3热传导方程的初边值问题精选、.docx

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1、word.例4周期初始温度分布求解热传导方程utuxx,(x ,t0)给定初始温度分布u(x,0) 1 cos2x,( x )。解 u(x,t) 1 e 4t cos2x.初始高斯温度分布例5求解定解问题u(x,0)2xkx2e0,),其中常数k 0.(xs)2解 u(x,t)2a(s)e.24a t ds2 (x s)2e ks e 4a2t ds2a-x122(4ka2t 1)s24a2t2xs2xds2(4 ka2tk_ a 4ka2t e22a(4ka2t 1) e4a2te(s-x2112a t2(4 ka2t 1)4a2t12a、t1)(s24ka2t 14a2t2 4ka2t 2

2、)kxdsx4ka2tk 4ka2t2-x1,4ka2t 1 3初边值问题设长度为I,侧表面绝热的均匀细杆，初始温度与细杆两端的温度已知，则杆上的温度分布u(x,t)满足以下初边值问题2ut a uxx f (x,t),0 xl,0tTu(x,0)(x),0 xI,u(0,t) g1(t),u(l,t)g2(t),0tT对于这样的问题，可以用分离变量法来求解. 将边值齐次化1 / 111word.x令U(x,t) g1(t) - g2(t) g(t)再作变换V u U引入新的未知函数，易知它满足Vt a2Vxxf(x,t) Ut, 0 x l,0 t TV(x,0)(x) U(x,0),0 x

3、 l,V(0,t) 0,V(l,t) 0, 0 t T 我们先考虑齐次方程，齐次边界的情形 2 ut a uxx0, 0 x l, t 0u(x,0)(x),0 x l,u(0,t) u(l,t) 0, t 0解设u(x,t) X(x)T(t),代入方程-2_T(t)X(x) a X (x)T(t),T (t) X (x)2,a T(t) X(x) 这等式只有在两边均等于常数时才成立.令此常数为，则有T a2T 0,X X 0,先考虑(3.5)根据边界条件(3.3), X(x)应当满足边界条件X(0) 0, X(l ) 0情形A：当0时，方程(3.5)的通解可以写成X(x) C1e -x C2

4、e x,要使它满足边界条件(3.6),就必须C1 C20,C1e l C2e -l0,1 1.,-,由于一e、l e” l0,l l e e只能Ci C2 0,故在0的情况得不到非平凡解.情形B：当0时，方程(3.5)的通解可以写成(3.1)(3.2)(3.3)(3.(4)(3.(5)(3.(6)2 / 112word.X(x) Ci C2x,要满足边界条件(3.6 ) ,C10,C1lC2 0,即。1C2 0 .X（x）也只能恒等于零.情形C：当 0时，方程（3.5）的通解具有如下形式:x,X (x ) C1 cos、, xC2 sin ,由边界条件X（0） 0DC10,再由X(l )C2s

5、in*l,可知,为了使C2 0,就必须sin l0,、 lk ,(k1,2,)k2 2,(k 1,2,(3.7)这样就找到了一族非零解称 Xk(x) CksinXk(x) Cksinf(k 1,2,(3.8)kx为常微分方程边值问题X (x)X(x),0X(0)X(l) 0的固有函数（特征函数）可得Tk(t)称为相应的固有值a 21tBke l2（或特征值）.将固有值k代入方程（3.4）中,(3.9)于是得到一列可分离变量的特解Uk(x,t)2 k2 2a . 2Ake lt . k sin 一 lx,(k 1,2,(3.(10)由于方程（3.1）及边界条件（3.3)都是齐次的，故可利用叠加原

6、理构造级数形式的解u(x,t)Uk(x,t )k 1Ake a2 kt sin , k x, 1(3.(11)3 / 113word.其中kk2 2l2由（3.2），为使在t 0时，u（x,t ）取到初值（x）,应成立(x) u(x,0)AkSin. kXk 1(3.12) kAk sinx,k 1l21k得出 Ak - 0 ( )sin d .(3.13)得到问题(3.1) (3.3)的解u( x,t)Ake a kt sin . kx,k 1， k2 lk其中 k 7 ,Ak - 0 ( )sin - d定理若 C10,l, (0) (l ) 0,则a ktu( x,t)Akesinj

