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1、江苏省扬州市新华中学 2019-2020学年高二（上）第一次月考数学试卷、选择题（本大题共有 12小题，每题5分，共60分）112,“1.已知数列1,1,2的一个通项公式为（）3 2 3A. 1 n【答案】Bn B.6D.【解析】【分析】一 1112,1 2 3 4 一 .把数列1,1,1,_,化简为i,-,3,-,利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答6 3 2 36 6 6 6案.,一 ，1112.1234一，,* 一n,【详解】由题意，数列 1,1,1,2 ,可化为1,-,3,4 ,所以数列的一个通项公式为 -,故选6000c c c cC3236 6 6 66B.1112【点睛
2、】本题主要考查了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列 ，上,化6 3 2 312 3 4简为1,2,3,4 ,合理归纳是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6 6 6 62 .在等差数列 an中，4 2, a3 a5 10,则a7=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析】根据等差中项性质求得 a4,进而得到3d ；利用a? a43d求得结果.【详解】由题意知：a3a52a410a45 3da4a13a? a4 3d 5 3 8本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题S53 .设等比数列 an的公比q = 2 ,前n项和为
3、Sn,则（）a4一31A. 2B. 4C. 318【答案】C【解析】【分析】34,计算即可得出利用等比数列的前n项和公式表示出S5 ,利用等比数列的通项公式表示出答案。5O【详解】因为 s5= a1（1 2 ） 31a1, 34=3123=831 1 2所以S531a48故选C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。4 .算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百
4、又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A. 8 岁B. 11 岁C. 20 岁D. 35 岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3.【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3.记最小的儿子年龄为31 ,则c c 9 8,S9 9a1 -2 3 207,解得 a 11.故选B.【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解.5 .已知等差数列 an的前n项和为Sn, a5 a7 14 ,则Sn nA. 140B. 70C. 154D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式S11=a1-a1
5、11 ,及等差数列的性质 ai an=a5 a 2出结果.【详解】Q等差数列an的前n项和为5, a5 a7 14,=a a n=a5 a7 11=14 11 77. 222故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.,11, C一*6 .数列an各项均为正数，且满足 a11,21n 2,nN,则aanan 1A. -2B. C. D161632【答案】D【解析】77()132,1令bn2an,则bn为以1为首项1为公差的等差数列， 写出bn的通项公式，反解出an的通项【分析】公式，带入1024计算即可得出答案。11, C -1,【详解】因为2 1 n 2,n
6、 N , =1 anan 1a1，1、所以数列 2为以1为首项1为公差的等差数歹U, an所以1-= n,an an0an=5所以故选a10241024 32【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题。a27.在等比数列 an中，已知a4 3a3,则 一 a1a4a2a6a3A 3n 3 八.231 n 3B. 332C.3n3n 1 3D. 332根据a4 3a3求出等比数列 an的公比q,令 bna2nan则所求式子为等比数列 bn的前n项和。【详解】因为a43a3所以包a3令bn3n则a2a1曳a2a6a3a2nanb2b3aa3n)3n 1 3故选D本题考查等比数列前n项和公式，属
7、于基础题。8.设正项等比数列an的首项a1110 _103 ,前 n 项和为 Sn,且 2 s3021520s100 ,则公比q的值为（）1A.22B.31D.32【解析】分析】化简等式可得到10q,解出即可得出答案。【详解】210S30S30S20S20S10因为an为等比娄所以1q=2故选【点睛】本题考查项和S3m S2mS2m Sm9.已知Sn是等差娄基础题。掌握性质:的前n项和，且S5S2000化简得项和，所以S30 S20S20 S1010qan为等比数列，Sn为其前nS6 S4,以下有四个命题:数列an中的最大项为S10数列an的公差d 0 Sio0 S110其中正确的序号是A.B
