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1、【全国百强校】福建省福州第一中学2015-2016学年高二下学期暑假作业（一）数学（理）试题2016年高二理科数学暑假作业(1) 班级 座号_ 姓名 _ xxx,？yxa,，i,1,2,10？a1210ii1.设样本数据的均值和方差分别为1和4,若，为非零常数, ，,则yyy,？12,10的均值和方差分别为 ， ， 1+,4a1,4，aa1,41,4+aA, B, C, D, A2.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为 ， ， 133yxx,1255A, 243yxx,1255 B, 33yxx,12
2、5C, 313yxx,，1255D, fxxxa()12,，a33. 若的最小值为，则实数的值为( ) A.5或8 B.?1或5 C.?1或4 D.?4或8 ,xOyQ|1ab,OQab,，2()abab,04. 在平面直角坐标系中，已知向量，点满足.曲,0,PrPQRrRCPOPab,，,cossin,02,C:,线，区域，若是两段分离的曲线，则( ) 13,rR13,rR A. B. rR,1313,rR C. D. D1,1,2A2,0,0B2,2,0C0,2,0，SSS，Oxyz1235.在空间直角坐标系中,已知,若,分别xOyyOzDABC,zOx表示三棱锥在,坐标平面上的正投影图形
3、的面积,则 ， ， SSS,SS,SS,1231231，A， ，B，且 SS,SS,SS,SS,13322313，C，且 ，D，且 A6.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不 BBAB 低于同学,且至少有一科成绩比高,则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生 ， ， 3524 ，A， ，B， ，C， ，D， 7.观察分析下表中的数据, VFE 多面体 面数， ) 棱数， 顶点数，) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 1
4、2 F，V，E猜想一般凸多面体中,所满足的等式是_, ,xxxxxyyyyyab,a12345123458. 已知两个不相等的非零向量，两组向量,和,均由2个和,SSxyxyxyxyxy,，,，,，,，,b1122334455minS3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号). ,S|aab,minS?有5个不同的值 ?若，则与无关 ,SS,0|b|4|ba,ab/minmin?若，则与无关 ?若，则 ,2Sa,8|4|ba,abmin4?若，则与的夹角为 ,f(x),sin(,x，,)A,0,0f(x)629.设函数,若在区间上具有单调性,且
5、 ,2,fff,f(x)236, ,则的最小正周期为_. 22yxCaby:1(0,0)，,2122Cyxy:1(0),，,ab2C10.如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,3CC,CAB,1212的公共点为,其中的离心率为, ab,(1)求的值, CC,PQ,APAQ,AB,12llB(2)过点的直线与分别交于，均异于点，,若,求直线的方程, fxxgxxfxx()ln(1),()(),0,，,fx()fx()11. 设函数,其中是的导函数, gxgxgxggxnN()(),()(),gx()11nn，n?,求的表达式, fxagx()(),a?若恒成立,求实数的取值范围, nN,gg
6、gn(1)(2)()，？nfn,()，?设,比较与的大小,并加以证明, 22Cxy:24，,12.已知椭圆. C(1)求椭圆的离心率; y,2OCOAOB,AB(2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且, 22xy，,2AB求直线 与圆的位置关系,并证明你的结论. Pababab(,),(,),(,)？TPab(),，1122nn11113.对于数对序列,记, TPbTPaaakn()max(),(2),，,？kkkk,112,其中 max(),TPaaa，？TP()aaa，？kk,112k,112k表示和两个数中最大的数, TPTP(),()PP(2,5),(4,1)12(1)对于数对序列
