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1、【创新设计】2015高考数学（苏教理）一轮方法测评练：必考解答题模板成形练必考解答题模板成形练(一) (对应学生用书P409) 三角函数、平面向量及解三角形 (建议用时:60分钟) 61(在?ABC中，cos A,，a，b，c分别是角A，B，C所对的边( 3(1)求sin 2A; 322,(2)若sin，B,，c,22，求?ABC的面积( ,2363解 (1)因为cos A,，A?(0，)，?sin A,. 3322?sin 2A,2sin Acos A,. 332222,(2)由sin，B,，得cos B,， ,2331. 由于B?(0，)，?sin B,36则sin C,sin(A，B),
2、sin Acos B，cos Asin B,. 3csin A由正弦定理，得a,2， sin C122?ABC的面积为S,acsin B,. 23CC,2(设a，b，c分别为?ABC的内角A，B，C的对边，m,cos ，sin，n,22CC,cos ，,sin ，m与n的夹角为. ,223(1)求角C的大小; 733(2)已知c,，?ABC的面积S,，求a，b的值( 22CC22解 (1)由条件得m?n,cos,sin,cos C， 221 1又m?n,|m|n|cos ,， 321?cos C,，0,C,，因此C,. 231333(2)S,absin C,ab,，?ab,6. ?ABC242
3、由余弦定理得 222222c,a，b,2abcos C,a，b,ab,(a，b),3ab， 121112得出(a，b),，?a，b,. 4228b3(在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos 2C,1,. 2a11(1)求，的值; tan tan AC8(2)若tan B,，求tan A及tan C的值( 15228b4b21,，?sinC,. 解 (1)?cos 2C,22aa2b?C为三角形内角，?sin C,0，?sin C,. aabbsin B?,，?, sin Asin Basin A?2sin B,sin Asin C. ?A，B，C,， ?sin B,sin(
4、A，C),sin Acos C，cos Asin C. ?2sin Acos C，2cos Asin C,sin Asin C. 111?sin A?sin C?0，?，,. tan Atan C2111(2)?，,， tan Atan C22tan C?tan A,. tan C,2?A，B，C,， ?tan B,tan(A，C) tan A，tan C, 1,tan Atan C2 2Ctan,. 22tanC,tan C，228tanC2?,C,8tan C，16,0 整理得tan2152tanC,tan C，2解得，tan C,4，tan A,4. 1,4(已知向量m,(3sin x,
5、cos x,1)，n,cos x，若f(x),m?n. ,2(1)求函数f(x)的最小正周期; C3,(2)已知?ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c,3，f，,2122(C为锐角)，2sin A,sin B，求C，a，b的值( 12解 (1)f(x),m?n,3sin xcos x,cosx， 231，cos 2x1,sin 2x,， 22231,sin 2x,cos 2x,sin2x,， ,226?f(x)的最小正周期为. C3,(2)f，,sin C,，?0,C,，?C,， ,212223?2sin A,sin B，由正弦定理得b,2a.? 22?c,3，由余弦定理，得9,
6、a，b,2abcos，? 3,a,3，, 解?组成的方程组，得 ,b,23.?C,，a,3，b,23. 3必考解答题模板成形练(二) (对应学生用书P411) 立体几何 (建议用时:60分钟) 3 1(如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，已知平面AACC?平面ABCD，且AB111111,BC,CA,3，AD,CD,1. (1)求证:BD?AA; 1(2)若E为棱BC的中点，求证:AE?平面DCCD. 11证明 (1)在四边形ABCD中，因为BA,BC，DA,DC，所以BD?AC，又平面AACC?平面ABCD，且平面AACC?平面ABCD,AC， 1111BD?平面ABCD，所以BD?平面AA
