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1、【创新设计】2014高考数学一轮复习 第四章 平面向量的概念及其线性运算训练 理 新人教A版【创新创创】2014高考一创创创 第四章 平面向量的念及其创性数学概运教算创创 理 新人A版创考方向要明了考 什 创 创 考怎1.了解向量的创创背景,1.主要考创平面向量的有创概念及创性算、共创向量定理运2.理解平面向量的念理解向量相等的含创,概两个的理解和创用如2012年浙3.理解向量的何表示,几江T5创宁T3等,4.掌握向量加法、法的算理解其何意创,减运并几2.考创创型创创创创或空创填.5.掌握向量乘的算及其何意创理解向量共创的含创数运几两个,6.了解向量创性算的性创及其何意创运几.创创?知创整合1
2、,向量的有创念概名称定创向量有既大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的创度(或称模)零向量创度创零的向量叫做零向量其方向是任意的零向量创作0创位向量创度等于1 个创位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又叫共创向量,创定,0与任一向量平行相等向量创度相等且方向相同的向量相反向量创度相等且方向相反的向量探究1.向量共创平行是不同的念创,向量共创是指向量的方向一致创,两与两个概两两提示,方向相同或相反的一创非零向量叫做平行向量又叫共创向量是同一念个概,创然向量平行或共创其方向可能相同也可能相反,两2,向量平行直创两与两(或创段)平行有何不同,提示,平行向量也叫共创向量创
3、里的“平行”直创与两(或创段)平行的意创不同向量两平行创向量可以在同一直创上,两条2,向量的创性算运向量算运定创法创(或何意创几)算律运加法求向量和的两个运(1)交创律,a，b,b算，a(2)创合律,(a，b)，c,a，(b，c)1减法求与的相反向,，(,)ababab量,b的和的算运叫做与的差ab数乘求创数与向量a(1)|a|,|a|( a),( ) 的创的算运(2)当,0创与的方向相aaa同当,0创a与a的方向(，)a,a， 相反当,0创,0aa(a，b),a，b探究3.,0与,0创的创是否相等,aa提示,相等且均创0.4,若|，|,|,|能创出以你创创创的平行四创形的形创,状ababab
4、提示,如创创明平行四创形的创角创创度相等故四创形是矩形,两条3,共创向量定理向量a(a?0)与b共创的充要条个数件是存在唯一一创创使得b,a.探究5.非零向量当两个ab共创创一定有b,a反之成立创,提示,成立,自创?牛刀小创1,下列创法中正的是确()A,只有方向相同或相反的向量是平行向量B,零向量的创度创零C,创度相等的向量是相等向量两个D,共创向量是在一直创上的向量条解析,创B由于零向量任意向量平行故创创与A创创创度相等且方向相同的向量两个是相等向量故C创创方向相同或相反的非零向量是共创向量故两个D创创,uuur2.(材创创改创教)D是?ABC的创AB上的中点创向量等于()CDuuuruuu
5、ruuuruuurA,，B,BCBCBABAuuuruuuruuuruuurC, D,，BCBCBABAuuuruuuruuur解析,创A如创由于D是AB的中点所以,，,CDCBBDuuuruuuruuuruuur，,，.CBBCBABA3,如创ee创互相垂直的创位向量创向量a,b可表示创()12A,3e,e21B,2e,4e12C,e,3e12D,3e,e12解析,创C创接ab的创点指向并a的创点的向量是a,b.uuuruuuruuur4,(材创创改创教)点C在创段AB上且,创,_,_ACBCAB2uuur.ABuuuruuuruuuruuur解析,如创?,?,.ACBCABAB答案,uuu
6、ruuuuruuuruuur5,(材创创改创教)化创,，,的创果创_,QPMQOPMSuuuruuuuruuuruuur解析,，,QPMQOPMSuuuruuuuruuuruuur,(，)，(,)PQMQOPMSuuuruuuruuur,，,.OQQSOSuuur答案,OS向量的念概例1创出下列命创,?若|a|,|b|创a,buuuruuur?若ABCD是不共创的四点创,是四创形ABCD创平行四创形的充要条DCAB件?若a,bb,c创a,c?a,b的充要件是条|a|,|b|且a?b?若a?bb?c创a?c.其中正命创的序是确号()A,?B,?C,? D,?自主解答?不正创度相等但方向不同的向量
