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1、x届高考数学（理）配套文档学案空间向量的坐标表示、运算及应用（人教b版）?8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用 1(了解空间向量的基本定理及其意义( 2(掌握空间向量的正交分解及其坐标表示( 3(掌握空间向量的坐标运算( 4(掌握用空间直角坐标计算空间向量数量积的公式( 5(掌握空间两点间的距离公式( 6(理解直线的方向向量与平面的法向量( 7(能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系( 8(能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)( 9(能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题( 10(了解向量方法在研究立体几何问题中的应
2、用( (1)直线的方向向量和平面的法向量是一种连接空间几何与代数的有效工具，已成为高考的热点，而空间向量特别是直角坐标系下的空间向量又是解决立体几何的有力工具，在高考试题中，可以利用空间向量的概念、数量积及其运算律，以及向量的数量积判断向量的共线与垂直，从而得到线线、线面、面面平行与垂直( (2)向量语言是描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系的重要代数语言，它可以将几何中的复杂信息代数化，从而变成简单的信息，有利于立体几何问题的解决( (3)空间直线和平面的关系，可以借助空间向量量化，量化需要建立适当的空间直角坐标系，这样可以较快地解决这些问题;但证明简单的线线、线面、面面平
3、行与垂直问题，可以直接利用空间几何语言进行描述并解决( 1(空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组_，使得_(其中，a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c都叫做_( 2(空间直角坐标系 (1)如果空间的一个基底的三个基向量_，且长都为_，则这个基底叫i，j，kijk做单位正交基底，常用来表示(其中|,|,|,1)( i，j，k(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴:_，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量(通过每两个坐标轴的
4、平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面( (3)建系时，一般使?xOy,135?(或45?)，?yOz,90?，建立_手直角坐标系( ?(4)在空间直角坐标系中有一点A，若OA,xi，yj，zk，则有序实数组_叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作_(其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的_( 3(空间向量的直角坐标运算 设a,(x，y，z)，b,(x，y，z)，a，b是非零向量，则 111222(1)向量加法:a，b,_( (2)向量减法:a,b,_( (3)数乘:a,_( (4)数量积:a?b,_( (5)平行:a?b(b?0) ?_?x,x，_，
5、_( 12(6)垂直:a?b?_?_( a(7)向量a的模|,_,_( (8)向量a与b夹角公式: a?bcosa，b,_( ab|?(9)点坐标和向量坐标:若点A(x，y，z)，B(x，y，z)，则AB,111222?_，线段AB的长度d,_( AB|AB4(直线的方向向量 (1)与直线l_的向量a叫做直线l的方向向量( (2)空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定(设点P是l上的任意一点，则l有向量表示形式_，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式表示(注意同一条直线的点向式表示不唯一( 5(平面的法向量和法向量的求法 (1)平面的法向量 已知平面，直线l
6、?，取直线l的方向向量a，则_叫做平面的法向量( (2)平面的法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求，步骤如下: ?设出平面的法向量为n,(x，y，z); ?找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a,(a，b，c)，b,(a，b，c); 111222?根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ( ?解方程组，取其中的一个解，即得法向量(由于一个平面的法向量有_个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量( 注:平面的法向量的确定通常有两种方法:(1)几何体中已经给出的有向线段只需证明线面垂直(2)几何体中没有具体的直线此时可以采
7、用待定系数法求平面的法向量( 6(空间中任意一个平面，有两种向量表示形式: (1)通过上的一个定点O和两个向量a和b来确定(设点P是上的任意一点，则有向量表示形式_，其中，x，y为实数，a，b分别是上相交于点O的两条直线的方向向量(这种形式与平面向量基本定理一致(注意同一个平面的这种形式的表达式不唯一( (2)通过上的一个定点O和一个向量a来确定(设点P是上的任意一点，则有向量表示形式_，其中a是的法向量，这种形式叫做平面的点法式表示(注意同一个平面的这种形式的表达式不唯一( 7(利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线l，m的方向向量为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则 (1
8、)线线平行:l?m?_?_( (2)线线垂直:l?m?_?_( (3)线面平行:l?_?_( (4)线面垂直，方法一:l?_?_; 方法二:若e，e为平面的一组基底，则 12,a?e，1,l?a?e,a?e,0. 12,a?e2(5)面面平行:?_?_( (6)面面垂直:?_?_( ,(7)线线夹角:l，m的夹角为0?，cos, ( ,2,(8)线面夹角:l，的夹角为0?，sin, ( ,2,(9)面面夹角:，的夹角为0?，cos, ( ,2注意:(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合;(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0?