7、,求的值. abcd,(,),(,)abcdPabcd(,),(,)m(2)记为四个数中最小值,对于由两个数对组成的数对序列和TP()TP()Pabcd(,),(,)22ma,md,试分别对和的两种情况比较和的大小. (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)P，3，在由5个数对组成的所有数对序列中,写出一个数对序列使TP()TP()55最小,并写出的值.，只需写出结论，. ABCDABCD,AA,11111ABCDABCDADBC?14.如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，且ACD，BBQ11ADBC,2.过三点的平面记为，与的交点为. BBQ1(?)证明:为的中点
8、; (?)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比; AACD,42，1ABCD6(?)若，梯形的面积为，求 ABCD平面与底面所成二面角的大小. ,pnN,1，c,015. 设实数，整数. p(1)1，,，xpxx,1x,0 (?)证明:当且时，; 1pc,111,ppacaaa,，p11nnn，aaac,ppn，nn1 (?)数列满足.证明:. 2016年高二理科数学暑假作业(1) 班级 座号_ 姓名 _ xxx,？yxa,，i,1,2,10？a1210ii1.设样本数据的均值和方差分别为1和4,若，为非零常数, ，,则yyy,？12,10的均值和方差分别为 ， ， 1+,4a1,4，a
9、a1,41,4+aA, B, C, D, A2.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为 ， ， 133yxx,1255A, 243yxx,1255 B, 33yxx,125C, 313yxx,，1255D, fxxxa()12,，a33. 若的最小值为，则实数的值为( ) A.5或8 B.?1或5 C.?1或4 D.?4或8 【答案】D aaax,f(x),|x，1|，|x，|，|x，|222【解析】利用绝对值的几何意义，结合数轴易知，当时，取得aaf(x),|,，1|,，1|,322a,4a,8最小值
10、，此时，由,可求得或,故选D. ,xOyQ|1ab,OQab,，2()abab,04. 在平面直角坐标系中，已知向量，点满足.曲,0,PrPQRrRCPOPab,，,cossin,02,C:,线，区域，若是两段分离的曲线，则( ) 13,rR13,rR A. B. rR,1313,rR C. D. 【答案】A ,|1ab,a,(1,0)b,(0,1)OQab,，2()Q(2,2)ab,0【解析】因为 ,且 ,设 , ,则由得 ,Pxy(,)OP,，,(1,0)cos(0,1)sin(cos,sin),02,曲线C:设,则, 则, yx,cos,(02),(0,0)y,sin,1,表示以为圆心,
11、为半径的圆, ,Pxy(,)rPQR,|,区域 ,设,则由, r2222QrxyR,，,(2)(2)则有, (2,2)rR表示以 为圆心,分别以和为半径的同心圆的圆 xOC:,环形区域，如图，,若使得是两段分离的曲线,则由图 R13,rR像可知,故选A. D1,1,2A2,0,0B2,2,0C0,2,0，SSS，Oxyz1235.在空间直角坐标系中,已知,若,分别xOyyOzDABC,zOx表示三棱锥在,坐标平面上的正投影图形的面积,则 ， ， SSS,SS,SS,1231231，A， ，B，且 SS,SS,SS,SS,13322313且 ，D，且 ，C，A6.有语文、数学两学科,成绩评定为“
12、优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不 BBAB 低于同学,且至少有一科成绩比高,则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生 ， ， 3524 ，A， ，B， ，C， ，D， 7.观察分析下表中的数据, VFE 多面体 面数， 棱数，) 顶点数，) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 F，V，E 猜想一般凸多面体中,所满足的等式是_, ,xxxxxyyyyyab,a12345123458. 已知两个不相等的非零向量，两组向量,和,均由2个和,SSxy
13、xyxyxyxy,，,，,，,，,b1122334455minS3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号). S?有5个不同的值 ,S|aab,min?若，则与无关 ,S|bab/min?若，则与无关 ,S,0|4|ba,min?若，则 ,2Sa,8|4|ba,abmin4?若，则与的夹角为 【答案】? ,xxxxxA,yyyyyA,AAa12345112345212【解析】记,，若与中有两个向量对应，则,22Sab,，231; ,22,AAAASabab,，23aa12122若与中有且只有一个向量对应，则，若与中没有向量对应，则,222222