7、不是相等向量,确uuuruuuruuuruuuruuuruuur?正,确?,?|,|且?又ABCD是不共创的DCDCDCABABABuuuruuur四点?四创形ABCD创平行四创形反之若四创形ABCD创平行四创形创?且|DCABuuuruuuruuuruuur|,|因此,.DCDCABAB?正,确?a,b?ab的创度相等且方向相同又b,c?bc的创度相等且方向相同?ac的创度相等且方向相同故a,c.?不正,确当a,b创也有|a|,|b|且a?b故|a|,|b|且a?b不是a,b的充要条件而是必要不充分件,条?不正,未考创确b,0创创特殊情,况创上所述正命创的序是确号?.答案A解平面向量念辨析创
8、的方法决概解向量念有创创目的创创是突出向量的核心方向和创度如共创向量的核心是方决与概3向相同或相反创度有限制相等向量的核心是方向相同且创度相等创位向量的核心是方没向有限制但创度都是一创位创度零向量的核心是方向有限制创度是没个没0创定零向量与抓概决与概任意向量共创,只有创创住念的核心才能创利解向量念有创的创创,1,创a创创位向量?若a创平面的某向量创内个a,|a|a?若a与a平行创a,|a|000?若与平行且|,1创,.上述命创中假命创的是个数()aaaaaa000A,0 B,1C,2 D,3解析,创D向量是有大小又有方向的量既a与|a|a的模相同但方向不一定相同0故?是假命创若a与a平行创a与
9、a的方向有创情,一是同向二是反向反向创两况a00,|a|a故?也是假命创,创上所述假命创的是个数3.0向量的创性算运例2在?ABC中uuuruuuruuuruuuruuur(1)若D是AB创上一点且,2,，创,()CDCACBADDBA.B.C,D,uuuruuuruuur(2)若O是?ABC所在平面一点内D创BC创中点且2，,0那创( OAOBOC)uuuruuuruuuruuurA, B,2AOODAOODuuuruuuruuuruuurC,3 D,2,AOODAOODuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur自主解答(1)法一,由,2得,2(,)即,，CDCACBC
10、DCDCAADDBuuur所以,.CBuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur法二,因创,，,，,，(,),，所以CDCACACACBCACACBADAB,.uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(2)因创D是BC创的中点所以有，,2所以2，,2OBOCODOAOBOCOAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，2,2(，),0?，,0?,.ODOAODOAODAOOD答案(1)A(2)Auuuruuuruuuruuuruuuruuur在本例件下若条|,|,|,|,2创|，|创何创,ACACACABABABuuuruu
11、uruuuruuur解,?|,|,|,|ACACABAB?ABC创正三角形,uuuruuur?|，|,2.ACAB平面向量创性算的一般创律运(1)用已知向量表示外一些向量是用向量解创的基本功除利用向量的加法、法、来另减4数运几乘算外创创充分利用平面何的一些定理,(2)在求向量创要可能创化到平行四创形或三角形中用平行四创形法创、三角形法创尽运利用三角形中位创、相似三角形创创创成比例等平面何的性创把未知向量创化创已知向量有几与直接创系的向量求解,来uuur2,如创在?OAB中延创BA到C使AC,BA在OB上取点D使DB,OB.创OAuuuruuuruuur,a,b用ab表示向量.OBOCDCuuu
12、ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解,，,，2,，2(,)OCOBBCOBOBOAOBBAuuuruuur,2,2,.abOAOBuuuruuuruuuruuuruuur,DCOCODOCOB,(2a,b),b,2a,b.共创向量定理的创用例3创非零向量两个a与b不共创uuuruuuruuur(1)若,a，b,2a，8b,3(a,b)求创,A、B、D三点共创,BCCDAB(2)创定创确数k使ka，b和a，kb共创,uuuruuur自主解答(1)?,a，b,2a，8bBCABuuur,3(a,b)CDuuuruuuruuur?,，,2a，8b，3(a,b)BCCDBDuu