9、，而2二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为_，若设u，v的夹角为，当u，v均指向二面角内部或外部时(如图1)，u?v二面角的大小为,，cos,cos(,),cos,;当u，v一个指向二面角内，uv|u?v另一个指向二面角外时(如图2)，二面角的大小为,，cos,cos,. uv|8(点到直线的距离 设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离为d,_(如图3)( 图3 图4 9(点到平面的距离 设P为平面内的一点，n为平面的法向量，A为平面外一点，点A到平面的距离为d, (如图4)( 10(线面距离、面面距离都可以转
10、化为_( 【自查自纠】 x，y，z1. p,xa，yb，zc 基底 基向量 2(1)互相垂直 1 (2)x轴，y轴，z轴 (3)右 (4)(x，y，z) A(x，y，z) 竖坐标 3(1)(x，x，y，y，z，z) 121212(2)(x,x，y,y，z,z) 121212(3)(x，y，z) (4)xx，yy，zz 111121212(5)a,b y,y z,z 1212(6)a?b,0 xx，yy，zz,0 121212222(7)a?a x，y，z 111xx，yy，zz121212(8) 222222x，y，zx，y，z111222(9)(x,x，y,y，z,z) 212121222(
11、x,x)，(y,y)，(z,z) 212121?4(1)平行且非零 (2)AP,ta 5(1)向量a ,n?a,ax，by，cz,0，111,(2) 无数 n?b,ax，by，cz,0,222?6(1)OP,xa，yb (2)OP?a,0 7(1)a?b a,kb，k?R (2)a?b a?b,0 (3)a?u a?u,0 (4)a?u a,ku，k?R (5)u?v u,kv，k?R (6)u?v u?v,0 a?ba?uu?v|(7) (8) (9) 0? abauuv|?|PA?n22?8._ 9. |PA?nPAn|10(点到面的距离 在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下
12、列4条叙述: ?点P关于x轴的对称点的坐标是(x，,y，z); ?点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，,y，,z); ?点P关于y轴的对称点的坐标是(x，,y，z); ?点P关于原点的对称点的坐标是(,x，,y，,z)( 其中正确的个数是( ) A(3 B(2 C(1 D(0 解:易知?是错的仅?正确故选C. 已知向量a,(,1，1，,1)，b,(2，0，,3)，则a?b等于( ) A(,5 B(,4 C(2 D(1 解:a?b,12，10，(,1)(,3),1.故选D( 已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n,1，则l与所成的角为( ) 2A(30? B(60
13、? C(x0? D(150? 1解:?cosmn,?mn,x0?. 2?直线l与所成的角为30?.故选A. 已知向量a,(2，,1，3)，b,(,4，2，x)，使a?b成立的x与使a?b成立的x分别为_( 10解:因为a,(2,13)b,(,42x)?a?b?,8,2，3x,0?x,.a?b?3,11023,?x,6.故填，,6. ,42x3正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E，F分别为BB，CD的中点，则点F到平11111面ADE的距离为_( 11解:以点D为坐标原点DADCDD所在射线为xyz轴建立如图所示的空间111?,直角坐标系连接AF则A(101)E11D(001)F00AF,11
14、11,2211?,1,1AE,01,AD,(,100)( 111,221?,n?AE,0y,z,0,12设平面ADE的一个法向量为n,(xyz)则令z,2即,11?,n?AD,x,0.011则n,(012)( ?|AF?n35135?点F到平面ADE的距离d,.故填. 11n1010|类型一 空间向量坐标的基本运算 已知a,(1，5，,1)，b,(,2，3，5)( (1)若(ka，b)?(a,3b)，求实数k的值; (2)若(ka，b)?(a,3b)，求实数k的值( 解:ka，b,(k,25k，3,k，5) a,3b,(7,4,16)( (1)?(ka，b)?(a,3b) k,25k，3,k，
15、51?,解得k,. 7,4,163(2)?(ka，b)?(a,3b) 106?(k,2)7，(5k，3)(,4)，(,k，5)(,16),0解得k,. 3【评析】利用向量平行的性质:a?b(b?0) ?a,b?x,xy,yz,z可求解121212第(1)问的k值,利用向量垂直的性质:a?b?a?b,0?xx，yy，zz,0建立方程可求第121212(2)问的k值( ? 已知空间三点A(,2，0，2)，B(,1，1，2)，C(,3，0，4)，设a,AB，b,?AC. ?(1)若|c|,3且c?BC，求c; (2)求a和b的夹角的余弦值; (3)若ka，b与ka,2b互相垂直，求k的值( ?解:(