14、2Sabb,，4SSababab,，,2()0SSababab,，,2()012323. ; ,2,SSS,SSabb,，4ab,123Smin3又因为，所以. 所以?说法有三个不同的值,说法错误,?,当,2,22Sb,|SSabb,，4,，4|abb|bab,ab/minmin3时,故?正确,又当,与有关,故?说,22SSabbabbbba,，,，,44|(|4|)0|4|ba,min3法错误,当时,故?正确,当,ab,1,cos,ab，ab2,2Sa,8|2|ba,aba,|2|abmin3时,所以,所以,所以,故?说法错误，综上易知正确的是?. ,f(x),sin(,x，,)A,0,0f
15、(x)629.设函数,若在区间上具有单调性,且 ,2,fff,f(x)236, ,则的最小正周期为_. 22yxCaby:1(0,0)，,2122Cyxy:1(0),，,ab2C10.如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,3CC,CAB,1212的公共点为,其中的离心率为, ab,(2)求的值, CC,PQ,APAQ,AB,12llB(3)过点的直线与分别交于，均异于点，,若,求直线的方程, fxxgxxfxx()ln(1),()(),0,，,fx()fx()11. 设函数,其中是的导函数, gxgxgxggxnN()(),()(),gx()11nn，n?,求的表达式, fxagx()()
16、,a?若恒成立,求实数的取值范围, nN,gggn(1)(2)()，？nfn,()，?设,比较与的大小,并加以证明, 22Cxy:24，,12.已知椭圆. C(3)求椭圆的离心率; y,2OAOB,OCABAB(4)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆22xy，,2的位置关系,并证明你的结论. Pababab(,),(,),(,)？TPab(),，1122nn11113.对于数对序列,记, TPbTPaaakn()max(),(2),，,？kkkk,112,其中 max(),TPaaa，？TP()aaa，？kk,112k,112k表示和两个数中最大的数, TPTP(),()PP(
17、2,5),(4,1)12(2)对于数对序列,求的值. abcd,(,),(,)abcdPabcd(,),(,)m(3)记为四个数中最小值,对于由两个数对组成的数对序列和TP()TP()Pabcd(,),(,)22ma,md,试分别对和的两种情况比较和的大小. (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)P，3，在由5个数对组成的所有数对序列中,写出一个数对序列使TP()TP()55最小,并写出的值.，只需写出结论，. ABCDABCD,AA,11111ABCDABCDADBC?14.如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，且ACD，BBQ11ADBC,2.过三点的平面记为，
18、与的交点为. BBQ1(?)证明:为的中点; (?)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比; AACD,42，1ABCD6(?)若，梯形的面积为，求 ABCD平面与底面所成二面角的大小. ,pnN,1，c,015. 设实数，整数. p(1)1，,，xpxx,1x,0 (?)证明:当且时，; 1pc,111,ppacaaa,，p11nnn，aaac,ppn，nn1 (?)数列满足.证明:. 2016年高二理科数学暑假作业(1)参考答案 ,VFE，,2A A D A D B ? A,1,0B1,0，CCCy,0121b,110、【解析】?在，的方程中，令，可得，且，是上半椭圆的左右顶点( c3
19、,222Cc1a2a,2acb,1设的半焦距为，由及得( a,2b,1?，( 2y2，,x1Cy,014?解法一 由?知，上半椭圆的方程为()( ykx,1，xlk,0易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为()， C1代入的方程，整理得 2222kxkxk，,，,4240，, ，*， xy,，PPP设点的坐标为, lx,1B?直线过点，?是方程，*，的一个跟, 2,8kk,4y,x,PP22k，4k，4由求根公式,得,从而, 2,kk,48,22kk，44,P?点的坐标为, ,ykxk,10，,22,kkk1,2yxy,，,10，,Q,同理,由,得点的坐标为, ,2k,APk,4，2AQkk