13、ur,2a，8b，3a,3b,5(a，b),5.ABuuuruuur?、共创又?创有公共点它BABBD?A、B、D三点共创,(2)?ka，b与a，kb共创?存在创数使ka，b,(a，kb)即ka，b,a，kb.?(k,)a,(k,1)b.?a、b是不共创的非零向量两个2?k,k,1,0?k,1,0?k,?1.1,共创向量定理及其创用(1)可以利用共创向量定理创明向量共创也可以由向量共创求的创,参数(2)若ab不共创创a，b,0的充要件是条,0创一创创创合待定系法创用数5非常泛,广2,创明三点共创的方法uuuruuur若,创、三点共创,ABCACABuuuruuuruuuruuuruuur3,已
14、知不共创,创?R如ababcdetOAOBOCODOE果3,2,(，)是否存在创数使三点在一直创上,若存在求条ac,bdetabtCDE出创数t的创若不存在创创明理由,uuuruuur解,由创创知,d,c,2b,3a,e,c,(t,3)a，tbCDE三点在一条CDCEuuuruuur直创上的充要件是存在创条数k使得,k即(t,3)a，tb,3ka，2kbCECD整理得(t,3，3k)a,(2k,t)b.因创ab不共创所以有解之得t,.故存在创数t,使CDE三点在一直创上,条创1创律向量加法创律个一般地首尾创次相接的多向量的和等于第一向量起点指向最后一向量创点的个从个个uuuuruuuuruuu
15、uruuuuuuuruuuur向量即，,.特创地一个封创创形首尾创接而成的AAAAAAAAAA122334nn,11n向量和创零向量,创2创创创创向量的中创公个式及三角形的重心(1)向量的中创公式uuuruuuruuur若P创创段AB的中点O创平面一点创内,(，),OPOAOB(2)三角形的重心uuuruuuruuuruuur已知平面不共创的三点内A、B、C,(，)?G是?ABC的重心特PGPCPAPBuuuruuuruuur创地，,0?P创?ABC的重心,PCPAPB创3等个与价创化三点共创有创的等价创化uuuruuuruuuruuuruuurAPB三点共创?, (?0)? ,(1,t)?，
16、t (O创平面内OPOAOBAPABuuuruuuruuur异于APB的任一点t?R)? ,x，y (O创平面于内异APB的任一OPOAOB点x?Ry?Rx，y,1),创4个运注意点向量创性算创注意的创创(1)用平行四创形法创创行向量加法和法算创减运将需向量平移至共起点(2)作向量的差创要两个减注意向量的方向是指向被向量的创点(3)在向量共创的重要件中要条注意“a?0”否创可能不存在也可能有无数个(4)要注意向量共创三点共创的创创创系与区与. 创新交创以平面向量创背景的新定创创创61,从几份概运近年新创创省的高考可以看出高考以新定创的形式考创向量的念及创性算的创率创大且常平面何、解析何、充要件
17、等知创交创与几几条灵具有考创形式活创材新创解法多创等特点,2,解此创创创首决叙清先需要分析新定创的特点把新定创所述的创创的本创弄楚通创创化思想解创是决破解新定创信息创创点的创创所在,典例(2011?山创高考)创AAAA是平面直角坐创系中不同的四点若两两1234uuuuruuuuruuuuruuuur,(?R), (?R)且，,2创称AA创和分割34AAAAAAAA13121412AA已知点C(c,0)D(d,0)(cd?R)创和分割点A(0,0)B(1,0)创下面创法正的是确( 12?)A,C可能是创段AB的中点B,D可能是创段AB的中点C,CD可能同创在创段AB上D,CD不可能同创在创段AB
18、的延创创上解析根据已知得(c,0),(0,0),(1,0),(0,0)即(c,0),(1,0)而得从c,(d,0),(0,0),(1,0),(0,0)即(d,0),(1,0)得d,.根据，,2得，,2.创段AB的方程是y,0x?0,1,若C是创段AB的中点创c,代入，,2得,0此等式不可能成立故创创A的创法不正同理创创确B的创法也不正若确CD同创在创段AB上创0c?1,01d1创，2，,与2矛盾若c0d1d0创10此创，1，,与2矛盾故创创D的创法是正的,确答案D1,本创具有以下创新点(1)命创背景新创,本创创新定创创目用新定创考创考生创创能力与迁知创移能力,(2)考创知创新创,本创把坐创系、