8、.C.D. S5SoS4,a6(0, a5a6)0,a50, d 0，数列an中的最大项为S5,S1010 4 a10S1111ala1111a6，正确的序号是故选：B10.已知数列an的通项公式为ann 13 ,那么满足ak akak 19 102的整数kA.有3个B.有2个C.D.不存在13因为an nn (n13(n13)13)1时,a1a? La13a14La2012 1113(120)7(17） 106 ,不合题意.k 2时,a2a3a13a14a2111 1012(110)由对称性知,3666102.所以，k11.各项为正数的数列an2或5均满足题意36 102,满足题意的前n项和
9、为Sn,且Sn 1 a?Sn a,nn 2时Sn 3成立,那么a2的取值范围是（）A. 1,2B. 1,2C.1,2D. 1,2令n=1解出a1=1将 Sn 1 a2 Snal , nc1,配凑成Sn1+ana20，-1 、故数列Sn+ 为以a2 1a2一为首项a2为公比的等比数列,写出数列 Sn+的通项公式，解出 Sn a2 1根据当且仅当n 1和n 2时Sn 3成立，.围。【详解】当n=1时S2 a2sl a1,a1 = 1*因为 Sn 1 a2Sn a1,n NSn 1 a2Snc11、-所以 Sn 1+ a2(Sn )，又 S +a2 1a2 1n所以 Sn -=a2, 1 Sna21
10、a2 1a2 1当 n=1 时 S = 1 3t ca2 1当 n=2 时 S2=a2+1 3 a2 2a2 1当 n=3 时 S3 a2-1=a2+a2+1 3 a2a2 1因 a2 1, Sn1 Sn (a2 1)Sn 4Si3, S2 3, 0 3即可解出a2的取值范111 a2a2 1a2 1 a2 1a； 1a2 11 ,0 ,所以Sn单调递增所以 a21,2)故选A【点睛】本题考查根据一阶线性递推公式求通项公式，数列的单调性，属于中档题。一,一，一1112.等比数列4中，a2a3,a31,使不等式a一a2 一aa2立的最大自然数n是（）A. 4B. 5C. 6【答案】Ban一anD
11、. 7【解析】【分析】根据等比数列的前n项和公式分别写出等比数列1 an的前n项和为Sn与等比数列 一 的刖an一,11n项和为Tn,不等式 a a2a1a2即可得出答案。【详解】由题意知ai q2,q 1an0等价于Sn Tn代入解不等式,等比数列 an的前n项和为Sn阚(1 qn)1 q1，等比数列的前n项和为Tnan一一 11不等式 a1a2aa211-1(1 (1)n)aq1 (1)n q1八 an 0等价于Sn Tnan川 n (1)即 a1(1 q)e将 a11 q 1 山n q所以n 5,q 2代入化简得qn q5又因q 1鹏11故使不等式 为a2aa2选B1、，口an0成乂的取
12、大自然数n是5an【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，解不等式。属于中档题。2二、填空题（本大题共有 4小题，每题5分，共20分）13.三个数成等比数列，它们的和为14,积为64,则这三个数按从小到大的顺序依次为【答案】2,4,8【解析】设出这三个数根据题意联立方程组,解方程组即可得出答案。a【详解】设这三个数为 一，a,aq qa .-+a+aq=14则qa _一 a aq=64 q所以三个数按从小到大为2,4,8【点睛】本题考查等比数列，属于基础题。14.已知数列a 的首项a11,an 1an区 n 123一,a201912019an两边取倒数即可得出数列anr 1、，一为以1为首项
13、an为公差的等差数列，求出数列1一的通项公式, an化简即得出数列an的通项公式，代入2019即可得出答案。【详解】因为an 1an一 1一所以一anan 1+1=1 an an a1所以数列r 1 一为以an为首项1为公差的等差数列即 =n an所以ana201912019,1故填2019【点睛】本题考查根据递推公式求数列通项，属于基础题。15.已知数列斗 的前n项和为Sn,其首项a11,且满足3Snn 2an,则 an【解析】【分析】Si ,n 1利用公式an,化简即可得出 an与an1的递推关系，再利用类乘法计算出n & Sni,n 2数列an的通项公式。【详解】当n=l时3s1 2 a
14、1恒成立当n 2时3Sn in 1 an i3an (n 2同(n 1)an iann1an 1n1anan1an2, a2所以an qL aian 1an2an3 为n 1 n n 1, 3 , n(n 1)K 1 = n 1 n 2 n 312当n=i时满足an = n(n 1)2【点睛】本题考查已知数列 an与Sn的关系,求通项公式，掌握理解公式anG ,n 1Sn Sn1,n 2是解本题的关键，属于基础题。16.在数列 an中，a1 a253n 1 an 1 nan 28 0 n N ，若bnanan 1 an 2 n N的前n项和取得最大值时 n的值为解法一:10利用数列的递推公式,
