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1、,常数项级数都有哪些形式呢？,常数项级数有下面几种形式。,1.正项级数的定义,若级数,则称之为正项级数.,定义,实质上应是非负项级数,2.正项级数收敛的充要条件,正项级数,Sn 有界.,定理,正项级数的部分和数列是单调增加的,单调有界的数列必有极限,理由,在某极限过程中有极限的量必有界,级数,是否收敛？,该级数为正项级数, 又有,(n =1, 2, ),故 当n 1 时, 有,即其部分和数列 Sn 有界, 从而, 级数,解,3. 正项级数敛散性的比较判别法,且 0 un vn ( n = 1, 2, ),大收小收, 小发大发.,判断级数,的敛散性. ( 0 x 3 ),由于,又,由等比级数的敛
2、散性可知：,原级数收敛.,解,讨论 P 级数,( p 0 ) 的敛散性.,当 p1时, P 级数为调和级数:,它是发散的.,当 0 p 1 时, 有,由比较判别法, P 级数此时是发散的.,解,当 p 1 时, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 项,而,对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：,故当 p 1 时, P 级数收敛.,综上所述:,当 p 1 时, P 级数收敛.,当 p 1 时, P 级数发散.,4.比较判别法的极限形式,判别级数,的敛散性 ( a 0 为常数).,因为,( 即 = 1 为常数 ),又,是调和级数, 它是发散的,发散.,解,原级数,故,解,由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：,5.达朗贝尔比值判别法,利用级数本身来进行判别.,即 = x2 , 由达朗贝尔判别法：,解,需要讨论 x 的取值范围,综上所述, 当 0 1 时, 原级数发散.,解,这是一个正项级数:,单调增加有上界,以 e 为极限.,由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.,由级数收敛的必要条件得,利用级数知识求某些数列得极限.,解,6. 柯西根值判别法,解,谢谢大家！,