19、向量、点创段的位与置创系通创新定创有机创合在一起能创好地考创学决生的创创理解能力和解创创的能力,2,解本创的创创有以下点决两解本创的创创是住,一是决抓两条AAAA四点共创二是，,2同创创用排除法,12341,定创平面向量之创的一创算“运?”如下,创任意的a,(mn)b,(pq)令a?b,mq,np下面创法创创的是()A,若a与b共创创a?b,0B,a?b,b?aC,创任意的?R有(a)?b,(a?b)2222D,(a?b)，(a?b),|a|b|解析,创B若a与b共创创有mq,np,0故A正因创确b?a,pn,qm而a?b,mq,np所以有a?b?b?a故B创创因创a,(mn)所以(a)?b,
20、mq,222np.又(a?b),(mq,np),(a)?b故C正因创确(a?b)，(a?b),(mq,np)2222222，(mp，nq),(m，n)(p，q),|a|b|故D正,确uuur22,已知点A、B、C是直创l上不同的三点点个O不在直创l上创创于x的方程x，OA7uuuruuur，,0的解集创()xOBACA,?B,1C. D,1,0uuuruuuruuur2解析,创A由件可知条x，x不能和共创使即x,0创也不创足条件OAOBAC所以创足条件的x不存在,一、创创创(本大创共6小创每小创5分共30分)uuuruuuruuuruuur1.如创已知,3用表示ababACDCABBDuuur
21、uuur创,()ADADA,，B.，ababC.a，b D.a，buuuruuuruuuruuuruuur解析,创B?,a,b又,3CBACDCABBDuuuruuuruuuruuuruuur?,(,)?,，,，(,),，.abbababCDCBACCDADuuuruuuruuur2,创P是?ABC所在平面的一点内，,2创()BCBABPuuuruuuruuuruuurA,，,0B,，,0PCPAPBPAuuuruuuruuuruuuruuurC,，,0 D,，,0PCPCPBPAPBuuuruuuruuur解析,创B如创根据向量加法的何意创几，,2?PBCBABPuuuruuur是AC的中点
22、故，,0.PCPA3,已知向量p,，其中a、b均创非零向量创|p|的取创范创是()A,0 B,0,1C,(0,2 D,0,2解析,创D均创创位向量创同向创与当它|p|取得最创2创反向创当它|p|取得最小创0.故|p|?0,2,uuuruuuruuuruuur4,已知四创形ABCD中,|,|创创四创形的形是个状()DCACABBDA,平行四创形 B,矩形C,等腰梯形 D,菱形uuuruuuruuur解析,创B由,可知AB创CD所以四创形ABCD创平行四创形,由|,|DCACABuuur|知创角创相等所以平行四创形ABCD创矩形,BD5,(2013?保定模创)如创所示已知点G是?ABC的重心创G作
23、直创与ABAC两创分uuuruuuruuuuruuur创交于MN两点且,x,y创的创创()ANACAMABA,3 B.C,2 D.解析,创B(特例法)利用等创三角形创重心作平行于底面BC的直创易得,.uuuruuuruuuruuur6,创D、E、F分创是?ABC的三创BC、CA、AB上的点且,2,2DCCEBDEA8uuuruuuruuuruuuruuuruuur,2创，与 ()CFBCAFFBADBEA,反向平行B,同向平行C,互相垂直 D,不平行也不垂直既uuuruuuruuuruuuruuur解析,创A由创意得,，,，BCADABBDABuuuruuuruuuruuuruuur,，,，A
24、CBEBAAEBAuuuruuuruuuruuuruuur,，,，CFCBCBBFBAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur因此，,，(，,)CFCBBCACADBEABuuuruuuruuur,，,CBBCBCuuuruuuruuuruuur故，与反向平行,CFBCADBE二、空创填(本大创共3小创每小创5分共15分)uuuruuuruuuuruuuruuur7,在?ABCD中,a,b,3M创BC的中点创,_ANNCMNABAD_(用ab表示),uuuruuuruuuruuur解析,由,3得4,3,3(a，b)ANNCANACuuuur,a，bAMuuuur所以,(a，b)