15、化简得2 an 1anan 2，得到数列an为等差数列，求得数列的通项公式an 31 3n,得到aia2 Lao0 , 0aia12a13 L ,得出所以bib2 Lb80 , b90, bio0, 0biibi2bi3L ,进而得到结论;八.an 1解法二：化简得n1cn ,求得 cn cl 28 1 nan 31 3n,再由 bn10,即可得到结论.【详解】解法一：因为n 1 an 1 nan28所以nan 2n 1an 128 0,在中,所以an得 2nan131b2bi0a10a11nan nan 2 即 2an 1anan 2 ,所以数列an为等差数列.1,得ai因此a1a12 10
16、 0,28a2b90即ai28又 aia253则a225La100a9 a10 a11b11b12b13，0a118 0,a12a13L所以T1T9 T10I11又T10T8b9b10T8,所以 n10时,Tn取得最大值.解法二:由 n 1 an 1n&280,an 1 得不ann 128n 1cn ,则 cncn2828，则 CnG28即 cn c128 - na228代入得anna228 128 na228a1280,解得a128,又a1a253则 a2 25,故an28 3n所以an31bn anan1 an 2313n283n 25 3n .31 3n 28 3n25 3n 0,解得又
17、因为b98b1010所以n 10时，Tn取得最大值.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问 题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的 性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中 档试题.三、解答题(本大题共有 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.设an是等差数列，ai10,且a2 10a 8冏 6成等比数列.(1)求an通项公式；(2)记an的前n项和为Sn ,求Sn的最小值.【答案】(1) an =2n 12(2) (Sn)min 30a/(1
18、)根据题意列方程组，程组即可得. JF ,再写出数.an的通项公式即可。解出an 0得到n，n|M* af的前、|负，第Ip为0,其前n项和的最小值为前5项或者前6工和。.【详解】(1)由题意知.a12(a3 8)(a?10a1 1010)(a| 6)(4 d 8)2 (a1d 10)4 3d 6)110d 2 a1解得1 Sr所以 an=2n 12 (2) an=2n 122所以(S)minS5S65 ( 10)230【点睛】本题考查等差数列，等差数列前n项和的最值，属于基础题。18.已知非零数列an满足an 13an n*N，且a1，a2的等差中项为6.(1)求数列 0n的通项公式;(2)
19、若 b2log 3 an,求bb11b2 b3b3b4的值.bnbn 1(2)【答案】(1) an=3n4(n 1)【解析】【分析】(1)由 an 1 3an n知数列an为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项,即可。(2)将an=3n代入，计算出11,1= -(- bnbn 1 4 n再求和即可得出答案。【详解】(1)非零数列 an满足an1 3an,数列 an为以3为公比的等比数列;当n=1时a2 3al因为a1，a2的等差中项为6,所以a1+a2=12 联立得a1 3, q 3所以an=3n(2)将 an=3n 代入 bn 2log 3an 得至U bn 2n111,1所以-=
20、1=T(_bnbn 1 4n(n 1) 4 n所以1 J) U)人11111111.=一(1 -b1b2b2b3b3b4bnbn 1 42 2 3【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前n项和。属于基础题。19.已知递增等比数列an , a3a432 ,aia6 33 ,另一数列bn其前n项和Sn(1)求an、 bn通项公式;(2)设b其前n项和为Tn,求Tn . an,、_ n- 1_(1) an = 2, bn 2n； (2)a1a6 32(1)由等比数列的性质得出可求出a3和a4的值,求出等差数列an的首项和公式，可得出数列公式;(2)求出数列bnanaa6an的通项公式，然后利用
21、bn的通项公式，然后利用错位相减法求出S1,n 1SnSn1,nTn.【详解】(1)设等比数列 an的公比为q,由题意可知a1由等比数列的性质可得a1a6a3 a432 ,所以a1%33,解得Q a655aqqanaq1 时，b1S12；时，bn SnSnb 2也适合上式，所以，bnaa62n 1求出数列2bn的通项1322n.bn 2n n 一年 ，an 22上式下式,因此,2213 222Tn nr2n 2得/1212K12n /12n 1212nn2n 1Tn8【点睛】本题考查等比数列通项的求解，考查利用前n项和求通项以及错位相减法求和，解题 时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型