7、CC， 11又因为AA?平面AACC，所以BD?AA. 1111(2)在三角形ABC中，因为AB,AC，且E为BC中点，所以AE?BC，又因为在四边形ABCD中，AB,BC,CA,3，DA,DC,1， 所以?ACB,60?，?ACD,30?，所以DC?BC，所以AE?DC，因为DC?平面DCCD，AE?平面DCCD，所以AE?平面DCCD 1111112. 如图，在四棱锥P,ABCD中，底面ABCD为矩形，BC?平面PAB，?APB,90?，PB,BC，N为PC的中点( (1)若M为AB的中点，求证:MN?平面ADP; (2)求证:平面BDN?平面ACP. 证明 (1)设AC?BD,G，连接N
8、G，MG，易知G是AC，BD的中点， 4 又N是PC的中点，M为AB的中点， ?NG?PA，MG?AD， ?平面GMN?平面APD.又MN?平面GMN，?MN?平面APD. (2)?BC?平面PAB，AP?平面PAB，?BC?PA， ?APB,90?，?BP?PA. ?BC?BP,B，?PA?平面PBC，?BN?PA. ?PB,BC，点N为PC的中点，?BN?PC. ?PC?PA,P，?BN?平面ACP. 又BN?平面BDN，?平面BDN?平面ACP. 3. 如图，已知PA?矩形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点( (1)求证:EF?平面PAD; (2)求证:EF?CD; 证明 (
9、1)取PD的中点G，连接AG，FG.因为FG为?PCD的中位线， 1所以FG?CD，且FG,CD， 21又AE?CD，且AE,CD， 2所以AE?FG，且AE,FG， 故四边形AEFG为平行四边形，所以EF?AG. 又AG?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF?平面PAD. (2)因为PA?平面ABCD，CD?平面ABCD， 5 所以PA?CD.在矩形ABCD中，AD?CD， 又PA?AD,A，所以CD?平面PAD. 因为AG?平面PAD，所以CD?AG. 又EF?AG，所以EF?CD. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB,2BC,4，?ABC,120?，E，M分别为AB，DE的中点
10、，将?ADE沿直线DE翻折成?ADE，连接AC，AB，F为AC的中点，AC,4. (1)求证:平面ADE?平面BCD; (2)求证:FB?平面ADE. 证明 (1)由题意得?ADE是?ADE沿DE翻折而成，?ADE?ADE. ?ABC,120?，四边形ABCD是平行四边形， ?A,60?.又?AD,AE,2， ?ADE和?ADE都是等边三角形(连接AM，MC. ?M是DE的中点，?AM?DE，AM,3. 22222在?DMC中，MC,DC，DM,2DC?DM?cos 60?,4，1,241?cos 60?，?MC,13. 222222在?AMC中，AM，MC,(3)，(13),4,AC. ?A
11、MC是直角三角形，?AM?MC. 又?AM?DE，MC?DE,M，?AM?平面BCD. 又?AM?平面ADE， ?平面ADE?平面BCD. (2)取DC的中点N，连接FN，NB. ?AC,DC,4，F，N分别是AC，DC的中点， ?FN?AD. 6 又?N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点， ?BN?DE. 又?AD?DE,D，FN?NB,N， ?平面ADE?平面FNB. ?FB?平面FNB，?FB?平面ADE. 必考解答题模板成形练(三) (对应学生用书P413) 直线与圆及圆锥曲线 (建议用时:60分钟) 221(已知圆C的方程为x，(y,4),4，点O是坐标原点(直线l:y
12、,kx与圆C交于M、N两点( (1)求k的取值范围: 211(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且,，.请将n表示为m的函数( 222|OQ|OM|ON|22222解 (1)将y,kx代入x，(y,4),4，得(1，k)x,8kx，12,0(*)，由,(,8k)22,4(1，k)12,0得k,3.所以k的取值范围是(,?，,3)?(3，?)( 2(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x，kx)，(x，kx)，则|OM|11222222222222,(1，k)x，|ON|,(1，k)x，又|OQ|,m，n,(1，k)m， 12211211由,，得，,， 222222222|OQ
13、|OM|ON|，1，k，m，1，k，x，1，k，x122211，x，x，,2xx1212所以,，, 22222mxxxx12128k12362由(*)知x，x,，xx,，所以m,， 12122221，k1，k5k,3n36222因为点Q在直线l上，所以k,，代入m,3m,36， 可得5n2m5k,336222由m,及k,3得0,m,3，即m?(,3，0)?(0，3)( 25k,3依题意，点Q在圆C内，则n,0， 2236，3m15m，180所以n,， 557 2，18015m综上，n与m的函数关系为n,(m?(,3，0)?(0，3)( 5222(已知圆C:(x，3)，y,16，点A(3，0)，