25、,a，b.MN答案,a，b8,创ab是不共创的非零向量若两个8a，kb与ka，2b共创创创数k,_.解析,因创8a，kb与ka，2b共创所以存在创数使8a，kb,(ka，2b)即(8,k)a，(k,2)b,0.又ab是不共创的非零向量故解得两个k,?4.答案,?4uuuuruuuruuur9,(2013?淮创模创)已知?ABC和点M创足，,0.若存在创数m使得MCMAMBuuuruuuruuuur，,m成立创m,_.ACABAMuuuuruuur解析,由创目件可知条M创?ABC的重心创接AM并延创交BC于D创,AMADuuuruuuruuuruuuur因创AD创中创创，,2,3所以m,3.AC
26、ABADAM答案,3三、解答创(本大创共3小创每小创12分共36分)uuuruuuruuur10,已知P创? ABC内一点且3，4，5,0延创AP交BC于点D若CPAPBPuuuruuuruuuruuur,a,b用a、b表示向量.ACABAPADuuuruuuruuuruuur解,?,aBPAPABAPuuuruuuruuuruuur,bCPACAPAPuuuruuuruuur又3，4，5,0.CPAPBPuuuruuuruuuruuur?3，4(,a)，5(,b),0?,a，b.APAPAPAPuuuruuur创,t (t?R)ADAPuuur创,ta，tb.?AD9uuuruuur又创,
27、(?R)kkBCBDuuuruuuruuuruuur由,b,a得,k(b,a),BCACABBDuuuruuuruuuruuur而,，,，.aADABBDBDuuur?,a，k(b,a),(1,k)a，kb?AD由?得解得t,.uuur代入?得,a，b.ADuuuruuur?,a，b,a，b.APAD11,创非零向量两个e和e不共创,12uuuruuuruuur(1)如果,e,e,3e，2e,8e,2e121212BCCDAB求创,A、C、D三点共创uuuruuuruuur(2)如果,e，e,2e,3e,2e,ke且A、C、D三点共创求k的121212BCCDAB创,uuuruuur解,(1)
28、创明,?,e,e,3e，2e1212BCABuuur,8e,2e12CDuuuruuuruuur?,，,4e，e12ACBCABuuur,(,8e,2e),12CDuuuruuur?与共创,ACCDuuuruuur又?与有公共点C?A、C、D三点共创,ACCDuuuruuuruuur(2) ,，,(e，e)，(2e,3e),3e,2e121212ACBCABuuuruuuruuuruuur?A、C、D三点共创?与共创而存在创从数使得,即3e,1ACCDACCD2e,(2e,ke)得212解得,k,.uuuruuuruuur12,创点O在?ABC内部且有4，,0求?ABC的面创与?OBC的OAO
29、BOC面创之比,解,取BC的中点D创接ODuuuruuuruuur创，,2OBOCODuuuruuuruuuruuur又4,(，),2OAOBOCODuuuruuur即,OAODuuuruuur?O、A、D三点共创且|,2|ODOA?O是中创AD上靠近A点的一三等分点个?S?S,3?2.?ABC?OBCuuuruuuruuuruuur1,已知?ABC的三创点个A、B、C及平面一点内P创足，,创点PPCPAPBAB与?ABC的创系创()10A,P在?ABC内部B,在?外部PABCC,P在AB创所在直创上D,是创的一三等分点个PACuuuruuuruuuruuur解析,创D?，,PCPAPBABu
30、uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur?，,?,2,2PCPCPAPBPBPAPAAP?P是AC创的一三等分点,个2,平面向量ab共创的充要件是条()A,ab方向相同B,ab两个向量中至少有一创0C,存在?R使b,aD,存在不全创零的创数使a，b,01212解析,创Dab共创创ab方向相同或相反故A创,ab共创创ab不一定是零向量故B创,当b,a创ab一定共创若b?0a,0创b,a不成立故C创,排除A、B、C.uuuruuur3,?ABC中点D在创AB上CD平分?ACB.创,a,b|a|,1|b|,2CBCAuuur创等于()CDA.a，b B.a，bC.a，b D.a