20、,，1,2，k，4?, 2,2k,，kk,，,420，2APAQ,0APAQ,k，4?,?,即, 8k,kk,，,420，3k,0?,?,解得, 8k,3经检验,符合题意, 8yx,1，3l故直线的方程为, xmy,，1lm,0解法二 若设直线的方程为，,比照解法一给分, xgx,，1，xx,011、【解析】由题设得,，, xx1，xgxggx,，21xx12，xgx,，1，11，x1，x?由已知， xxgx,gx,，3n13，x1，nx，可得( 下面用数学归纳法证明( xgx,，11，xn,1?当时，结论成立( xgx,，k，kx1nk,?假设当时结论成立，即( nk,，1那么当时， xgx
21、，xk1，kxgxggx,，kk，1x111，gxkx，k1，1，kx， 即结论成立( nN,，由?可知，结论对成立( axln1，,x，fxagx,，1，x?已知恒成立，即恒成立( ax,xx,，,ln1，1，xx,0设()， 11axa，,x,，221，x11，xx，则， ,0a,1x,0a,1当时，(仅当，时等号成立)， ,x0,，,00,，,在上单调递增，又 ?,x,00,，,，,?在上恒成立， axln1，,x，1，xa,1x,0?时，恒成立(仅当时等号成立)， ,xa,0,1,x,0,x0,1a,，,a,1当时，对恒有，?在上单调递减， ,a,100，?( axln1，,x，,x,
22、0，1，xa,1x,0即时，存在，使，故知不恒成立， ,1，,a综上可知，的取值范围是( 12ngggn12，,，？，231n，?由题设知， nfnnn,，ln1， gggnnn12ln1，,，？，比较结果为( 证明如下: 111，,，？ln1n，231n，证法一 上述不等式等价于， xln1，,x，1，xa,1x,0在?中取，可得，( 11n，1,lnx,nN,nn，1，n令，则( 下面用数学归纳法证明( 1,ln22n,1?当时，结论成立( 111，,，？ln1k，231k，nk,?假设当时结论成立，即( nk,，1那么当时， 111112k，,，,，,，？ln1ln1lnln2kkk，2
23、31221kkkk， 即结论成立( nN,，由?可知，结论对成立( 111，,，？ln1n，231n，证法二 上述不等式等价于， xln1，,x，1，xa,1x,0在?中取，可得，( n，111ln,x,nN,nn，1，n令，则( 1ln2ln1,2故有， 1ln3ln2,3， 1ln1lnnn，,，n，1， 111ln1n，,，？，231n，上述各式相加可得， 结论得证( nxxy,dx,01x，1，xxn,x证法三 如图，是由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积，而12n，？231n，是图中所示各矩形的面积和， nn121nx,？，,，dxdxnn1ln1，,0023111nxx，,?， 结论
24、得证( 22yx，,142C12.【解析】(?)由题意,椭圆的标准方程为. 22222a,4,b,2,c,a,b,2 所以从而. a,2,c,2 因此. c2e,a2C 故椭圆的离心率. 22x，y,2AB(?)直线与圆相切.证明如下: (x,y),(t,2),x,0A,B000 设点的坐标分别为其中. 2y0t,tx，2y,0OA,OB,0,x00OA,OB0 因为,所以即,解得. 2ty,0x,tt,202C 当时,代入椭圆的方程,得. x,2d,2OABAB 故直线的方程为.圆心到直线的距离. 22x，y,2AB 此时直线与圆相切. y,20y,2,(x,t),x,tx,t00AB 当时
25、,直线的方程为 (y,2)x,(x,t)y，2x,ty,0.0000 即 OAB 圆心到直线的距离 2x,ty00.d,22y,，x,t(2)()00 y2220x，y,t,24,00x0 又故 222y4，x002x，0xx00d,22424yx，8x，1622000x，y，40022x2x00 . 22x，y,2AB 此时直线与圆相切. T(P),2，5,7,113.【解析】(?) T(P),1，maxT(P),2，4,1，max7,6,8.21 T(P),maxa，b，d,a，c，d,2(?) T(P),maxc，d，b,c，a，b.2 T(P),maxc，d，b,c，a，b,c，d，b
26、.m,a2 当时, T(P),T(P).a，c，d,c，b，d,22a，b，d,c，b，d 因为,且所以 T(P),maxc，d，b,c，a，b,c，a，b.2m,d 当时, T(P),T(P).a，b，d,c，a，b,a，c，d,c，a，b,22 因为且所以 T(P),T(P)m,a22m,d 所以无论还是,都成立. T(P)P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)5(?) 数对序列的值最小, T(P),10,T(P),26,T(P),42,T(P),50,T(P),52.12345 BQ/AAAD:AA,AAADBC:BQ,BQBC111BC/AD14.(?
