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1、个人收集整理仅供参考学习概率论与数理统计习题及答案第四章1 ?一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3 ，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X,Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求 ( X,Y) 的分布列 . 资料个人收集整理，勿做商业用途解(X,Y) 的分布列为X123111061221116661130126其 中 P(X =1, Y =1) =P(X =1)P(Y =1| X =1) =0余者类推。2 . 将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以丫表示三 次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出( X,Y) 的分布列及边缘分
2、布列。 资料个人收集整理，勿做商业用途解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1 k 1 3X B(3, ). P(X 二 k)二 C3( ) , k =0,1,2,3 ，于是 ( X,Y) 的分布列和边缘 2 2P(X =1, Y =1) = P(X =1)P(Y =1| X =1) =C3( ) 3; 1=3 ,2 838 / 113. 设( X,Y) 的概率密度为余者类推。又( 1)DD 二(x,y)|x ： 1,y ： 3 ； ( 2) D =(x, y)|x y ： 3。求 P( X,Y)13 1P( x, y) D =0 2 (6 - X - y)dxdxy1( l 6( 2)P
3、X,19 -43 .2 .83- x 112 8( 6-x-y)dxdyY) EDF05244. 设( X,Y) 的概率密度为系数 C ；( 2 曲夂, Y) 落在圆 x2 +y 2 Mr 2(r c R) 内的概率 .求( 1)8解( 1)1 二 C (R-x 2 y2)dxdy 二 C： R 3-C ： ： r2drdrx2 心蛋 200-3二 C -： R3 - : 3C兀 R3( 2) 设 D =(x, y)|x 2 - y 2 汀 2 ，所求概率为 T 22 兀 r3 = 兀 Rr - -兀 R i35 . 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为求 X 和 Y 的联合分布函数 ?
4、解 1 设(X,Y) 的分布函数为 F(x,y) ，则解 2 由联合密度可见，X,Y 独立，边缘密度分别为边缘分布函数分别为FX(x), F Y (y)，则 设(X,Y) 的分布函数为 F(x,y) ，贝 U6 ?设二维随机变量 ( X,Y) 在区域 D :0 ： x ： 1 , | yp ： x 内服从均匀分布 ,求边缘概率密度。 解(X,Y) 的概率密度为y k关于 X 和 Y 的密度为0X1一 I o ,其他.7?设 ( X,Y) 的概率密度为 求边缘密度和概率P(X ? 丫 冬 1) 解1 丁 1=1 -2e 2 e .& 一电子仪器由两个部件组成，以 X 和丫分别表示两个部件的寿命
5、( 单位:千小时 ) 已知 X,Y 的联合分布函数为：( 1) 问 X,Y 是否独立？为什么？(2 ) 求两个部件的寿命都超过100 小时的概率解( 1) 先求边缘分布函数：因为 F(x,y) 二 Fx (x) F Y( y)，所以 X,Y 独立 .( 2) P(X _0.1,Y_0.1)=P(X _0.1 P(Y_0.1)=1 P(X E0.1)1P(Y0.1)Q05-0.05-0.1二e e二 e()9?设 ( X,Y) 的概率密度为 间 X,Y 是否独立？ 解边缘密度为因 为 f (x, y) 二 fx xfY (y)，所以 X,Y 独立.10 ?设 ( X,Y) 的概率密度为I8xy,
6、 0 兰 xcyc1, f( x，y0,其他 .问 X,Y 是否独立 .解边缘密度()因 为 f (x, y) = f x xfY (y) ，所以 X ,Y 不独立。11 . 设( X,Y) 的概率密度为试证明 X 与 Y 不独立，但 X 2 与 Y2 是相互独立的。证先求 X ,Y 的联合分布函数 F (x, y)关于 X 的边缘分布函数为关于 Y 的边缘分布函数为因为F(X,Y) = F x( x) F Y (y) ，所以 X,Y 不独立 .再证2 2 2 2X 与 Y 独立：设 X ,Y的联合分布函数为Fl (z,t) ，则关于 X 2(Y2)的边缘分布函数分别为因为 Fi (z,t)