16、1)?c?BC ?c,mBC,m(,2,12) ,(,2m,m2m)(m?R)( 222?|c|,2m,，,m,，,2m, ,3|m|,3m,?1. ?c,(,2,12)或c,(21,2)( (2)?a,(110)b,(,102) ?a?b,(110)?(,102),1. 222，1，0又|a|,1,2 222|b|,1,，0，2,5 a?b,110?cosab,. |a|b|101010故a和b的夹角的余弦值为,. 10(3)由(2)知|a|,2|b|,5a?b,1. 2222?(ka，b)?(ka,2b),ka,ka?b,2b,2k，k,10,0 5解得k,2或k,. 2类型二 空间两直线
17、的平行与垂直 设a，b是不相交的两条直线l，l的方向向量，试判断下列各条件下两条直12线l，l的位置关系: 1213,2，,1，3(1)a,()，b,1，,; ,225,5，0，,2(2)a,()，b,1，3，; ,2,2，1，43，2，,1(3)a,()，b,(). 13,2,13解:(1)由a,(),2,1,2b得a?b又两条直线ll没12,22有交点所以l?l. 125(2)由于a?b,51，03,2,0所以a?b从而l?l. 122,21432,1(3)由a,()b,()可知不存在任何实数使a,b且a?b?0则这两条直线ll不相交、不平行也不垂直故两条直线ll是不垂直的异面直线( 12
18、12【评析】先考察两个方向向量是否平行或者垂直将空间几何问题代数化用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理这是空间向量的最基本的作用使用得当非常简便( 如图所示，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE,CF,a(0a1)，则DE与BF的位置关系是( ) A(平行 B(垂直 C(相交 D(与a值有关 解:建立如图所示空间直角坐标系则D(001)E(1,a10)B(111)F(01,a0) ?DE,(1,a1,1)BF,(,1,a,1)( ?DE?BF,(1,a)(,1)，1(,a)，(,1)(,1),a,1,a，1,0.?DE?BF即DE?BF.故选B.
19、 类型三 直线和平面的平行与垂直 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC,3，BC,4，AB,5，AA,4，点D1111是AB的中点( (1)证明AC?BC; 1(2)证明AC?平面CDB. 11解:?直三棱柱ABC-ABC的底面边长分别为AC,3BC,4AB,5?ABC为111直角三角形AC?BC.?ACBCCC两两垂直( 1如图以C为坐标原点直线CACBCC分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐1标系则 C(000)A(300)B(040) 3,C(004)A(304)B(044)D20. 111,2?(1)证明:?AC,(,300)BC,(0,44)?AC?BC,0AC?BC. 1113?,(
20、2)证法一:设CB与CB的交点为E连接DE则E(022)DE,0211,21?AC,(,304)?DE,ACDE?AC. 1112?DE?平面CDBAC?平面CDB 111?AC?平面CDB. 113?,证法二:易知AC,(,304)CD,20CB,(044)(设平面CDB的111,2一个法向量为n,(xyz) 3?,n?CD,x，2y,0,2则, ?,n?CB,4y，4z,0.1取y,3得x,4z,3?n,(,43,3)( ?AC?n,3(,4)，03，4(,3),0. 1?AC?n. 1又AC?平面CDB?AC?平面CDB. 1111【评析】用向量证明直线与平面平行可以通过证明直线的方向向
21、量与平面内某直线的方向向量平行也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直当然直线要在平面外(用向量证明直线和平面垂直可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行( 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF?AB，EF?FB，AB,2EF，?BFC,90?，BF,FC，H为BC的中点( (1)求证:FH?平面EDB; (2)求证:AC?平面EDB. 证明:?四边形ABCD为正方形 AB?BC. ?又EF?AB?EF?BC. 又EF?FB?EF?平面BFC. ?EF?FHAB?FH. 又BF,FCH为BC的
22、中点 ?FH?BC.?FH?平面ABCD. 设AC与BD交于点G以H为坐标原点HBGHHF所在射线为xyz轴建立如图所示空间直角坐标系( 设BH,1则A(1,20)B(100)C(,100)D(,1,20)E(0,11)F(001)G(0,10)( ?(1)?HF,(001)GE,(001)?HF?GE. 又GE?平面EDBHF?面EDB?FH?平面EDB. ?(2)?AC,(,220)GE,(001)?AC?GE,0. ?AC?GE. 又AC?BDEG?BD,G?AC?平面EDB. 类型四 平面和平面的平行与垂直 1 如图，四边形ABCD为正方形，PD?平面ABCD，PD?QA，QA,AB,