22、，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点 就是计算量大，属于常考题型。20.某创业投资公司计划在 2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%.估1f 2010年可获得投资回报收入 400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%.(I)设第n年(2010年为第一年)的投入资金为an万元，投资回报收入为bn万元，求an和bn的表达式；(n)从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？【答案】(I) an =800 0.8n1, bn =400 1.25n 1(n) 2014【解析】【分析】(I
23、 )根据题意分别写出首项与公比，即可写出an和bn的表达式。(n)分别计算出前 n年的投入与回报的和再解不等式，即可得出答案。_ . , _ 、, _ _ _ n 1【详解】(I)由题意知a二800, q1 0.8所以an =800 0.81bl=400, q1 1.25 所以 bn=400 1.25n 1(H)前n年共投入sn 800(1 41 0.8前n年投资回报总收入Tn400(125 )1 1.25400(1 1.25n)800(1 0.8n)T n二Sn1 1.251 0.8解得 n log 0.8 0.4 即 n 5 ,即从2014年开始该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入
24、。【点睛】本题考查等比数列的应用，属于基础题。21.设数列an的前n项和为Sn.已知aa , an 1Sn3n, n N* .(I)设bn Sn 3n，求数列bn的通项公式；(n)若an1 an , n N*,求a的取值范围. _ _ _ n 1【答案】(I) bn (a 3)2； (n)9,.【解析】【详解】试题分析：(I )依题意，Sn1Snan1Sn3n,即S广电 +苗，由此得Sn 13n12(Sn3n),因此，bn12.当a 3时，bn为等比数列，首项是n a 3,公比q= 2 ,所求通项公式为bn (a 3)2n1, n N* ;当a 3时，b1 a 3 0 , 23n 1bn 2b
25、n 1 2 bn 2 2 bn 3 L 2 0 0,也适合上式，故数列bn的通项公式为 bn (a 3)2n1； (n)由bn 通项可知 Sn3n(a3)2n 1, n N* ,当 n 2 时，anSnSn13n (a 3) 2n13n 1(a 3) 2n 2 23n 1 (a 3)2n 2,n 23an 1 an 4 3n 1 (a 3)2n 212 a 3 ,所以2n 23an 1 an12a 3 02a 9 ( n 2),当n=1时再验证一下试题解析：(I)依题意，Sn 1 Sn am Sn 3 ,即$比=2$： +3龙， 由此得 Sn1 3n 1 2(Sn 3n),因此，bn 1 2)
26、.当a 3时，bn为等比数列，首项是bl a 3,公比q = 2,所求通项公式为bn (a 3)2n 1, n N* . 2 ._ 3n 1._当 a3时，ba 3 0,bn2bn 12bn22bn 3L 2b10,也适合.n 1故数列bn的通项公式为bn (a 3)2, n N .(n)由知 Sn 3n (a 3)2n 1, n N* ,2n 2 2 3n 1 (a 3)2n 2,a 3 ,a9 .又.N ,都有SmnSmSn,则称数列Hn具于是，当n 2时，an Sn Sn1 3n (a 3) 2n1 3n 1 (a 3)n 2an 1 an 4 3n 1 (a 3)2n 2 2n 2 1
27、2 33 n 2当 n 2 时，an 1 an12 - a 3 02综上，所求的a的取值范围是9,.考点：数列性质及其恒成立问题22.设数列 an的前n项和为Sn,若对任意 m,n有性质P.(1)若数列 a是首项为1,公比为2的等比数列，试判断数列an是否具有性质 巳(2)若正项等差数列 bn具有性质P,求数列bn的公差；(3)已知正项数列 Cn具有f生质P, c 3,且对任意n N ,有Cn Cn 2 2cn 1,求数列Cn的通项公式【答案】(1)数列an不具有性质P(2) 0(3) g=2n 1【解析】【分析】(1)根据题意写出 Sm,Smn带入Smn看是否壬意m,A N*恒成立。(2)根
28、据题意写出a, Sm,Smn带入Smn对任意m,nN*恒成立解出公差d即可。(3)令m=1解出G 1,得到S2 4 ,由等式说明数列S2n为以4位首项4为公比的等比数列，计算出数列S2n的通项公式，再计算出数列Cn的通项公式即可。【详解】(1)由题意知an=2n1, Sn=1(1 2 )1 22n,Sm2m1, Smn2mn 1mnmnSm Sn(21) (21) 21 (2 m2n), SmnSmSn无解,所以数列an不具有性质P(2) bn 为等差数列，Sn=nb1 n(n 1)d , Sm = mbi m(m 1)d , 22mn(mn 1)Smn=mnb1 d2又因 Smn SmSnn(n 1) , m(m 1) ,、, mn(mn 1),所以(nb1 -d)(mb1 zd)=mnb1 zd 对于任意的 m,n N 恒成222立。即d 0,6 1数列bn的公差为0(3)令 m=1 得 SnSSn ,又Cn为正项数列Sn0,所以 C1S11又 CnCn 2 2cn 1Cn 2Cn 1Cn 1 CnCn 2Cn 1Cn 1Cn Lc2 CI =2所以 Cn 2n 1Sn n2S2n22n 4n4S2nS,n1又 S2C1c24，S2广02n所以Cn=2n 1【点睛】本题考查等差数列、等比数列的前n项和公式，构造等比数列求数列通项，属于难题。