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1、2011届高三数学一轮复习测试题 (导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末答案D解析st23t20，令s0，得t1或2，故选D.2(文)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f (x)的图象大致形状是()答案B解析因为二次函数在(，0)上递增，在(0，)递减，所以其导函数在
2、(，0)大于0，在(0，)小于0，故选B.(理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A BC D答案B解析因为三次函数的导函数为二次函数，其图象为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数，当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定不正确3已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A. B2C2 D答案A分析由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜率”间的关系即可解析设切点坐标为(t，t3ata)切线的斜率为ky
3、|xt3t2a所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得：t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由它们互为相反数得，a.4(文)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7答案B解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20，综上可知应选B.(理)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则
4、ad等于()A2B1C1 D2答案A解析a，b，c，d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或，ad2.5对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)答案C解析(x1)f(x)0，或，若函数yf(x)在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，则f(0)f(1)，f(2)f(1)，f(0)f(2)2f(1)若函数yf(x)为常数函数，则f(0)f(2)2f(1)故选C.6设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2答案A解析yf1，由条件知1，a1，故选A.7(
5、文)(08广东)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da答案A解析yexa，由条件知，有解，aex1.(理)由曲线yx2和直线x0，x1，yt2，t(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A. B.C. D.答案A解析由得，xt，故S(t2x2)dx(x2t2)dx(t2xx3)|(x3t2x)|t3t2，令S4t22t0，0t0，xf(x)f(x)b，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)0)，求导得y，由条件知f(x)0，yb0，即bf(a)2时，yxf(x)0，f(x)0，yf(x)在(2，)
6、上单调递增；同理f(x)在(，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减，yf(x)的极大值为f(2)，极小值为f(2)，故选C.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_答案4解析y3x26ax3b，y3x26x，令3x26x0，则x0或x2，f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.(理)定积分2dx_.答案解析设y，即(x3)2y225(y0)2dx表示以(3,0)为圆心，5为半径的圆的面
7、积的四分之一2dx.14(文)函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_答案a2或a0，解得a2或a1.(理)函数y(sintcostsint)dt的最大值是_答案2解析y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)|cosxcos2xcosx(2cos2x1)cos2xcosx(cosx1)222.当cosx1时取等号15已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_答案b3解析yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使
8、该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.16(文)对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是_答案2n12解析yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)xn.f (2)n2n12n(n2)2n1.在点x2处点的纵坐标为y2n.切线方程为y2n(n2)2n1(x2)令x0得，y(n1)2n，an(n1)2n，数列的前n项和为2n12.(理)设函数f(x)cos(x)(00得，x2；令f(x)0得，1x1时，f(x)在m，m3上单调递增，f(x)maxf(m3)，f(x)minf(m)由f(m3)f(m)(m3)3(m3)
9、22(m3)m3m22m3m212m得，5m1，这与条件矛盾当0m1时，f(x)在m,1上递减，在1，m3上递增，f(x)minf(1)，f(x)max为f(m)与f(m3)中较大者，f(m3)f(m)3m212m3(m2)20，(0m1)，f(x)maxf(m3)，|f(x2)f(x1)|f(m3)f(1)f(4)f(1)恒成立，故当0m1时，原不等式恒成立，综上，存在m0,1符合题意19(本小题满分12分)(文)设函数f(x)x22tx4t3t23t3，其中xR，tR，将f(x)的最小值记为g(t)(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间1,1内的单调性；(3)若当t1,1时，|