23、PD. 2(1)证明:平面PQC?平面DCQ; (2)求二面角Q-BP-C的余弦值( 解:如图以D为坐标原点线段DA的长为单位长射线DADPDC为xyz轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. (1)证明:依题意有Q(110)C(001)P(020)( ?则DQ,(110)DC,(001) ?PQ,(1,10)( ?所以PQ?DQ,0PQ?DC,0. 即PQ?DQPQ?DC. 又DQ?DC,D故PQ?平面DCQ. 又PQ?平面PQC所以平面PQC?平面DCQ. ?(2)依题意有B(101)CB,(100) ?BP,(,12,1)( 设n,(xyz)是平面PBC的一个法向量 111?,n?CB,0
24、x,0,1,则 即 ,?,x，2y,z,0.,111,n?BP,0因此可取n,(0,1,2)( 设m,(xyz)是平面PBQ的一个法向量 222?,m?BP,0,x，2y,z,0,222,则即 ,?x,y,0.,22,m?PQ,015可取m,(111)(所以cosmn,. 5由图可知二面角Q-BP-C为钝角 15故二面角Q-BP-C的余弦值为,. 5【评析】由于是常见图形并且有典型的“墙角”结构所以利用空间直角坐标系求解(建系之后又因为垂直关系明显所以每个点的坐标都很容易标出从而给证明与计算带来方便(须注意的是此二面角是钝二面角受部分资料为避免“观察”直接令学生求锐二面角的值这一定势思维的影响
25、不少学生会写错结果此题便是一个警示( 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，?ABC,90?，BC,2，CC,4，点E在1111线段BB上，且EB,1，D，F，G分别为CC，CB，CA的中点( 1111111(1)求证:平面ABD?平面ABD; 11(2)求证:平面EGF?平面ABD. 证明:以B为坐标原点BABCBB所在直线分别为xyz轴建立如图所示空间1直角坐标系则B(000)D(022)B(004)E(003)F(014)( 1a,设BA,a则A(a00)G14 ,2A(a04)( 1?(1)?BA,(a00)BD,(022) ?BD,(02,2) 1?BD?BA,0BD?BD,0. 11?
26、BD?BABD?BD即BD?BABD?BD. 1111又BA?BD,B?BD?面ABD. 1?BD?面ABD?平面ABD?平面ABD. 11111a?,(2)?EG,11EF,(011) ,2?BD,(02,2) 1?BD?EG,0BD?EF,0. 11?BD?EGBD?EF即BD?EGBD?EF. 1111?EG?EF,E?BD?平面EGF. 1又由(1)知BD?平面ABD 1?平面EGF?平面ABD. 类型五 空间角度 如图，在三棱柱ABC-ABC中，H是正方形AABB的中心，AA,22，111111CH?平面AABB，且CH,5. 1111(1)求异面直线AC与AB所成角的余弦值; 11
27、(2)求二面角A-AC-B的正弦值; 111(3)设N为棱BC的中点，点M在平面AABB内，且MN?平面ABC，求线段BM1111111的长( 解:如图所示建立空间直角坐标系点B为坐标原点依题意得A(2200)B(000)C(2,25)A(22220)B(0220)C(225)( 111?(1)易得AC,(,2,25)AB,(,2200)于是cosACAB,1111?AC?AB4211,. 3?322|ACAB112所以异面直线AC与AB所成角的余弦值为. 113?(2)易知AA,(0220)AC,(,2,25)( 111?,m?AA,0,1设平面AAC的一个法向量m,(xyz)则 ,11?,
28、m?AC,011y,0,即不妨令x,5 ,2x,2y，5z,0.可得m,(502)( ?,0n?AC,11同样地设平面ABC的一个法向量n,(xyz)则即,111111?,n?AB,011,2x,2y，5z,0,111,5可得n,(052)( 不妨令y,1,x,0.1m?n2于是cosmn, mn7|223,从而sinmn,1,5. ,773所以二面角A-AC-B的正弦值为5. 1117235,(3)由N为棱BC的中点得N. 112,222?,235,设M(ab0)则MN, ,a2,b,222?,MN?AB,0,11由MN?平面ABC得即,111?,MN?AC,011,22,a,，,a，,22
29、,0,22?,解得因此BM,2,235,b,.,，,a，,2，2,b，,2，5,0,4,222,22,. 0,24221022,?所以线段BM的长，,. ,|BM,424【评析】(1)在空间直角坐标系中因为两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角是相等或互补的所以可以通过求出两方向向量的夹角(?(0)来求两异面直线的夹,，,角? 0,但要注意与的区别与联系这里cos,|cos.(2)因为二面角的大小,，,2与它们的法向量的夹角是相等或者互补的关系所以可通过它们的法向量的夹角来求二面角的大小(3)直线与平面垂直即直线的方向向量与平面内两相交直线垂直可以确定点M的位置再利用空间向量的模求出线段MN