31、，b解析,创B?CD平分?ACB?,.uuuruuur又?,a,b|a|,1|b|,2CBCA?,.uuuruuuruuuruuur?,，,a，CDCBBDBAuuuruuur,a，(,)CACB,a，(b,a),a，b.4.如创所示在五创形ABCDE中点M、N、P、Q分创是AB、CD、BC、DE的中点K和Luuuruuur分创是MN和PQ的中点求创,.KLAEuuuruuuruuur创明,任取一点O,.OLOKKL?K、L创MN、PQ的中点,uuuruuuruuuuruuuruuuruuur?,(，),(，),OQOKOMONOLOP又?MNPQ分创创ABCDBCDE中点uuuuruuuru
32、uuruuuruuuruuur?,(，),(，)OMOAOBONOCODuuuruuuruuuruuuruuuruuur,(，),(，),OQOPOBOCODOEuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur?,(，)，(，)OQOLOKOMONOPKLuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur,(，)，(，)OAOBOCODOBOCODOEuuuruuuruuur,(,，),.OAOEAE11创考方向要明了考 什 创 创 考怎1.了解平面向量基本定理及其意创,本创内独容在高考中一般不创命创常常是创合向量的其他知创命制创合性的小创创些小创多于中属档低创创创常常
33、涉2.掌握平面向量的正交分解及坐创及以下方面,几个表示,(1)创合向量的坐创算求向量的创如运2012年重创T6等,3.用会减坐创表示平面向量的加法、(2)创合平面向量基本定理考创向量的创性表示如2012法乘算,与数运年创广T3等,4.理解用坐创表示的平面向量共创的(3)创合向量的垂直共创等知创求解创创如与参数2011条件.年北京T10等.创创?知创整合1,向量的创角两个(1)定创uuuruuur已知两个非零向量a和b作,a,b创?AOB,叫OAOB做向量a与b的创角,(2)范创向量创角的范创是0a与b同向创创角,0a与b反向创创角,.(3)向量垂直如果向量a与b的创角是创a与b垂直创作a?b.
34、2,平面向量基本定理及坐创表示(1)平面向量基本定理,如果ee是同一平面的内两个不共创向量那创创于创一平面的任意向量内a有且只12有一创创数使a,e，e.121122其中不共创的向量ee叫做表示创一平面所有向量的一创内基底,12(2)平面向量的坐创表示,?在平面直角坐创系中分创取与x创、y创方向相同的创位向量两个ij作创基底创于平面的一向量内个a有且只有一创创数xy使a,xi，yj把有序创数 ( x y )叫做向量a的坐创创作a,( x y )其中x 叫做a在x创上的坐创y 叫做a在y创上的坐创,uuuruuuruuur?创,xi，yj创向量的坐创(xy)就是 A 点的坐创若即,(xy)创A点
35、OAOAOA坐创创( x y )反之亦成立,(O是坐创原点)12探究1.向量的坐创点的与坐创有何不同,提示,向量的坐创点的与坐创有所不同相等向量的坐创是相同的但起点、创点的坐创却uuur可以不同以原点O创起点的向量的坐创点与A的坐创相同,OA3,平面向量的坐创算运(1)若,(),()创?,( ? ? )axybxyabxxyy11221212uuur(2)若()()创,( , , )AxyBxyxxyy11222121AB(3)若,()创,( )axyaxy(4)若a,(xy)b,(xy)创a?b?xy , xy.11221221探究2.相等向量的坐创一定相同创,相等向量起点和创点坐创可以不同
36、创,提示,相等向量的坐创一定相同但是起点和创点的坐创可以不同,如A(3,5)B(6,8)uuuruuuruuuruuur创,(3,3)C(,5,3)D(,26)创,(3,3)创然,但ABCD四CDCDABAB点坐创均不相同,3,若a,(xy)b,(xy)创a?b的充要件能表示成,创,条1122提示,若a,(xy)b,(xy)创a?b的充要件不能表示成,因创条xy有112222可能等于0所以创表示创xy,xy,0.同创a?b的充要件也不能创创创条xx,yy,122112120xy,xy,0等,1122自创?牛刀小创1,若向量a,(1,1)b,(,1,0)c,(6,4)创c,()A,4a,2bB,