27、)证:因为，所以平面/平面.ACDQC/AD11从而平面与这两个平面的交线相互平行，即. ?AAD?QBC?AAD?QBC11故与的对应边相互平行，于是. 1BQBQBC,BBQ2BBAAAD111所以，即为的中点. AA,hQAQD,1ABCDd(?)解:如第(20)题图1，连接，.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分VV12BC,aADa,2成上下两部分的体积分别为和.设，则. 1112V,a,h,d,ahdQ,AAD1323， 1，211aa,(),VdhahdQ,ABCD3224， 7VVVahd,，,2QAADQABCD,112所以， 3V,ahdABCD,ABCD11112又， 371
28、1VVVahdahdahd,12ABCDABCD,111121212所以， V111,V72故. AE1 ADCAE,DCE(?)解法1:如第(20)题图1，在中，垂足为，连接， DE,AAAA:AE,A11又，且. DE,AEAEA11DE所以?平面，于是. ，AEA,1ABCD所以为平面与底面所成二面角的平面角， S,2S?ADC?BCABCADBC,2AD因为?,所以. S,4?ABCABCDDC,26AE,4又因为梯形的面积为，,所以，. AA,1tan，AEA,1，AEA,114AE于是，. ,4ABCD故平面与底面所成二面角的大小为. DA，DDx1zD解法2:如第(20)题图2，
29、以为原点，分别为轴和轴为正方向建立空间直角坐标系. 2，2aaa,2sin,6SABCDsin,2，CDA,设. 因为，所以. 4A(，0，4)1C(2cos,，2sin,，0),sin从而， 4DA,(，0，4)1DC,(2cos,，2sin,，0),sin所以，. ADCn,(x，y，1)1设平面的法向量， ,4,DAnx,，,40,1sin,DCnxy,，,2cos2sin0,由 x,sin,y,cos,得 n,(,sin,，cos,，1)所以. m,(0，0，1)ABCD又因为平面的法向量. n,m2cos,n，m,2|n|m|所以， ,4ABCD故平面与底面所成二面角的大小为. 15
30、. (?)证:用数学归纳法证明 22p,2(1，x),1,2x，x,1，2x?当时，原不等式成立. *kp,k(k,2，k,N)(1，x),1，kx?假设时，成立. k，1k2p,k，1(1，x),(1，x)(1，x),(1，x)(1，kx),1，(k，1)x，kx,1，(k，1)x当时，. p,k，1所以时，原不等式也成立. pp,1(1，x),1，pxx,1，x,0综合?可得，当时，对一切整数，不等式均成立. 1pa,cn(?)证法1:先用数学归纳法证明. 11ppa,ca,cn1n,1?当时，由题设知成立. 1p*a,cnkkkN,(1)，k?假设时，不等式成立. 推论: 在同圆或等圆中
31、,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.1p,1,pa,a，a*k，1nna,0，n,Npn由易知. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.ap,1c1c,pk，1,，,1，(,1)akpapppank,，1kk当时，. c111,1,(,1),0ppa,c,0ppakk由得. 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。a1c1ccpp，1k()1(1)1(1),，,，p,pppappaaakkkk由(?)中的结论得. 1ppa,ca,ck，11k因此，即. tanA
32、的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。1pa,cnnk,，1所以时，不等式也成立. 1pa,cnn综合?可得，对一切正整数，不等式均成立. (3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)aa1cn，1n，1,1，(,1),1pa,aaapan，1nnnn再由可得，即. 3.余弦：1*pa,a,c，n,N，nn1综上所述，. 圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;1p,1c1,ppfxxx，xc(),，,px,cpp证法2:设，则，并且 点在圆外 dr.1p,1cp,1c,pp,f(x),，(1,p)x,(1,),0，x,c
33、ppppx. 1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。1pf(x)c，,)由此可得，在上单调递增， 111pppf(x),f(c),cx,c因而，当时，. 1ppa,c,0a,c11n,1?当时，由题设，即可知 4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。p,1c1c11p,a,a，a,a1，(),a21111ppa,f(a),cpppa,1211，并且， 1pa,a,c12. 从而1pa,a,cnn，1n,1故当时，不等式. 1p*a,a,ck,1，k,Nkk，1nk,?假设 ()时，不等式成立， 11ppf(a),f(a),f(c)a,a,ckk1，kk，1nk,，1则当时，即有. nk,，1所以时，原不等式也成立. 1pa,cnn综合?可得，对一切正整数，不等式均成立.