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1、有理数一、常考题型检测考点1:正数和负数注意：。既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点对于正数和负数，不能简单理解为带号的数是正数，带“一”号的数是负数例1：向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记作,向南走1000米，原地不动分别可记作 易错点：1、一a一定是负数吗2、下列说法错误的是（）A、0是自然数 B、0是整数 C、0是偶数 D、海拔。米表示没有海拔考点2、有理数1、有理数的分类注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。2、0是整数不是分数例1、把下列各数填在相应的集合内：4整数集合：“，9 -3, 2,
2、-1, 0, 10分数集合： 非负数集合： 有理数集合：例2、下列说法正确的是（A有理数分为正数和负数B有理数-a一定表示负数2C正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D有理数包括整数和分数2、数轴（重点）数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸）、这三者缺一不可（2）数轴的三要素：（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致例1：如图所示，在数轴上，点A,B,C,D依次表示，-2, 2,0说出个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度例2：有理数a, b,c在数轴上
3、的位置如图所示，求* +二+ ；的值 1II1问网Mc 0 b a3.相反数（重点）定义：（1）只有符号不同的两个数叫做相反数。（2）在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。例1、有理数，的相反数是（）3（A） -（B） -（C） 3（D）-333例2、a的相反数是, -a的相反数是 , 0的相反数是 4、绝对值（难点）绝对值的定义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记为|a,读作：a的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数 （0的绝对值是0）绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它
4、本身2） 一个负数的绝对值是它的相反数3） 0的绝对值是0绝对值的计算规律：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等（2） 若同=网，则a=b或a=-b：（3）若科+帆=0,则时=0,网=0例1、如果i -a = -a,下列成立的是（）A .a0 三0例2、的绝对值是8。例 3、若|。一 = 1,则 b二 ,若w+q=o,贝必=。例4、若时=3,忖=5,则等于（）A、2 B、8 C、2或8 D、- 1 或一8例5、已知卜心一2| + 3 + 1=0求a,b的值2008求从小色 的值1 _ 1100 -992）例 6、计算：1-1 + 1-1 + 1-1 + 3 24 3例7、根据卜心0,解答下列问
5、题（1）当x为何值时，,-2|有最小值最小值是多少（2）当工为何值时，3-卜一4|有最大值最大值是多少易错点：1、画数轴时，缺少要素2、已知时=一4,则a的值是（）A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数3、相反数和倒数的定义相混淆考点3、有理数的加减（重难点）例1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（）。（1）都是正数（2） 一个是正数，一个是零（3）两个数异号，且正数的绝对值较大D.以上三种情况都有可能例2、简单计算1,z( 5(1) -3 +(-4.5)；(2) (-f4.5)+ (-f6.7)(3) (+25) + 17(4) - +I 2/；： I 13 ；例3、从图（1）中找
6、规律，并在图（2）填上合适的数例4、下列说法正确的是（）A.两数相减，被减数一定大于减数B. 0减去一个数仍得这个数C.互为相反的两个数差为0D.减去一个正数，差一定小于被减数考点4 有理数的乘除、乘方例1、“！”是一种运算符号，并且1!=1=1x2;3!=1x2x3;4!=1x2x3x4则叫2值为2009!考点5、近似数与科学计数法近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。 科学计数法：把一个数记作aXl（r形式（其中a W10, n为整数。）题型1近似值例1光的速度大约是300 000 OOOm/s,用科学计数法表示为（）。A. 3xl09m/s 3xlO8s 3x1O7s 0.3x1
7、09s题型2：精确度例1、下列说法正确的是（）A、近似数的精确度与近似数25的一样B、近似数与近似数的精确度一样C、近似数4千万与近似数4000万的精确度一样题型3：求近似数例1、用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值：（1）（精确到）；（2）（保留2个有效数字）；（3） 67294 （精确到万位）；（4） 5864 （保留2个有效数字）二、易错题型：1、计算-产s与（-1）如2、关于-（- a）二的相反数，有下列说法：等于：等于（- a）;；值可能为0：值一定是正数.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、下列不是有理数的是（）7A. B. 0C. D.冗34、下
8、列各判断句中错误的是（）A.数轴上原点的位置可以任意选定B.数轴上与原点的距离等于8个单位的点有两个C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点,5、一个数和它的倒数相等，则这个数是()6、正数-a的绝对值为:负数-b的绝对值为7、如果规定符号的意义是a*b=ab/ (a+b),求2* (-3) *4的值。8、已知 x+l|=4, (y+2) 求 x+y 的值0 三、拓展题型1、有理数的巧算(1)利用运算律x50（2x3x4x5）xpill- US1612009x2010(2)裂项相消例1：计算一!一+!