30、的长( 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE?平面ABCD，AF?DE，DE,3AF，BE与平面ABCD所成角为60?. (1)求证:AC?平面BDE; (2)求二面角F-BE-D的余弦值; (3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM?平面BEF，并证明你的结论( 解:(1)证明:因为DE?平面ABCD所以DE?AC. 因为ABCD是正方形所以AC?BD从而AC?平面BDE. (2)因为DADCDE两两垂直 所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示( ED因为BE与平面ABCD所成角为60?即?DBE,60?所以,3. DB由AD,3可知DE,36AF,6. ?则A(300)
31、F(306)E(0036)B(330)C(030)所以BF,(0?,36)EF,(30,26)( 设平面BEF的法向量为n,(xyz) ?,n?BF,03y，6z,0,即 则,?,3x,26z,0.,n?EF,0令z,6则n,(426)( ?因为AC?平面BDE所以CA为平面BDE的法向量CA,(3,30) ?n?CA613?所以cosnCA,. 13?n2632|CA13因为二面角为锐角所以二面角F-BE-D的余弦值为. 13?(3)可设M(tt0)则AM,(t,3t0)( 因为AM?平面BEF ?所以AM?n,0即4(t,3)，2t,0解得t,2. 1此时点M坐标为(220)BM,BD符合
32、题意( 3类型六 空间距离 如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4，动点P在棱AB上( 1111111(1)当AP,AB时，求CP与平面DDCC所成角的正弦值; 1111123(2)当AP,AB时，求点C到平面DDP的距离( 11114解:如图以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系D-xyz. 由题设知正方体棱长为4则D(000)A(400)B(444)A(404)11D(004)C(040)( 1?(1)由题设可得P(424)故CP,(4,24)( ?AD?平面DDCC 11?DA,(400)是平面DDCC的法向量设所求角为 11?,DA?CP2?sin,. ,|cosDACP?3,|DA|
33、CP|2?CP与平面DDCC所成角的正弦值为. 113?(2)?DC,(040)设平面DDP的法向量n,(xyz)?P(434)DD,(011?04)DP,(434)( ?,n?DD,0,1,z,0,即则,令x,3则y,4. ?,4x，3y，4z,0.,n?DP,0,?n的一个取值为(,340)( ?|n?DC|16?点C到平面DDP的距离为d,. 1|n|5?【评析】(1)CP与平面DDCC所成角的正弦值等于CP与平面的法向量DA所成角的余11?弦值这两个角互为余角,(2)求C到平面DDP的距离转化为求DC(平面DDP的一条斜11线段)在平面的法线上的射影的长( 如图，?BCD与?MCD都是
34、边长为2的正三角形，平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB,23. (1)求点A到平面MBC的距离; (2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值( 解:取CD中点O连接OBOM则OB?CDOM?CD. 又平面MCD?平面BCD则MO?平面BCD. 以O为原点直线OCBOOM为x轴y轴z轴建立如图所示空间直角坐标系( 易知OB,OM,3则各点坐标分别为O(000)C(100)M(003)B(0,30)A(0,323)( (1)设平面MBC的一个法向量m,(xyz)( ?BC,(130)BM,(033) ?,m?BC,0x，3y,0,?即 ,?,3y，3z,0.,m?BM,0取z,1
35、则m,(3,11)( ?又AB,(00,23) ?点A到平面MBC的距离 ?|AB?m|,232,15. d,5m|5(2)设平面ACM的一个法向量n,(xyz)( 111?CM,(,103)CA,(,1,323) ?,n?CM,0,x，3z,0,11?即 ,?,x,3y，23z,0.,111,n?CA,0取z,1则n,(311)( 1?又AB?平面BCD?AB是平面BCD的一个法向量( ?n?AB,235?cosnAB,. 5?n523|AB22?,5,?sinnAB,1,5. ,552?平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为5. 51(空间向量的基本定理是我们能够利用空间向量解决问题的
36、基础，而空间向量的坐标表示及运算是空间向量基本定理的具体应用和“量化”( 2(在涉及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实现向量的坐标运算解决几何问题简便有效，具体的步骤可归纳为: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求相关点的坐标; (3)表示向量的坐标; (4)向量的坐标运算( 3(通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行与垂直等位置关系问题，利用数量积可计算空间角和距离等问题，要注意空间角度与向量角度之间的区别和联系，求距离往222aa?ea往利用公式|,a?a,x，y，z计算，也可利用|,|cos(e为单位向量，为a，e的夹角)来求一个向量在另一条直线上的射