7、 kx,(3.14)k 12ut a uxx 0, 0 x l, t 0(3.1)是 u(x,0)(x),0 x l,(3.2)u(0,t) u(l,t) 0, t 0(3.3)的古典解(经典解).证明由 C0,l,得在0,l上可积.2 lkA| |； 0 ( )sin 丁 d | 2 l y 0| ( )|d M对任意0,当t 时，成立m n2 tL(m 2) 2F(Aea kt sin/7x)M1k 2 e a k ,(任意整数 m,n 0)t x又对任意p 0,而级数kpe a2 k收敛，k 1m n所以 m （Ae a2 ktsin 二x）在0 x l,t上一致收敛tinn x4 /

8、114word.是 Eu(x,t)a2(Akex m n kk 1 t xktsinQx),即级数u( x,t)2a ktAkesin , kx ,k 1x l,t 时，关于x及t具有任意阶的连续偏导数，并且求偏导与求和可以交换由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数u( x,t)在t 时，确实满足方程及边界条件.再由0的任意性，得u(x,t)在t0时满足方程及边界条件，且 u(x,t) C (0,l (Q ).再证 lim u(x,t)x00(X0),(0 Xol)由条件C10,l,(0)(l),l0 (x)sink .xdx | lk . . l(x)cos xdx |l k|akl

9、a2 吐 _ . _ i-Akesin 7 k xak1C-21k22ak由Bessel不等式，知2ak(x)从而得到kktAk sin J k x 在 t0,0l上一致收敛，kAsin/Tx在 0 x l 上1致收敛于从而得u(x,t)在t0,0 x于是 lim u(x,t)x x t 02lim e a1 x x01 t 0ktAksin、kxAksin kx0k 1(x0),(0Xo l).3.1初边值问题解的渐近性态定理假设初始函数 (x)满足C10,l,(0)(l) 0,则当趋于无穷大时，问题(3.1) (3.3)的唯一的古典解指数衰减地趋于零，确切地说，当t时,对一切 x 0,l

10、,|u(x,t)| Cea21t0,5 / 115word.其中C是一个与解无的正常数证明古典解是唯一的，u(x,t)Akek 12a kt sin、7x是唯一的古典解，其中k2k 12一 Ak)sinkd ,k 1,2, l(x)在0,l上有界，设u(x,t )2.Ake a kt(x)2Mk 1M，则有| A |a2 kt2 a 2Me1ta2( k1 )t2Me1t一a22Me a1t2a2-rkl2Cea2 1te a2( k3.2非齐次方程求解方法一齐次化原理考虑非齐次方程2uta uxxu(x,0)u(0,t)齐次化原理：若w(x,t;)是下述问题w一 a tw( x,t;w(

11、0,t;22 w2 x)1f(x,)w(l,t; ) 0的解(其中0为参数)，则u(x,t )是非齐次问题2uta uxxf(x,t),0u(x,0) 0,u(0,t) u(l,t) 0,证明显然 u(x,0) 0,u(0,t) u(l,t)()sinf(x,t)0, u(l,t),tt0 w(x,t;l,t0,)d0的解.0dw(x,t;t)6 / 1162 lMd l 0*)f(x,t)2Mword.22 U a x222 W ,U 2 Ua 一斗d ,贝U u满足 a 2xt xf (x,t).u(x,t)是非齐次问题的解现在来求问题(*)的解.作变换t t 则问题(*)化为2W 2 w

12、a2r 0, t 0, 0 x l*)txw|t 0 f (x,)w(0,t; ) w(l,t ; ) 0 ,t 0我们已知问题(*)的解为2w(x,t; )Bk( )e a k sin . kx,k 1 k2 22 lk其中 k ：,Bk( ) y 0 f( , )sin-p d2于是 w(x,t; ) Bk( )e a k( jsin、kx, k 1t故 u(x,t) o w(x,t; )d0Bk()e a2 k(t)d sin ,Ix,是非齐次问题的解2ut a uxx f ( x,t), 初边值问题 u ( x ,0 )( x ),的解为u(0,t) u(l,t) 0,u(x,t)a2