9、+!十+1x2 2x3 3x4变式一：计算： + + +!1x3 3x5 5x72007 x 2009归纳小结:a+b 11111 m 11=+ = =ab a h n(n +1) +1 nn + m) n n + m练习：1、设三个互不相等的有理数，既可表示为+的形式，又可表示为0,2力的形式，求“ 9+2绅)的值a2、已知2,互为相反数，互为负倒数，X的绝对值等于3,求 x3 - (1 + m + n + ab)x2 + (m + n)x2(x)I + (- ab)2W3 的值2、绝对值1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。a(
10、ci 0)去绝对值符号法则：同=0(a= 0)- a(ci。 c ,那么（a + b - c）2 =o（2）绝对值的非负性例 1：已知/，+ 1| + |-3|=0,则”b变式：、 已知 上/人2l + kz - 2| = 0 求f + h1- r llJ lii1 11 ab（4 + 1汕 + 1） （ + 2汕 + 2）（67 + 2006X + 2006）拓展练习：1、若？是有理数，贝“向一7一定是（）A.零 B.非负数 C.正数 D.负数2、满足,一4 =同+机成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）A. ab0 B. ab 1 C. ah0 D. ab 0,则 +冷一”的值等于。a b
11、 ab3、数轴与绝对值结合考查（数形结合）1、利用数轴能形象地表示有理数：例1：已知有理数。在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（）A. ab b C. a + b0D. a - b 0变式一：如图匕为数轴上的两点表示的有理数，在。+,一2/一年现一时中，负数的个数有（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42、利用数轴能直观地解释相反数；例2：如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为 变式：已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3,那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 o3、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例4
12、：有理数在数轴上的位置如图所示，式子同+忖+卜+ 4 + |。一4化简结果为（）-la O 1 b cA. 2a + 3b cB. 3b-c C. b + c D. c b变式：已知有理数”,dc在数轴上的对应的位置如下图：则上一1|+卜，一4+心一闿化简后的结果是（）-4c O l-b A. /? 1B. 2xi -b C. 1 + 2,（i h 2c,D. 1 2c + b有理数的巧算【赛点解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不 仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯C2、有理数的相关概念和性质
13、法则有理数的运算法则有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧巧用运算律 凑整法 拆项法（裂项相消） 分组相约法 倒写相加法错位相减法换元法观察探究、归纳法【专题精讲】【例1】计算下列各题331233(1)(-二)3 X 0.75 + 0.52 X (- -)3 + X (1 ) X (-)3 + 43 - (- -)344372544(-0.1259x二y x (一8严x (一二,【例 2】计算：1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11 + 12 + -+ 2005-2006-2007 + 2008【例 3】计算：(1)- + - + + + + + 2 6 12 20 309900z 1
14、1 1 1(2)11F 41x3 3x5 5x799x101反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可 以用裂项相消法求值， _1 n(n +1) n +11 1 1 1=一(n(n + k) k n n + k1 1r 1 1 . 1 1,11、=- =-(-) nn + l)(/z + 2) 2 n(n + ) ( + 1)(+ 2)(- 1)( + 1) 2 1 + 1【例4】(第18届迎春杯)计算：I 1 HH2 4 81024，加1一、-1/2、/23、/23 , 4、 ,I 2358 59、例 5 II 算：一+ (一 + ) +