10、g(t)|k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围解析(1)f(x)(xt)24t33t3，当xt时，f(x)取到其最小值g(t)，即g(t)4t33t3.(2)g(t)12t233(2t1)(2t1)，列表如下：t(1，)(，)(，1)g(t)00g(t)极大值g()极小值g()由此可见，g(t)在区间和上单调递增，在区间上单调递减(3)g(1)g4，g(1)g2g(t)max4，g(t)min2，又|g(t)|k恒成立，kg(t)k恒成立，k4.(理)将一张26米的矩形钢板按图示划线，要求至全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以为底，为盖的水箱设水箱的高为x
11、米，容积为y立方米(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱容积最大？解析(1)依题意，水箱底的宽为(22x)米，长为(3x)米，则水箱的容积y(22x)(3x)x(0x1)，(2)y(22x)(3x)x2x38x26x(0x1)，y6x216x6.令y6x216x60得x，当0x0，函数单调递增；当x1时y0，函数单调递减；当x时，函数y(22x)(3x)x(0x1)取最大值当x时，水箱的容积最大20(本小题满分12分)(文)(09湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两
12、墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解析(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0得，x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数，当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119，故需新建9个桥墩才能使y最小(理)已知f
13、(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx.求dx的值解析f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)f(x)dx(axb)dxab.ab5又xf(x)dxx(axb)dxab.ab解得a4，b3，f(x)4x3.dxdxdx(4x3lnx)|43ln2.21(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)如右图所示(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值解析(1)结合图象可得：x(，1)1(1,2)2(2，)f (x)000f(x)极大值极小值得到f(x)在x1处取得极大值，所以x01.(2)解
14、法1：f (x)3ax22bxc，由f (1)0，f (2)0，f(1)5得，解得a2，b9，c12.解法2：设f (x)m(x1)(x2)mx23mx2m，又f (x)3ax22bxc，所以a，bm，c2m，f(x)x3mx22mx.f(1)5，m2m5，m6，a2，b9，c12.点评本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图象，列表格，翻译不等式，定极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接，源于教材又不拘泥于教材，是一道训练读图识图能力，运用“数形结合”思想解决问题的好题(理)“我们称使f(x)0的x为函数yf
15、(x)的零点若函数yf(x)在区间a，b上是连续的、单调的函数，且满足f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间a，b上有唯一的零点”对于函数f(x)x3x2xm.(1)当m0时，讨论函数f(x)在定义域内的单调性并求出极值；(2)若函数f(x)有三个零点，求实数m的取值范围解析(1)当m0时，f(x)x3x2x.f(x)3x22x13(x)(x1)列表x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值f()极大值f(1)由表可知：函数f(x)x3x2x在区间，1上单调递增，在和(1，)上单调递减f(x)的极小值为f()，极大值为f(1)1.(2)f(x)3x22x1，由(1)知f(x)在和
16、(1，)上单调递减，在上单调递增故欲使f(x)有三个零点，须，1m0，f(2)m20在(2，)上，f(x)f(2)0.又f(1)f()0，f()f(1)0，f(1)f(2)0，由题设知f(x)在，1,2上各有惟一零点综上可知1m.22(本小题满分14分)(文)设函数f(x)x33x2分别在x1、x2处取得极小值、极大值，xOy平面上点A、B的坐标分别为(x1，f(x1)、(x2，f(x2)该平面上动点P满足4，点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点求：(1)A、B的坐标；(2)动点Q的轨迹方程分析首先求f (x)，令f (x)0，求出x1、x2的值，得到A、B两点的坐标利用向量的数量积可求得动
17、点P的轨迹方程根据P、Q对称性求出P、Q两点坐标的关系，利用“坐标代入法”求得动点Q的轨迹方程解析(1)令f (x)3x230，解得x1或x1.当x1时，f (x)0；当1x0，当x1时，f (x)0和任意实数x，都有f(ax)af(x)(1)证明f(0)0；(2)证明f(x)，其中k和h均为常数；(3)当(2)中的k0时，设g(x)f(x)(x0)，讨论g(x)在(0，)内的单调性并求极值分析通过适当赋值或变形，求函数值及函数解析式，再利用导数求单调区间或极值解析(1)对于任意a0，xR均有f(ax)af(x)在中取a2，x0，即得f(0)2f(0)f(0)0(2)当x0时，由得f(x)f(
18、x1)xf(1)取kf(1)，则有f(x)kx当x0时，g(x)kx从而g(x)k，(x0)又因为k0，由此可得：xg (x)0g(x)极小值2g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在x处取得极小值2.解法2：由(2)中的知，当x0时，g(x)kx设x1，x2(0，)且x10，当0x1x2时，g(x2)g(x1)，当0x1g(x1)，g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在x处取得极小值2. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u
19、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u
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