14、Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程; (2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，?AOB(O是坐标原点)4的面积S,，求直线AB的方程( 5解 (1)由题意|MC|，|MA|,|MC|，|MQ|,|CQ|,4,23，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆， 2x2即轨迹E的方程为,1. ，y4(2)记A(x，y)，B(x，y)， 1122由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x,1也不满足条件， 故可设AB的方程为x,my，1， 22,x，4y,4，22由,消x得(4，m)y，2my,3,0， x,my，1，,22,
15、m，23，mm,23，m,所以y,，y,. 12224，m4，m212m，3S,|OP|y,y|,. 1222m，442由S,，解得m,1，即m,?1. 5故直线AB的方程为x,?y，1， 即x，y,1,0或x,y,1,0为所求( 23(已知过点A(,4,0)的动直线l与抛物线G:x,2py(p,0)相交于B，C两点(当1?直线l的斜率是时，AC,4AB. 2(1)求抛物线G的方程; (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围( 11解 (1)设B(x，y)，C(x，y)，当直线l的斜率是时，l的方程为y,(x，4)，112222即x,2y,4， 8 2x,2py，,2联立,得
16、2y,(8，p)y，8,0， x,2y,4,22，16p，6p8，p，p8，p,p?y,，y, 1244?由已知AC,4AB，?y,4y， 212?可得p，16p,36,0 ?p,0可得y,1，y,4，p,2， 122?抛物线G的方程为x,4y. (2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0， 设l:y,k(x，4)，BC中点坐标为(x，y)， 002,x,4y，22由,得x,，44kx,16k,0，由,0得k,4或k,0，x,2k?2kk. y,k，x，4，,?x，x,2k BC，xxBC2?x,k(x，4),2k，4k. ,2k，y000212BC中垂线方程为y,2k,4k,(x,2k)， k
17、2?b,2(k，1)，?b,2. 22xy24(已知椭圆C:，,1(a,b,0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为.1222ab2以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x,y，2,0相切( (1)求椭圆C的方程; (2)如图，若斜率为k(k?0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N(A点在椭圆右顶点的右侧)，且?NFF,?MFA.求证直线l过定点(2,0)，并求出斜率k212的取值范围( 222c2ca,b12222解 (1)由题意知e,，?e,，即a,2b.又?b,1，22a2aa21，19 2x222?a,2，b,1，?椭圆方程为,1. ，y2(2)由题意，设直线l的方程为y,k
18、x，m(k?0)，M(x，y)，N(x，y)( 1122,y,kx，m，222由,，1)x，4kmx，2m,2,0. 得(2k22 x，2y,2,222222由,16km,4(2k，1)(2m,2),0，得m,2k，1， 2222,2m，1,2km,4k,2m，2,2km，4k?x,，x 12222k，12k，12,2,4km2m则有x，x,x,，x. 12122222k，1k，1?NFF,?MFA， 212且?MFA?90?，kMF，kNF,0. 222yy12又F(1,0)，则，,0， 2x,1x,112kx，mkx，m12即，,0， x,1x,112化简得2kxx，(m,k)(x，x),
19、2m,0. 12122,4km2m,2将x，x,，xx,代入上式得m,2k， 1212222k，12k，1?直线l的方程为y,kx,2k，即直线过定点(2,0)( 22将m,2k代入m,2k，1， 1,2222得4k,2k，1，即k,，又?k?0，?直线l的斜率k的取值范围是,，02,2,2?,. 0，,2必考解答题模板成形练(四) (对应学生用书P415) 实际应用题 (建议用时:60分钟) 1(在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大,最大容积是多少, 10 a3,x解 (1)设箱底