13、 ktAkek()ea2 k(t)dkx,其中kk2 2l2)sinB(l0f(,)sin3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法2ut a uxx f(x,t), 0 x l,0 t Tu( x,0)(x),0 x l,(3.15)u(0,t) u(l,t) 0 0 t Tk万法步骤把u(x,t),万程的非齐次项f(x,t)和初值都按照特征函数系 sinx展开: l7 / 117word.u(x,t)k Tk(t )sin x, 1lf(x,t)k fk(t )sin x, 1l(x)kk sin - x,由特征函数系ksinx在区间0,l 上的正交性，可得 lfk(t)kf ( x,t )

14、sin xdx ,lk .(x) sin xdx .l而函数Tk(t)暂时还是未知的.为确定Tk(t)，把上述展开式问题(3.15)代入方程和初始条件由特征函数系ksin x的完备性，从而得到Tk( t)适合下列修分方程和初始条件2 k 2 一Tk(t) a (丁)Tk(t)sinJkfk(t)sinx,k 1l于是得到Tk(0)sink 1ksin - x,lTk(t)a2(2)2Tk(t)fk(t)Tk(0)12,a2()2te l Tk(t)a2()2tfk(t)从0至IJ t积分故非齐次初边值问题解u( x,t )a2a)2te l Tk(t) Tk(0)a2(t)2tTk(t)kel

15、u( x,t)的表达式为2_ a kkesin . k xk 1t0ffk(k()et0fk(a2(工)2)e la2(%)2(t2)e a k(t)d sin kx,8 / 118word.这与前面的结果一致.能量衰减估计2Ut a Uxx 0,u( x,0)(x),u(0,t) u(l,t)x l, t 0用u乘以方程两端，在0,l上积分l0(ut uuxxu)dx 0,l0utudx2 .u dx1 d2 dt2 .u dx,l0uxxudx2a UxUa2 ；uxuxdx2.ux dx,d_ ldt 0u2dx2a2 0 ux2dx,u(x,t)x0ux(,t)du(x,t)ux(,t

16、)dUx( ,t )d1l2ux(2,t) d1/212d1/ 21/2u(x,t )lu2dx0ddtUx(x,t) dxUx2 .ux dx dxl22 .ux dx,2.ux dxddt2 .u dxlu2dx02,u ( x,t )dx elu2dx02a2l20,2a2 102 .u dx,2dx2a22u (x,0 )dx定理(Cauchy-Schwarz 不等式)设f,g在a,b上可积，则有2u (x,0)dx 0,2( x )dx .f(x)g(x)dx| ( f 2(x)dx) 2( g2(x)dx) 2。aa9 / 119word.证明证法一对区间a,b的任意分割：a

18、 (x)dx付到 f2 (x)dx 1( f (x)g(x)dx)2 0，ab 2ag (x)dxab _o b _ ob o从血(f (x)g(x)dx) f (x)dx g (x)dx， aaa如果a g2(x)dx 0，则对 (必有b f(x)g(x)dx 0，此时自然成立, a于是成立 | f(x)g(x)dx| ( f2 (x)dx) 2 ( g2(x)dx)，2； aaa ),成立 f2(x)dx 2 f(x) g(x)dx 0 ， aabb 21 b 21| f (x)g(x)dx | ( f (x)dx) 2( g (x)dx) 2。 aaa定理(Minkowski 不等式)设

20、g(x) dx) 2 ( a f (x)dx) 2 (a g (x)dx) 2，aaa若(alf(x) g(x)2dx)120，则不等式自然成立；若(*) g(x)2dx)120,则消去公因子,a所以(f (x) g (x)2 dx) 2 ( f2 (x)dx) 2 ( g2 (x)dx) 2 aaa1. 用Cauchy-Schwarz不等式证明b . 2 b . 2(1) 右 f (x)在a, b上可积，则 f (x)dx (b a) f (x)dx;aa(2) 若 f (x)在a, b上可积，且 f (x) m 0 ,1 bb 1o则在a, b上可积；且 f(x)dx dx (b a).f(x)a a f(x)1定理1设函数 Ca,b,且(a)0,b9111b则有(x)2dx)2( )2(b a)( (x)2dx)2 .aax证明由(x) (t)dt ,a 11x_ b:得 | (x)|a| (t) 1dt(x a)2( (x)2dx)2,aa2b| (x)| (x a)( a (x)dx), ab b于是 (x) dx -(b a) (x) dx ,故结果得证.a2a最新文件仅供参考已改成word文本方便更改11 / 1111

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