15、 ( H 1) + ( - + 1 1) + + ( H+F + H)2 3 34 4 45 5 5 560 60 6060 60【例6】(第8届“希望杯”)计算：)(+ -HF2009 2 3 42010)(I F H) 2009 2010 2 32009【例7】请你从下表归纳出F+ 2,+33+4?+小的公式并计算出:p+23+33+43+503的值,123458 109 12 1512 16 2010 15 20 25【实战演练】1、用简便方法计算：999x998998999-998x999999998 =2、（第10届“希望杯”训练题）1)x(20031002-1)x(1TooT-1)
16、x(1000-1)=11999x1999-1999 ,2000x2000-2000 ,2001x2001-2001 Ihl ,3、己知a =.b =,b =则abc =1998x1998 + 19981999 x 1999 + 19992000 x 2000 + 20004、计算： !+!十+! 11x13x15 13x15x1729x31x335、(“聪明杯”试题)Jx2x4 + 2x4x8 + . + 2i4)2 =1 x 3 x 9 + 2 x 6 x 18 + + 3 96、(1 +1x3)(1 +2x4)(1 +3x5)-(1 +A. 1B. 21998x2000C. 3)(1 +1
17、999x2001D. 4）的值得整数部分为（）提示：( +1)2 = n2 + 2n +17、1216-1-1- 1x3 3x5 5x7 7x94019x218、计算:S=l + 2 + 22+23+.-+220109、计算1 +1+ 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + - + 100的值. 10、计算： 3+pj- + 一j一p+j泮L 的值。1 + - (1 + -X1 + -) (1 +-)(1+ -)(1 + -)(1+ -)(1 +-)(1 + !)223234232010七年级上学期复习要点归纳第一章有理数自然数：像0,1, 2, 3, 4,5,6 这样的数叫做自然数（提示：
18、自然数包含0）。 正整数：像1,2, 3, 4, 5- 100,101 这样的数叫做正整数。负整数：-100,-99 -5,-4,-3,-2,-1这样的数叫负整数c。既不是正数也不是负数。整数：正整数.0,负整数统称为整数。1 2 15正分数：像一，一,一,0.1,5.32这样的数叫正分数。2 3 7521负分数：像一。.5,23 7分数：分数包括正分数和负分数。,一150.25这样的数叫负分数。分数不包括0,有限小数、无限循环小数都是分数。整数分数正整数0负整数正分数负分数正有理数负有理数正整数正分数负整数负分数有理数定义分典型例题一：1, 一，-789, 正整数集（负整数集 正分数集 负分
19、数集 正有理数集 负有理数集（ 自然数集有理数集（有理数按性质分25, 2乃，0, -20, 200%, 7t)非负数：包含0和正数 非正数：包含0和负数典型例题二：最小的自然数一，最大的负整数为一，最小的正整数位一，最大的非正数为,没有最大的正整数 和最小的负整数。判断对错：整数一定是自然数（），自然数一定是整数（数轴：数轴三要素：原点，正方向和的位长度。负数都在原点左边，正数都在原点右边。数轴上的点到原点的距离都是非负数。 原点的右边离原点越远的点表示的数越大，原点的左边离原点越远的点表示的数越小。典型例题三：在数轴上点A表示一4的点，现在把A点移动3个的位长度，现在A点的位更在数轴上点A
20、表示-4的点，点B表示-5的点，那么点A和点B之间的距离为 小位长度。相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数（a+b=0）。相反数几何定义：在数轴上距离原点距高相等的两个点互为相反数。 相反数等于它木身的数是0,相反数大于它本身的数是负数。设a表示一个有理数，一a一定是负数吗当a为正数时，一a表示一负数, 当a为。时，-a表示0当a为负数时，一&表示一正数.典型例题四：点a距原点的距离为1,那么a点为的相反数为.2x的相反数为, a-b的相反数是.如果一a二-5,那么a=,数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为10,这两个数为:如果那么表示a的点在数轴上的什么位置。符号化简：有多少个
21、十号不影响结果（+号可省略），“一”号的个数为奇数个时只取一个“一”号。“一”号的个数为偶数个时, 不影响结果。典型例题五：化简下列各数： 一（一68）（ （6） 一（+绝对值:数轴上表示数啊a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，计做同.一3和3到原点的距离是一样的,所以卜3| =问=3，绝对值出来是一个非负数。一个正数的绝对值等于它本身：一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值等于0,:互为相反数的两个数绝对值相等：非负 数的绝对值是它本身:如果a0,那么,卜a,如果a=0,那么，/卜0如果a0,那么卜一a典型例题六：如果a的绝对值同=3,那么a二.如果=那么a=如果小-1| = 4.那么好如