37、影长( 4(用向量方法证明空间中的平行关系 (1)线线平行 证明两直线的方向向量平行( (2)线面平行 证明线面平行有三种方法:一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线;三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示( (3)面面平行 ?证明两个平面的法向量平行; ?转化为线面平行、线线平行问题( 5(用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)线线垂直 证明两直线的方向向量垂直( (2)线面垂直 ?证明直线的方向向量与平面的法向量平行( ?根据线面垂直的判定定理，转化为证直线与平面内的两条相交直线垂直( (3)面面垂直 ?根据面面垂直的判定定理
38、转化为证相应的线面垂直、线线垂直( ?证明两个平面的法向量互相垂直( 6(用向量方法求空间角 (1)两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全,，相同，两异面直线所成角的取值范围是0，而两向量所成角的取值范围是0，所,，2以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角( (2)利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法: ?通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角; ?分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)( ，注意:直线与平面所成角的取值
39、范围是0，. ，2(3)利用空间向量求二面角，也可以有两种方法: ?分别在二面角-l-的面，内，沿，延伸的方向作向量n?l，n?l，则这两12个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; ?通过法向量求解(设m?，m?，则两向量的夹角与该二面角相等或互补( 12注意:二面角的取值范围是0，( 7(空间距离 空间中的距离有:点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线到线的距离、线到面的距离、面到面的距离(求距离的一般步骤是:一作作出表示距离的线段;二证证明它就是所要求的距离;三算计算其值( (1)求空间中点到点的距离，可以利用两点间的距离公式，或转化为解三角形( (2)利用三棱锥的底面与顶点的
40、转换，可求三棱锥的高，即用等体积法求点到面的距离( (3)空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，若用向量方法求空间距离，则点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解( 第九章 平面解析几何 ?9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程 1(在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素( 2(理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式( 3(掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系( 4(掌握两点间的距离公式( 本部分内容为解析几何的基础知识之一，在
41、每年的高考中均有涉及，主要考查基本概念和直线方程的求法及应用(单独考查直线的问题多为基础题，以选择题方式考查为主;与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识点结合，多为中等或偏难试题，多出现在解答题部分(求直线方程时要注意直线形式的选择，涉及到直线倾斜角与斜率的问题要注意对倾斜角为直角即斜率不存在的情况进行讨论( 1(平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上的基本公式:数轴上，如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)(那么数轴上两点A(x)，B(x)的距离d(A，B),|AB|,_( 12(2)平面直角坐标系中的基本公式: ?两点间的距离公式:在平面直角坐标系中，两点A(x，y)，B(x，y)之间的距离公1122式为 d(A，B),|AB|,_( ?线段的中点坐标公式:若点P，P的坐标分别为(x，y)，(x，y)，且线段PP的12112212中点M的坐标为(x，y)，则 ,x, ，, ,y, .,