22)4k22 3k2,一m2 c3代入斛得,k 2,此时x1 x2 一2k _3k于7y1 V2 k(x1x2 2)=,即 P(一,)222因此,当k g时,P(-,) , l的方程为、5x y 6 0；2 2当kJ2时,P(又A、B在C上,gP2x1, ), l的方程为炎x y V2 0.22(ii)当1垂直于x轴时,由OA OB (2,0)知,c上不存在点P使OP OA OB成立.综上,C上存在点P(3,)使OP 22OA OB成立,此时1的方程为2x y utruuurujujtF1B d 2, y2
14、),FO(2,0),由 FMx2x1x2 6,即x1x2x4,y必 V2V1V2y于是AB的中点坐标为 一,、. 22y当AB不与x轴垂直时, yy2 2 x1 x2x 42又由于A, B两点在双曲线上,所以 xfunr tuur uurF1A F1B FO 得vy ,、,即 y1y2 寸;(%x2).x 8x 8y12 , x2y22 ,两式相减得(XiX2)(XiX2)(yiy2)(yiy2),即(XiX2)(x4) (y1y2)y .将y1 y2 _y_(X1 X2)代入上式,化简得(X 6)2 y2 4 . x 8当AB与x轴垂直时,X1 x2 2,求得M (8,0),也满足上述方程.
15、所以点M的轨迹方程是(x 6)2 y2 4 .urn uur(II)假设在x轴上存在定点C(m,0),使CAgiB为常数.当AB不与x轴垂直时,设直线 AB的方程是y k(x 2)( k1).代入 x2 y2 2 有(1 k2)x2 4k2x (4k2 2) 0 .那么Xi, X2是上述方程的两个实根,所以XiX24k24 k2 22k2 iX1X2k2 iuuu uuu于是 CAgCB (xi m)(x2 m) k2(xi 2)(x2 2)(k2 i)xix2 (2 k2 m)(xi x2) 4k2 m22 一 24k m(k2 i)(4k2 2) 4k2(2k2 m) k2 ik2 i2(
16、i 2m)k2 2k2 i2_m 2(i 2m)4 4mk2 iuuu uuu0,即 m i,此时 CAgCB= i.uuu uuu由于CAgB是与k无关的常数,所以4 4m当AB与x轴垂直时,点 A, B的坐标可分别设为(2,我),(2, 亚),uuu uuu 一一此时 CAgCB (V2)c(i, V2)i .故在x轴上存在定点uuu uuuC(i,0),使 CAgCB 为常数.8、在平面直角坐标系 xoy中,圆心在第二象限、半径为2J2的圆C与直线y x相切22于坐标原点O .椭圆与 L i与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为i0.a29(i)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在
17、异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长.假设存在,请求出点 Q的坐标；假设不存在,请说明理由.解：(1)设圆心坐标为(m , n) (m0),那么该圆的方程为(x-m) y_ 1_+(y-n) 2=8该圆与直 线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,那么=2 . 2又圆与直线切于原点,将点(0, 0)代入得,m2+n2=8联立方程和组成方程组解得mn故圆的方程为(x+2) 2+(y-2) 2=8(2) a=5, .a2=25,那么椭圆的方程为2 x + 252匕=1 9其焦距c=J25-9=4,右焦点为(4,0),那么 OF =4.即 m n =4要探求是否存在异
18、于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于 OF的长度4,我们可以转化为探求以右焦点F为顶点,半径为通过联立两圆的方程解得 x=- , y= 554的圆(x 42+y2=8与(1)所求的圆的交点数.即存在异于原点的点Q(4, 12),使得该点到右焦点552 x-29、设椭圆E: aF的距离等于OF的长.,N( J6 , 1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且uur uuuOA OB?假设存在,写出该圆的方程,并求|ab |的取值范围,假设不存在说明理由.2 x 解：(1)由于椭圆E: -ya2_4 1
19、(a, b0)过 M (2, V2 b2椭圆E的方程为842 彳 111 .2122所以a b 解得a 8所以a6 1.11b2 1 - 222a bb 4E恒有两个交点A,B,(2)假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆uuu uuuy kx m且OA OB,设该圆的切线方程为 y kx m解方程组 x2 y2 得一184x2 2(kx m)2 8,即(1 2k2)x2 4kmx2m28 0,那么=16k2m2 4(1 2k2)(2m2 8) 8(8k24) 0,即 8k2_2m 4x1x2X1X24 km1 2k22m2 81 2k2yi y2(kxi2m)(kx2 m)
20、k x1x2 km(x1 x2)k2(2m28)2一24k m2k22k2m2 8k21 2k2uuu 要使OAuuuOB,需使2 m2 8xx2 y1y2 0 ,即21 2k8k21 2k2一 一 一 20,所以3m8k20,所以k23m2 88220 又 8k2 m2 4 0 ,2所以m.3m22,所以82.63由于直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为rlm1 k2 22 mr21 k22m3m2 882.6,3所求的圆为28y 3此时圆的切线 y kx-2、6 八m都满足m 或m32.63而当切线的斜率不存在时切线为2.6 一 一与椭圆31的两个交点为2,6,下或uur 满足OA, 2 6(VuuuOB ,综上,存在圆心在原点的圆8一,使得该圆的任3意一条切线与椭圆E恒有两个交点uur uuuA,B,且 OA OB .b2(a, b0)过 M (2,反