20、边长为x，则箱高为h,(0,x,a)， 32111223箱子的容积为V(x),xsin 60?h,ax,x(0,x,a)( 2881322由V(x),ax,x,0解得x,0(舍)，x,a， 124832,且当x?0，a时，V(x),0; ,32,当x?a，a时，V(x),0， ,32所以函数V(x)在x,a处取得极大值( 3212121,233,这个极大值就是函数V(x)的最大值:Va,aa,a,a. ,3838354213所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a. 3542(如图，某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳地，计划在地块OABC内修一条
21、与池边AE相切的直路l(宽度不计)，切点为M，并把该地块分为两部分，现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线2为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y,x，2(0?x?2)的图24,象，且点M到边OA距离为t?t?. ,332(1)当t,时，求直路l所在的直线方程; 3(2)当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少, 11 214,解 (1)M，l:12x，9y,22,0 ,3922(2)M(t，,t，2)，过切点M的切线l:y,(,t，2),2t(x,t) tt,2,即y,2tx，t，2，令y,2得x,，故切线l与AB交于点，2; ,22t1t124t
22、11711，,令y,0，得x,，又x,，在，递减，所以x,，?，故切线，2t2t332t126t1,l与OC交于点，0. ,2t?地块OABC在切线l右上部分区域为直角梯形， 1t1t11,面积S,2,，2,?2,4,t,4,t，?2，t,1时取到等号，S,max,22t2tt2. 3(济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研(据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k,0)(现已知相距36 km的A，B两家，b，它们连线上任意一点C处的污染指化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a数y等于两化工厂对该
23、处的污染指数之和(设AC,x(km)( (1)试将y表示为x的函数; (2)若a,1时，y在x,6处取得最小值，试求b的值( kakb解 (1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，x36,x其中k为比例系数，且k,0. kakb从而点C处污染指数y,，(0,x,36)( x36,xkkb(2)因为a,1，所以，y,， x36,x1b36，y,k,，,，令y,0，得x,， 22，x，36,x，1，b36,0，,当x?时，函数单调递减; ,1，b36,，?,当x?时，函数单调递增; ,1，b12 36?当x,时，函数取得最小值( 1，b又此时x,6，解得b,25，经验证符合题意(
24、 所以，污染源B的污染强度b的值为25. 4(某个公园有个池塘，其形状为直角?ABC，?C,90?，AB,200米，BC,100米( (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF?AB，EF?ED，在?DEF喂食，求?DEF面积S的最大值; ?DEF(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造?DEF连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使?DEF为正三角形，求?DEF边长的最小值( 解 (1)Rt?ABC中，?C,90?，AB,200米，BC,100米( BC1?cos B,，可得B,60? AB2?EF
25、?AB，?CEF,?B,60? CE设,(0,1)，则CE,CB,100米， CBRt?CEF中，EF,2CE,200米， 3C到FE的距离d,CE,503米， 23?C到AB的距离为BC,503米， 2?点D到EF的距离为 h,503,503,503(1,)米 12可得S,EF?h,5 0003(1,)米 ?DEF21112?(1,)?，(1,),，当且仅当,时等号成立， 44213 1?当,时，即E为AB中点时，S的最大值为 ?DEF221 2503米 (2)设正?DEF的边长为a，?CEF,， 则CF,a?sin ，AF,3,a?sin . 设?EDB,?1，可得 ?1,180?,?B,