22、果|。一1|+| + 3| = 0.那么 a-bl=0写出绝对值小4的所有整数,其中正整数为。比较大小：正数大于60大于负数，正数大于负数：两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，越往右边数越大。典型例题七：画出数轴并在数轴上标出，一4, 一1, 一1,并用连接口32有理数加法（默写3条法则）：加法运算规律：小学学过的加法交换律、结合律，在有理数的范围内同样适用，即：两个数相加，交换加数的位/和不变.式 子表示为a+b=bf 三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。用式子表示（a+b） +c=a+ （b+c）o式 子中的字母可以是正数也可以是负数。典型例题八：一+ （ + ）
23、 + （） + （） 23T （-17） -6+ （-22）3- +42 .检修小组从A地出发，在东西方向的道路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位:km）： 4, +7, 9, +8, +5, -3, -3.（1）求收工时距A地多远（2）若每千米耗油升，问从出发到收1：共有理数减法:减去一个数等于加上这个数的相反数，字母a-b=a+（-b）。典型例题九：较小的数减去较大的数，所得的差一定是（）B.正数C,负数或负数一5028+ (24) (22)()(-2.4)-乘法法则（默写）: 倒数：乘积是1的两个数互为倒数（4X = 1）,（与互为相反数区分开来，互
24、为相反数的符号不同：互为倒数符号相同，分子 分母调换位置）（0没有倒数，倒数是它木身的数是1和一1）。一21的相反数为2,一21的倒数为一二555112典型例题十：-2的倒数的绝对值是3-8x(+25)x(-O.O4)一的倒数为多个数乘法规律：几个不是o的数相乘,负因数的个数是偶数时，积是正数：负因数的个数是奇数时，积是负数。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab) c=a(bc)乘法分配率：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a (b+c) =ab-ac典型例题
25、十一：xl249x(-5)25 1 )a0 = 5a + 2 l,则(-4)6的值为除法法则(默写)：除法是乘法的逆运算。如果不等于0)的商是负数，那么2与6(异号)3两数的积是1,已知一数是-2二，求另一个数 7加减乘除混合运算：先乘除后加臧，同级运算从左往右依次计算。典型了例题十二：lx(-6).-ljx642x(-|X-?K-乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做解，在4中，a叫做底数，n叫做指数。(一6中，底数是一6.指数是2,运算结果为36,读作：负6的平方。在一6?中，底数是6.指数是2,运算结果是一36,读作6的平方的相反数,负数的奇次器是负数.负数的偶次格是正
26、数。正数的任何次相都是正数,。的任何正整数次第都是0.由。2=0 可得，a=0.由(a 2)=0 可得，a=2 由2y=0 可得，a=2, b=1典型例题十三：(-1)2+(-1)3-24x(-2)3-I4乘方混合运算的规则：1,先乘方，在乘除，最后加减：2,同级运算，从左到右依次进行3.如有括号，先做括号内的运算：按小括号、中括号、大括号依次进行。典型例题十四：4x(3)2 -5x(-2)+6-I4-lx2-(-3)2科学记数法：把一个大于10的数表示成4X 10的形式(其中a大于或等于1且小于10, n是正整数)。典型例题十五：用科学记数法表示：=： -0=:把原数写在横线上：-2.03x
27、106=； 5.8x10：；(精确到，(精确到个位)(精确到),(精确到)u乘方：求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做箱。在。“中，a叫做底数，n叫做指数。典型例题：(一2户其中底数为,指数为,累是,读作 o 一2,其中底数为,指数为,第是,读作,(一3) (3) ,(3)用恭的形式可表示为负数的奇次辕是负数.负数的偶次事是正数,显然，正数的任何次箱都是正数，0的任何正整数次轼都是0.典型例题十六：若x? = 9 ,则X的值是,若a3 = -8 ,则a的值是0如果(x-l+K + l = 0,那么/期+/004 =。有理数的混合运算规律：1 .先乘方，再乘除，最后加减：2 .统计运算，从左到右进行3 .如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。典型例题十七：-一彳)(-1),ox2 + (-2)3-4(-10)4+(-4)2-(3 + 32)x2-14-1x2-(-3)2-32-(-2)2(-1)4-(1-0.5)x1x2-(-2)2k+l|-6的最小值是，此时.