37、4a，2bC,2a，4b D,2a，4b解析,创A创c,a，b创有(6,4),()，(,0),(,)即,6,4而从,2故c,4a,2b.2,下列各创向量中能作创基底的创创数()?a,(,1,2)b,(5,7)?a,(2,3)b,(4,6)?a,(2,3)b,(12,34),A,0 B,1C,2 D,3解析,创C创?由于,17,25?0所以a与b不共创故ab可作创基底创?由于b,2aa与b共创不能作创基底创?由于,342，312?0所以a与b不共创故ab可作创基底,3,创向量a,(m,1)b,(1m)如果a与b共创且方向相反创m的创创()A,1 B,1C,2 D,2解析,创A创a,b创即,?1又
38、?a与b共创且方向相反?0即,1.uuuruuuruuur4,(材创创改创教)在?ABCD中AC创一创角创条,(2,4),(1,3)创向量ACABBD的坐创创_,uuuruuuruuuruuur解析,创,(xy)?,，ACADABAD13?(1,3),(2,4)，(xy)?即uuur?,(,1,1),ADuuuruuuruuur?,(,1,1),(2,4),(,3,5),BDADAB答案,(,3,5)5,已知向量,(2,1),(,1),(,1,2)若(，)?创,abmcabcm_.解析,?a，b,(1m,1),?(a，b)?c?2,(,1)(m,1),0?m,1.答案,1平面向量基本定理的创用
39、uuur例1如创所示在?ABC中点M是AB的中点且,ANuuuruuuruuurBN与CM相交于点E创,a,b创用基底ab表NCACABuuur示向量.AEuuuruuuruuuuruuur自主解答易得,b,a由NEB三点共创知存在创数ANACAMABuuuruuuruuurm创足,m，(1,m) ,mb，(1,m)a.ANAEABuuuruuuruuuur由CEM三点共创知存在创数n创足,n，(1,n) ,na，(1,n)b.ACAEAM所以mb，(1,m)a,na，(1,n)b.由于ab创基底所以解得uuur所以,a，b.AE创用平面向量基本定理表示向量的方法创用平面向量基本定理表示向量的
40、创创是利用平行四创形法创或三角形法创创行向量的加法、减数运两法或乘算基本方法有创,(1)用向量的创性算法创创待求向量不创行化创直运运断至用基底表示创止(2)向量用含的基将参数底表示然后列方程或方程创利用基底表示向量的唯一性求解,1.如创在梯形ABCD中AD?BC且AD,BCEF分创创创段AD与BC的中点,创uuuruuuruuuruuuruuur,a,b创用ab创基底表示向量.BCCDBAEFDFuuuruuuruuuruuur解,，,b,a，b,b,aEFEAABBFuuuruuuruuur,，,b，,b,aDFDEEF14uuuruuuruuur,，,.babCDCFFD平面向量的坐创算运
41、uuuruuuruuur例2已知A(,2,4)B(3,1)C(,3,4),创,a,b,c且BCCAABuuuuruuur,3c,2b.求,CMCN(1)3a，b,3cuuuur(2)M、N的坐创及向量的坐创,MN自主解答由已知得a,(5,5)b,(,6,3)c,(1,8),(1)3a，b,3c,3(5,5)，(,6,3),3(1,8),(15,6,3,15,3,24),(6,42),uuuuruuuuruuur(2)?,3cCMOMOCuuuuruuur?,3c，,(3,24)，(,3,4),(0,20),OMOC?M(0,20),uuuruuuruuur又?,2bCNONOCuuuruuur?,2b，,(12,6)，(,3,4),(9,2)ONOCuuuur?N(9,2),?,(9,18),MN平面向量坐创算的运技巧(1)向量的坐创算主要是利用向量加、乘算的法创创行求解的若已知有向创段运减数运来两端点的坐创创创先求向量的坐创,(2)解创创程中常利用向量相等创其坐创相同创一原创通创列方程(创)创行求解来并注意方程思想的创用,uuuruuuruuuruuuruuur2,已知点A(,1,2)B(2,8)以及,求点C、D的坐创和ACCDABDABA的坐创,解,创点C、D的坐创分创创(xy)、(xy)1122uuuruuur得,(x，1y,2),(3,6)