26、?DEB,120?,?DEB，,180?,60?,?DEB,120?,?DEB ?ADF,180?,60?,?1,120?, a3,asin 在?ADF中，, sin 30?sin?ADFa3,asin 即,， 1sin，120?,，2化简得a2sin(120?,)，sin ,3 333213?a,?,(其中是满足tan ,的锐722sin ,3cos 7sin，,，7角)( 21?DEF边长最小值为米( 7必考解答题模板成形练(五) (对应学生用书P417) 数 列 (建议用时:60分钟) 1(已知数列a的前n项和为S，且2S,1,a. nnnn(1)求数列a的通项公式; nn11,(2)记
27、b,loga，数列b的前n项和为T，求证 ,2. nnnn3T,k1k1解 (1)当n,1时，2S,1,a2a,1,a，?a,; 11,111314 2S,1,a，,nn当n?2时，, 2S,1,a，,n1n1两式相减得2a,a,a(n?2)， ,nn1na1n即3a,a(n?2)，又a?0，?,(n?2)， ,nn1n1a3,n111?数列a是以为首项，为公比的等比数列( n33111,n1n,?a,?,. n,33311,n,(2)由(1)知b,log,n， n,332，nn?T,1，2，3，n,， n2n1222, ,， T1223n，n，1，,k1k11111,，,，, ,2,1,22
28、3nn，1,1,2,1,2. ,n，1,*2(数列a的前n项和为S，若a,2，且S,S，2n(n?2，n?N)( ,nn1nn1(1)求S; n(2)是否存在等比数列b满足b,a，b,a，b,a,若存在，求出数列bn112339n的通项公式;若不存在，说明理由( 解 (1)因为S,S，2n， ,nn1*所以有S,S,2n对n?2，n?N成立， ,nn1即a,2n对n?2成立，又a,2?1. n1*所以a,2n对n?N成立( n*所以a,a,2对n?N成立，所以a是等差数列， ，n1nna，a1n2*所以有S,?n,n，n，n?N. n2(2)存在( *由(1)，得a,2n，n?N成立， n所以
29、有a,6，a,18，又a,2， 39115 bb23所以由b,a，b,a，b,a，则,3. 112339bb12所以存在以b,2为首项，公比为3的等比数列b， 1n,n1其通项公式为b,2?3. n3(已知数列a是首项a,1的等差数列，其前n项和为S，数列b是首项n1nnb,2的等比数列，且bS,16，bb,b. 122134(1)求a和b; nn(2)令c,1，c,a，c,a，kb(k,1,2,3，)，求数列c的前2n，1项,，12k2k12k12kkn和T. ，2n1解 (1)设数列a的公差为d，数列b的公比为q， nn,n1则a,1，(n,1)d，b,2q. nnb4由bb,b，得q,b
30、,2， 1341b3由bS,2q(2，d),16，解得d,2. 22n,2. ?a,2n,1，bnn(2)?T,c，a，(a，b)，a，(a，2?b)，a，(a，nb),1，S，,2n111213422n12nn2n(b，2b，nb)( 12n令A,b，2b，nb， 12n2n则A,2，2?2，n?2， ，23nn1?2A,2，2?2，(n,1)2，n?2， ，2nn1?,A,2，2，2,n?2， ，n1n1?A,n?2,2，2. ，2n，1，a2n2又S,4n， 2n2，2n1n1?T,1，4n，n?2,2，2 ，2n1，2n1,3，4n，(n,1)2. 12224(已知数列a满足:a?1，
31、a,，3(1,a),2(1,a)，b,1,a，c,，nn1n1nnnn222*a,a(n?N)( ，n1n(1)证明数列b是等比数列，并求数列b、c的通项公式( nnn(2)是否存在数列c的不同项c，c，c(i,j,k)使之成为等差数列,若存在，请nijk16 求出这样的不同项c，c，c(i,j,k);若不存在，请说明理由( ijk*(3)是否存在最小的自然数M，对一切n?N都有(n,2)c,M恒成立,若存在，n求出M的值，若不存在，说明理由( 1222(1)证明 因为a?1，a,，3(1,a),2(1,a)，b,1,a， ，n1n1nnn22b1,a2332，n1n1*2所以,(n?N)，b