7、=F X2( Z) FY2 (t) ，所以 X 2 与 Y2 独立.证 2 利用随机向量的变换 ( 参见王梓坤概率基础及其应用83 页)X1 二， z, X 2 二- z; t = y 2 的反函数为函数 z =x2 的反函数为yicx- iGX1cz12&001tza2 不设 Z =X 2, T =Y 2.于是( X2,Y2) 的概率密度函数为关于 X 2 的边缘密度为122二 J 11 , J i2二 J212I r，0 t2关于 Y 的边缘密度为 fY 2 (t) 二二 2、tJ110 ,其他.22因为 f1 (z,t f X 2 (z) f Y2 (t) ，所以 X , Y独立.12
8、?设随机变量X 与丫相互独立，下表列出了二维随机变量( X,Y) 的联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.资料个人收集整理，勿做商业用途1解设 p( x = X i , 丫 =yj)二 p i = 1,2, j = 1,23个人收集整理仅供参考学习由独立性 p11由联合分布和边缘分布的关系知1 (P 111 P 13 )，即丄二丄 1P 13 , 故 P13 二丄，3+1 +丄一一00-121 - 4P2 -68424812P 2133P22 珂 8P 22 ) 4，所以 Xp1 ?和8 X 2 的概率分布为所以( X,Y) 的分布为13.-10
9、们0门1已知随机变量X1?111， X2 11(2 ) 问 X1 和 X2 是否独立？为什么 ?.424一而且22 一解( 1) P(X 1 X 2 =0) =1 知 P(X 1 =- 1, X2 =1)= P(X 1 =1, X 2 =1) = 0 ，再由联合分布和边缘分布的关系知( XP(X 2X)的分布为(1) ) 求XX1( 2)因 PX 11 X 2 申二 J L 1 于冷 1 1( PX0 2，所以 X, Y4 4 2不独立 .214?设随机变量X,Y 相互独立，且都服从( -b, b) 上的均匀分布，求方程t tX 0 有实根的概率 .解设 A 二方程有实根，则2A 发 生 二
10、X -4 丫 -038 / 11个人收集整理仅供参考学习31 rb2b 12 2b ,b _ 4 .当 b 4 时，图形如下：15 . 已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为 试42 / 11求：解( 1)布;的概率分(2) X Y 的概率分布(X 的分布为4b2 624 216为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为P( X = n) =P(Y= r), n =1,2 川 I，求 X Y 的分布列 .解设 Z 二 X Y ,Z 的分布为17 ?设 X,Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n, p 的二项分布 ,证明 Z = X Y 服从参数为 2n, p 的二项分布 .k证 P(Z
11、 =k) =P(X Y =k)= 為 P(X =i)P(Y = k i)i =0故 Z = X Y 服从参数为 2n, p 的二项分布 .注：此处用到一个组合公式：此公式的正确性可直观地说明如下：从 m n个不同的元素中取 k 个共有 cm . n 种不同的取法。从另一个角度看，把 m - n 个元素分布两部分，一部分有 m 个， 另一部分有 n 个，从第一部分中取 i 个再配上从第二部分中取 k -i 个，不同的取k法共 cmc，让 i 从 0 变到 k，总的取法是 cmc：，这两种取法应相等 ?资料i =0个人收集整理，勿做商业用途18 ?设 X,Y 相互独立，其概率密度分别为求 X Y
12、的概率密度 .解 1 设 Z 二 X Y，由卷积分式， Z 的概率密度为1当 Z -1综上所述:Z寸， f Z( Z)ZJedy rejeT),y不等式 y? 0, O-Z -y_1 确定平面域 D 如图.当 zvZ) ( 时， fZ(z)=Oz解 2 变量代换法 :fz(z) =fx (x)f Y( z-x)dx ,注意到当 0 : X : 1 时 fX (x) =1 ，有 因所以，当 z 乞 0 时， fZ(z) =0 ,z ._当 0 ： z ：1 时， fZ (z) e du=1-e，z当 z_1 时， fZ (z)edu = e(e 1).z综上所述解 3 分布函数法：设Z 的分布函
