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1、数学模型与数学建模之,于晶贤,E-mail: ,一元线性回归分析,回归分析的几个任务,（1）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；（2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著；（3）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度；,回归分析的分类,一元线性回归模型,样本回归函数与总体回归函数区别,1、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。2、总体回归函数中的0和1是未知的参数，表现为常数。而样本
2、回归函数中的 是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。3、总体回归函数中的ut是t与未知的总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样本回归函数中的t 是t与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出t 的具体数值。,误差项的基本标准假定,X,参数0和1的点估计,最小二乘法：通过使得残差平方和（各样本点与拟合直线的纵向距离的平方和）为最小来估计回归系数的一种方法。,例,总体方差2估计,最小二乘估计的性质,根据误差项的基本标准假定,可以证明,参数0和1的区间估计,回归分析的Excel实现,“工具”-“数据分析”-“回归”,一元线性回归模型的检验
3、,回归模型的检验包括：理论意义的检验、一级检验、二级检验。(1)理论意义检验：主要检查参数估计值的符号和取值区间的合理性，如果它们与实质性科学的理论以及人们的实践经验不相符，则说明模型不能很好地解释现实的现象。(2)一级检验：又称为统计学检验，具体分为拟合程度评价和显著性检验（回归方程的显著性检验和回归方程中参数的显著性检验）。(3)二级检验：对标准线性回归模型的假定条件能否满足进行检验，主要包括：序列相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。,拟合程度评价,拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧 密程度.,决定系数越大，模型拟合程度越好；决定系数越小，模型拟合程度越差；,对于一元线性回
4、归分析，决定系数就是两变量之间相关系数的平方。,回归方程的显著性检验,P值是由检验统计量的样本观察值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平。P值越小(P值小于显著性水平)，越拒绝原假设。,回归方程的显著性检验过程,参数的显著性检验,一元线性回归模型的预测,续例：假定一种新型点心中含有10克脂肪，利用样本的回归方程和相关数据，计算置信度为95%的热量的预测区间.,回归分析的SPSS实现,“Analyze-Regression-Linear”,练习：某国营农场在试验田上研究耕种深度对水稻产量的关系，所得资料如下表。要求:(1)试求水稻产量与耕种深度的直线回归方程；(2)计算相关系数；(3)在显著性水平=0.05时，对回归方程进行显著性检验；(4)计算估计标准误差；(5)若耕种深度为17厘米，在95%的概率保证下，试推算水稻产量的区间范围。,作业：(要求有过程）为了研究旅行社广告费用对销售额的影响，收集到7家旅行社的销售额与广告费用的数据如下表。要求:(1)试求广告费用与销售额的直线回归方程；(2)计算相关系数；(3)在显著性水平=0.05时，对回归方程进行显著性检验；(4)计算估计标准误差;(5)若广告费用为4500，在95%的概率保证下，试销售额的区间范围。用到的分位点查概率论与数理统计教材,谢 谢 大 家,