32、,1,a,，所以b是以为首项，为公比的11n2b1,a3443nn3232,n1*2n1*,等比数列，所以b,(n?N)，所以a,1,b,1,(n?N) nnn,434312,22n1*,所以c,a,a,(n?N) ，nn1n,43(2)解 假设存在c，c，c(i,j,k)满足题意，则有2c,c，c代入得 jjkjik121212,，,，,j1i1k1ji1j1kji,2,，化简得2,3，2， ,434343,，,ji1kjij1即2,2,3，左边为偶数，右边为奇数不可能相等( 所以假设不成立，这样的三项不存在( 12n,4,n1,(3)?(n,2)c,(n,1)c,， ，nn1,433?(1
33、,2)c,(2,2)c,(3,2)c,(4,2)c， 1234(4,2)c,(5,2)c，(5,2)c,(6,2)c,(7,2)c, 4556712,即在数列(n,2)c中，第4项和第5项是最大项，当n,4时(n,2)c,2nn,4343,， 27所以存在最小自然数M,1符合题意( 必考解答题模板成形练(六) (对应学生用书P419) 函数与导数 (建议用时:60分钟) 321(已知函数f(x),x，ax，b(a，b?R)( (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若对任意a?3,4，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围( 17 32解 (1)因为f(x),x，ax，b， 2
34、a,2,所以f(x),3x，2ax,3xx,. ,3当a,0时，f(x)?0，函数f(x)没有单调递增区间; a2当a,0时，令f(x),0，得0,x,. 32,故f(x)的单调递增区间为0，a; ,32a当a,0时，令f(x),0，得,x,0. 32,故f(x)的单调递增区间为a，0. ,3综上所述，当a,0时，函数f(x)没有单调递增区间; 2,当a,0时，函数f(x)的单调递增区间为0，a; ,32,当a,0时，函数f(x)的单调递增区间为a，0. ,32,(2)由(1)知，a?3,4时，f(x)的单调递增区间为0，a，单调递减区间为(,?，,32,0)和a，?， ,3所以函数f(x)在
35、x,0处取得极小值f(0),b， 32a2a4a,函数f(x)在x,处取得极大值f,，b， ,3327由于对任意a?3,4，函数f(x)在R上都有三个零点， f，0，,0，b,0，,3,4a3,所以即解得,b,0， 2a4a,27,f,0，b,0，, , ,32734a因为对任意a?3,4，b,恒成立， 27334a43,所以b,4， max,2727所以实数b的取值范围是(,4,0)( a2(已知函数f(x),，ln x,1，a?R. x(1)若曲线y,f(x)在点P(1，y)处的切线平行于直线y,x，1，求函数y,f(x)的018 单调区间; (2)若a,0，且对x?(0,2e时，f(x)
36、,0恒成立，求实数a的取值范围( 解 (1)直线y,x，1的斜率k,1， a1函数y,f(x)的导数为f(x),， 2xxf(1),a，1,1，即a,2. 221x,2?f(x),，ln x,1，f(x),，,. 22xxxx?f(x)的定义域为(0，?)( 由f(x),0，得x,2;由f(x),0，得0,x,2. ?函数f(x)的单调增区间是(2，?)，单调减区间是(0,2)( (2)?a,0，f(x),0对x?(0,2e恒成立， a即，ln x,1,0对x?(0,2e恒成立( x即a,x(1,ln x)对x?(0,2e恒成立， ln x),x,xln x，x?(0,2e( 设g(x),x(
37、1,g(x),1,ln x,1,ln x， 当0,x,1时，g(x),0，g(x)为增函数， 当1,x?2e时，g(x),0，g(x)为减函数， 所以当x,1时，函数g(x)在x?(0,2e上取到最大值( ?g(x)?g(1),1,ln 1,1，?a的取值范围是(1，?)( 1323(已知函数f(x),x，bx，cx,3，y,f(x)为f(x)的导函数，满足f(2,x),3f(x);f(x),0有解，但解却不是函数f(x)的极值点( (1)求f(x);(2)设g(x),xf，x，m,0，求函数g(x)在0，m上的最大值; (3)设h(x),lnf(x)，若对于一切x?0,1，不等式h(x，1,
38、t),h(2x，2)恒成立，求实数t的取值范围( 2解 (1)f(x),x，2bx，c， ?f(2,x),f(x)，?函数f(x)的图象关于直线x,1对称，b,1. 2由题意，f(x),x,2x，c,0中,4,4c,0，故c,1. 19 132所以f(x),x,x，x,3. 32(2)?f(x),x,2bx，1 2 ,(x,1)， ?g(x),x|x,1| 2,x,x，x?1， , 2 x,x，x,1.,12当0,m?时，g(x),g(m),m,m max211，211,当,m?时，g(x),g,， max,22241，22当m,时，g(x),g(m),m,m， max212m,m ，0,m?