13、数为 FZ (z)，则FZ 二 P(Z 乞 z)y -= P(X Y Z) 二fX (x) f Y (y)dxdyx :：； y 咚x+y=1Z 的概率密度为设部件 Li 的寿命 X E(a) ， L2 的寿命 Y Ef-) ，按下图联结构成系密度 ?资料 个人收J 损坏时，部件 勿做商业用途 XL2 立即开始工作，求系统L 的寿命 Z 的概率L1解 X 的密度为丫的密度为 fY (y) =0 =：I 0I 0 ,x 0,LX其他?y 0,y 空 0.设 Z 的密度为 fZ，则fx (x) f Y( Z -X ) 二当 z0 时 ， fz(z)=0ja0 e 左 ez3L2,x 0, z x
14、0,其他?当 z 刁 0 时， ffz) 二 z： ： ee(5dx0心e), 鳥严：当 a ZoP 时综相所述的密度为fz二fz二( V0 ,a2ze 巴zl.z),ZEO,a z 0.z 辽 0z 0.-.20 ?设 ( X,Y) 的概率密度为求 Z = X - 丫的概率密度 .解 i 利用 Z=X kY 的密度公式： fz (z) =_f(z-ky, y)dy ，_oO取 k = -1 得其中f(z y, y) 二不等式3(zy), 0 ： z y ： 1, z 0, y 0,0,其他.0： z： 时1, zfz0(z, )y=00. 确定平面域如图当 0z 辽：z0 :或: 1z 时-
15、1,即解 2 设 z 的分布函数为0 ,Fz(z) ，密度为 fz (z) ，则Z 兰 0,细z xx-y=0z x0y 亠 i i 3xdxdy, 0 ： z ： 1,=卩。匚 3xdx-y=z Z ? X -z，卩x-y=1曰是Z -1.21设f(x,y) 二变量( X, 1 丫) 的概率密度为x2 Hy 21- 二:X, y :-huye2 二 c2 2Z 二 X Y 的概率密度efz (z) .贝 U设 z 的分布函数为r 2令 r =c 2rdrFz (z) ,_u z 12o CT 22udu故fz(z)2 匚2-zezgz 0.2 严个人收集整理仅供参考学习r 2一 e 2z-e
16、W ,0故 fz (z) = F z (z)=12zS = XY，又设 S 的分布函数为 Fs (s) ，则x其中0”xdyFS(s)二xj s解 t 利 y 用乘积的密度公式0 或 s 工 2 时 f(s) =0,当 0 ws 強时综上所 述：25 ?设 X 和 Y 为两个随机变量， 且 求Pmax( X,Y) _0.43 / 11个人收集整理仅供参考学习解 Pmax( X,Y) _0 = P( X _O)U(Y _0) =P(X _0) P(Y _ 0)26 . 设，是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为1P( =i) , i =1,2,3 ，又设 X = max( , )
17、 ，Y = min(,) ，试写出二维随3机变量 (X,Y) 的分布律及边缘分布列并求P( 二).资料个人收集整理，勿做商业用途解 X 的可能值为 1,2,3 ， Y 的可能值为 1,2,3.依此类推可求出 ( X ,Y) 的分布列及边缘分布列如下：327 . 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工 作时间都服从参数为0 的指数分布 . 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布 . 资料个人收集整理，勿做商业用途解 设 T 的分布函数为 FT (t) ，第 i 件元件的寿命为 Xi，其分布函数为 F(x) . 则
18、即 T E ( 3 )28 . 设随机变量 X1 ,X 2,X 3,X4 独立同分布： P(X i =0) =0.6 ，P(X i =10.4 ，i=1,2,3,4 .求行列式 的概率分布&X1X2解 1X =X 1XX 2X3X3 X41 42 3X 的可能值为 -1, 0, 1 .同理可求出 P(X =0) =0.7312, P(X =1) =0.1344，即 X 的分布为解 2 先求出 X 1 X 4 及 X2X3 的分布P(X =0) =P(X 1 X 4 *X 3 ) =0.84 0.84 0.16 0.16=0.7312 ，即 X 的分布列为29 . 在习题 7 中求条件概率密度45 / 11,解 f(x,y)= 尹所以0 ： x ： y, 其他.30 . 设 X 关于 Y 的条件概率密度为 而Y 的密度为1求 P(X )2解(X,Y) 的概率密度为15x 2y,0 ,0 . x y ： 1,其他.