39、，,2,111，2综上g(x), ，,m?， max,422, 1，22m,m ，m,，,2(3)h(x),2ln|x,1|，h(x，1,t),2ln|x,t|，h(2x，2),2ln|2x，1| 当x?0,1时，|2x，1|,2x，1，所以不等式等价于0,|x,t|,2x，1恒成立， 1,t,3x，1，且x?t， 解得,x,由x?0,1，得,x,1?,2，,1，3x，1?1,4，所以,1,t,1， 又x?t，?t?0,1，?所求的实数t的取值范围是(,1,0)( 22334(已知函数f(x),k(logx)，(loga),(logx),(loga)， axax2g(x),(3,k)(logx
40、，loga)， ax(其中a,1)，设t,logx，loga. ax(1)当x?(1，a)?(a，?)时，试将f(x)表示成t的函数h(t)，并探究函数h(t)是20 否有极值; (2)当?(1，?)时，若存在x?(1，?)，使f(x),g(x)成立，试求k的范围( 000222解 (1)?(logx)，(loga),(logx，loga),2 axax2,t,2， 3323(logx)，(loga),(logx，loga)(logx，loga),3,t,3t， axaxax32?h(t),t，kt，3t,2k，(t,2)( 2?h(t),3t，2kt，3 设t，t是h(t),0的两根，则tt
41、,0，?h(t),0在定义域内至多有一解， 12122欲使h(t)在定义域内有极值，只需h(t),3t，2kt，3,0在(2，?)内有解，9且h(t)的值在根的左右两侧异号，?h(2),0得k,. 499综上:当k,时h(t)在定义域内有且仅有一个极植，当k?时h(t)在定义域内无44极值( ),g(x)成立等价于f(x),g(x)的最大值大于0. (2)?存在x?(1，?)，使f(x000322?t,logx，loga，?m(t),t，kt，kt,2k，(t?2)， axk22?m(t),3t，2kt，k,0得t,k，t,. 123当k,2时，m(t),m(k),0得k,2; max17,1
42、当0,k?2时，m(t),m(2),0得,k?2; max2当k,0时，m(t),m(2),0不成立( max当,6?k,0时， ,17,1m(t),m(2),0得,6?k,; max2k,当k,6时，m(t),m,0得k,6. max,3,17,117,1,综上得:k的取值范围是?. ,?，?,22必考附加题模板成形练(一) 21 1(如图，在直三棱柱ABC,ABC中，?BAC,90?，AB,AC,2，AA,6，点111111E，F分别在棱BB，CC上，且BE,BB，CF,CC. 1111133(1)求异面直线AE与AF所成角的大小; 1(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值( 解 (
43、1)建立如图所示的直角坐标系， 则A(0,0,0)，E(2,0,2)，A(0,0,6)，F(0,2,4)， 1?从而AE,(2,0,2)，AF,(0,2，,2)( 1?F,41AE?A1?记AE与AF的夹角为，则有cos ,. 1?28?8|AE|?|AF|1又由异面直线AE与AF所成角的范围为(0，)， 1可得异面直线AE与AF所成的角为60?. 1(2)记平面AEF和平面ABC的法向量分别为n和m， ?则由题设可令n,(1，y，z)，且有平面ABC的法向量为m,AA,(0,0,6)，AF,1?(0,2,4)，AE,(2,0,2)( ?由n?AF,0，得2y，4z,0;由n?AE,0，得2，
44、2z,0. 所以z,1，y,2，即n,(1,2，,1)( 记平面AEF与平面ABC所成的角为， n?m,66有cos ,. |n|?|m|66?622 6由图形可知为锐角，所以cos ,. 611*2(已知数列b满足b,，b,2(n?2，n?N)( ,n1n12bn(1)求b，b，猜想数列b的通项公式，并用数学归纳法证明; 23n，nn1xy(2)设x,b，y,b，比较x与y的大小( nn112解 (1)当n,2时，,2，解得b,; 2b232123当n,3时，,2，解得b,. 3b343n猜想b,. nn，11证明:?当n,1时，b,. 12k*?假设当n,k(k?N)时，即b,， kk，111k则当n,k，1时，b,2，即，,2， kbbk，1，k1k11kk，2k，1?,2,，b,也成立( ，k1bk，1k，1k，2，k1n由?得b,. nn，1n,nn(2)x,b,， n,n，1,nnnn，,，,xnnnx,n, ，,n，1,，,n，1,n，1,n，1,n,，n1n1y,b,， n,n，1,nnnnn，,，,，yn1n1ny,(n，1), ，